第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

【2013年高考会这样考】

1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．

2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程． 【复习指导】

定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．

基础梳理

1．定积分

(1)定积分的定义及相关概念

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0i＝1i＝1

b－a

nf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这

n

个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx.

a

在bf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，af(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． (2)定积分的性质

①bkf(x)dx＝kbf(x)dx(k为常数)． aa

b②b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±f2(x)dx. aaa③bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中a如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝F(b)－F(a)，a这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．

3．定积分的应用

(1)定积分与曲边梯形的面积

定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：

设阴影部分面积为S. b①S＝f(x)dx； ab②S＝－f(x)dx； ac b③S＝f(x)dx－f(x)dx； acbbb ④S＝f(x)dx－g(x)dx＝ [f(x)－g(x)]dx . aaa (2) 匀变速运动的路程公式 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝bv( t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝v(t)dt . 

a

一种思想

定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．

三条性质

(1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行． 一个公式

双基自测 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与

1x1．(2011·福建)(e＋2x)dx等于( )． 积分是互为逆运算． 0A．1 B．e－1 双基自测 C．e D．e＋1 x1解析 (e＋2x)dx 

ππ

2．(2011·湖南)由直线x＝－3，x＝3，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )．

13

A.2 B．1 C.2 D.3 ππππ

解析 S＝∫3－3cos xdx＝2∫30cos xdx＝ 2sin x|30＝3.

3．(2011·山东)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为 答案 D

( )．

A.1 B.1 C.1 D.7 124312 2y＝x，得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面 解析 由3y＝x，

114113231(x－x)dx＝3x－4x0＝. 积为S＝120

答案 A

0x21＝ e＋x0 ＝(e＋1)－1＝e. 答案 C

4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )．

ππ12πsin xdx＝－cos x30＝－(－1－1)＝解析 阴影部分的面积S＝A.π B.π C.4 0 D.π

2，矩形的面积为2π.

阴影部分的面积21概率P＝＝2π＝π.故应选A. 矩形面积

答案 A

5．(人教A版教材习题改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线 运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________． 解析 s＝21(3t＋2)dt＝ 3323721＝×4＋4－＋2＝10－t＋2t222213＝ 2(m)． 答案 6.5 m

考向一 定积分的计算

【例1】 计算下列积分

当原函数较难求时，可考虑由其几何意得．

(5)由y＝xcos x－5sin x为奇函数 －11＝4. －12dx＝2x(xcos x－5sin x＋2)dx＝ －111 

(1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是

互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．

(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分． (3)若y＝f(x)为奇函数，则 ＝0.

考向二 利用定积分求面积

【例2】 求下图中阴影部分的面积．

[审题视点] 观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数．

y＝x－4，

解 解方程组2

y＝2x，x＝2x＝8得，或 y＝－2y＝4

S阴影＝82xdx－8＋2|－2x|dx＋2 00238232x＝2320＋23x20－6＝18. 

求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤

(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．

1

【训练2】 求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－3x所围成图形的面积． y＝x，解 由得交点A(1,1)；

y＝2－x，y＝2－x由1得交点B(3，－1)． y＝－3x

113故所求面积S＝x＋3xdx＋2－x＋3xdx

01

1

1232312x－ ＝3x2＋6x21＋3x0121413

＝3＋6＋3＝6.

考向三 定积分的应用

【例3】 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动．求： (1)在t＝4 s的位置； (2)在t＝4 s内运动的路程．

[审题视点] 理解函数积分后的实际意义，确定被积函数． 解 (1)在时刻t＝4时该点的位置为 0

4(t2－4t＋3)dt＝

1343t－2t2＋3t4＝(m)， 03

4

即在t＝4 s时刻该质点距出发点3 m.

(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0， 在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4 s时的路程为 S＝1(t2－4t＋3)dt＋|3(t2－4t＋3)dt|＋4(t2－4t＋3)dt 01313＝3t－2t2＋3t1＋|

0

133

3t－2t2＋3t1|＋ 

13444

3t－2t2＋3t4＝＋＋＝4 (m)， 3333

即质点在4s内运动的路程为4 m.

1

由s＝v0t＋2at2通过求导可推出v＝v0＋at，反之根据积分的几何意义，

由v＝v(t)(v(t)≥0)可求出t∈[a，b]时间段内所经过的路程．

【训练3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )．

A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面

解析 可观察出曲线v甲，直线t＝t1与t轴围成的面积大于曲线v乙，直线t＝t1与t轴围成的面积，故选A. 答案 A

难点突破8——积分的综合应用

定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积． 一、积分的几何意义

【示例】► 已知r>0，则r－rr2－x2dx＝________.



二、积分与概率

【示例】► (2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为__________．