滤波器设计之巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器简介

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为：
$$\left|H(j\lambda )\right|=\frac{1}{1+C^2{\lambda }^{2N}}$$
其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，$\lambda$为归一化低通截止频率。
$$\lambda =\frac{\Omega }{\Omega p}$$

巴特沃斯滤波器设计步骤

巴特沃斯低通滤波器设计实例

设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率$f_p=5000Hz$,通带最大衰减${\alpha }_p=3dB$，阻带起始频率$f_s=10000Hz$，阻带最小衰减${\alpha }_s=30dB$。

解：已知${\Omega }_p=2\pi f_p=2\pi \times 5000,{\alpha }_p=3dB,{\Omega }_s=2\pi f_s=2\pi \times 10000,{\alpha }_s=30dB$

1. 计算归一化频率
   $${\lambda }_p=\frac{{\Omega }_p}{{\Omega }_p}=1,{\lambda }_s=\frac{{\Omega }_s}{{\Omega }_p}=2$$
2. 计算巴特沃斯滤波器阶次N和参数C
   $$C^2=10^{\frac{{\alpha }_P}{10}}-1=10^{0.3}-1=1$$
   $$a=\sqrt{\frac{10^{\frac{{\alpha }_s}{10}}-1}{10^{\frac{{\alpha }_p}{10}}-1}}=\sqrt{\frac{10^3-1}{10^{0.3}-1}}=31.637$$
   $$N=\frac{lg(a)}{lg({\lambda }_s)}=\frac{lg(31.637)}{lg(2)}=4.982$$
   所以N选择5；
3. 利用N查表获得归一化巴特沃斯低通滤波器的系统函数：
   $$H(p)=\frac{1}{p^5+3.2361p^4+5.2361p^3+5.2361p^2+3.2361p+1}$$
   4.去掉归一化
   $$H(s)=H(p)\stackrel{p=\frac{s}{{\Omega }_p}}{\to }$$
   $$=\frac{10^{20}{\pi }^5}{s^5+3.236\times 10^4\pi s^4+5.236\times 10^8{\pi }^2{s}^3+5.236\times 10^{12}{\pi }^3{s}^2+3.236\times 10^{16}{\pi }^{4}s+10^{20}{\pi }^5}$$

注意事项

${\Omega }_p$：通带截止频率；
${\alpha }_p$ ： 通带最小衰减，单位dB；
${\Omega }_s$ ：阻带开始频率；
${\alpha }_s$ ：阻带最大衰减，单位dB；
这四个变量中，衰减其实真实值是负数，例如-3dB，-20dB，但是在计算之中已经将符号考虑在内，所以不用代符号计算。

高通滤波器和低通滤波器之间存在一个简单的转换函数关系，后续将会继续跟进。