题目如下，其中周期是
2
π
2\pi
2π
y
=
{
1
0
<
x
<
π
0
x
=
0
−
1
−
π
<
x
<
0
y=\begin{cases} 1 \ 0<x<\pi\\ 0 \ x=0\\ -1 \ -\pi <x<0\\ \end{cases}
y=⎩
⎨
⎧1 0<x<π0 x=0−1 −π<x<0
计算可得
a
n
=
1
π
∫
−
π
π
y
(
x
)
cos
(
n
x
)
d
x
=
0
（由于是奇函数乘偶函数）
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} y(x) \cos(nx) \, dx=0 （由于是奇函数乘偶函数）
an=π1∫−ππy(x)cos(nx)dx=0（由于是奇函数乘偶函数）
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
y
(
x
)
sin
(
n
x
)
d
x
=
1
π
(
∫
−
π
0
(
−
1
)
sin
(
n
x
)
d
x
+
∫
0
π
1
⋅
sin
(
n
x
)
d
x
)
=
2
(
1
−
(
−
1
)
n
)
π
n
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} y(x) \sin(nx) \, dx \\ = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (-1) \sin(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \sin(nx) \, dx \right) =\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n}
bn=π1∫−ππy(x)sin(nx)dx=π1(∫−π0(−1)sin(nx)dx+∫0π1⋅sin(nx)dx)=πn2(1−(−1)n)
因此，该函数的傅里叶级数表示为：
y
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
4
π
(
2
n
−
1
)
sin
(
(
2
n
−
1
)
x
)
(
−
π
<
x
<
π
)
y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{\pi (2n-1)} \sin((2n-1)x) \quad (-\pi < x < \pi)
y(x)=n=1∑∞π(2n−1)4sin((2n−1)x)(−π<x<π)
代码如下
k=30;
t=-pi:pi/200:pi;
y=0;
for i=1:2:k
y=y+4*sin(i*t)/(i*pi);
end
plot(t,y);
效果如图
