线性代数在中学数学中的应用

目 录

摘要 ............................................................................................................................................................................... 1 ABSTRACT ................................................................................................................................................................. 2 前言 ............................................................................................................................................................................... 3 第1章 行列式在中学数学中的应用 ......................................................................................................................... 4 1.1 用行列式证明等式 ........................................................................................................................................... 4 1.2 用行列式分解因式 ........................................................................................................................................... 5 1.3 行列式在解析几何中的应用 ........................................................................................................................... 6 第2章 线性方程组在中学数学中的应用 ................................................................................................................. 7 第3章 二次型理论在中学数学中的应用 ................................................................................................................. 8 第4章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用 ................................................................................................... 10 4.1 中学数学引入矩阵的意义 ........................................................................................................................... 10 4.2 中学数学中矩阵与变换 ................................................................................................................................. 11 4.3 线性变换面积定理 ......................................................................................................................................... 11 4.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系 ............................................................................................................. 12 4.5 中学数学中矩阵变换的常见类型 ................................................................................................................. 12 第5章 用向量法解决初等几何问题 ....................................................................................................................... 13 结论 ............................................................................................................................................................................. 15 参考文献 ..................................................................................................................................................................... 16 致谢 ............................................................................................................................................................................. 17

授课：XXX

摘要

线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．

关 键 词：行列式

齐次线性方程组二次型 授课：XXX

矩阵 向量

Abstract

Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation course. In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school students. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics. This paper is divided into five parts. In these parts, we will give a lot of examples to show some applications of determinant, Linear equations, quadratic theory, matrix and transform, vector in elementary mathematics.

Keywords: determinant homogeneous linear system quadratic form matrix

vector

授课：XXX

前言

线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂．作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视．可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识．

学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现．本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力．

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第1章 行列式在中学数学中的应用

随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注,本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.

1.1 用行列式证明等式

利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明. 例1 已知abc0，求证a3b3c3证明：令Da3b3c33abc，则

abcDcababcabcabcabccbacba000cabbca0，

3abc.

即a3b3c33abc0

例2 已知axby1，bxcy1，cxay1，求证：abbccaa2b2c2. 证明：令Dabbcca(a2b2c2)a(bc)b(cb)c(ac)，则有

aDbccab111acbbacaxby1cxay1bxcy1acbbac0000.

例3 在ABC中，求证cos2Acos2Bcos2C12cosAcosBcosC.

1cosCcosB1证明 由于cos2Acos2Bcos2C2cosAcosBcosC1cosCcosA

cosBcosA11acosCbccosA1cosAaacosBbcosBccosA1abcosCcosBcosCcosB101cosAa0cosA10cosCcosB0

所以，在ABC中，cos2Acos2Bcos2C12cosAcosBcosC成立.

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例 4求证：cos2证明：因为

1Dcoscoscos2cos2()2coscoscos()1.

cos1cos()coscos(1)12coscoscos()cos2cos2cos2()

10sin2sinsincos2cos2(0sinsinsin2)2coscoscos()1

又D000，

故cos2

1.2 用行列式分解因式

a11由行列式的定义，a21a12a22a11a22a12a21.由此启发，我们可以把一个代数式F看

成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即FMNPQ(M,N,P,Q均为代数式)，于是FMQPN.由此即可根据行列式的性质，对某些多项式进行因式分解.

例1分解因式x46x3x224x20. 解：x46x3x224x20x2(x26x1)4(6x5)

x246x5x26x1(x24)14x216x1

(x24)(x26x5)(x2)(x1)(x2)(x5).

例2 将a3b386ab分解因式.

aba22ba1(ab2)2b1a21b a解：a3b386ab2b(ab2)(a2b2ab2a2b4).

例3 分解因式ab2bc2ca2ac2ba2cb2.

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解：ab2bc2ca2ac2ba2cb2a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)

aa21bb21cc21(ab)(bc)(ca).

利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则.

1.3 行列式在解析几何中的应用

定理12（1）以平面内三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为顶点的ABC的面积S1x1y112x2y21的绝对值. x3y31xy1（2）通过两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线方程为x1y110.

x2y21例 求过点2,3和点1,4的直线的方程.

xy1解 由2310，得直线的方程为xy50.

141（3）平面内三条直线L1:a1xb1yc10,L2:a2xb2yc20,L3:a3xb3yc30.

a1b1c1相较于一点或互相平行的充要条件是：a2b2c20.

a3b3c3x1y1推论2 平面上三点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)在一条直线上的充要条件是x2y2x3y3定理22 通过平面上三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的圆的方程为

x2y2xy1x21y21x1y11x222y2x2y0.

21x23y23x3y31授课：XXX

0.

111

例1 平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平行或交于一点.

证明：设三个圆的方程分别为x2y2DixEiyFi0(i1,2,3).两两相减得三条交线正是

所述三条根轴，它们所在的直线方程为

(D1(D1(D3D2)x(E1D3)x(E1D2)x(E3E2)y(F1E3)y(F1E2)y(F3F2)F3)F2)0,0, 0三条直线方程的系数行列式为

D1D2DD1D3D3D2E1E2E1E3E3E2F1F2F1F3F3F2D1D2D2D3D3D2E1E2E2E3E3E2F1F2F2F3F3F20

故三直线平行或相较于一点.

本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解本题,居高临下,让人耳目一新.

第2章 线性方程组在中学数学中的应用

线性方程组在中学就学过，主要是研究若干变量的相互关系，比如下面就是一个线性方程组的例子：

一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共吃一百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问大和尚和小和尚各多少人? 解 设大和尚的数目是x，小和尚的数目是y，则有

xy100x25， 解之得  1y753xy1003其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.

定理 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是:方程组的系数

3行列式等零. 例1已知函数f(x)x2axb,证明f(1)、f(2)、f(3)中至少有一个不小于

1. 2解 把x=1,2,3代入函数表达式,列方程组

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ab(1f(1))02ab(4f(2))0 3ab(9f(3))0111f(1)f(2)f(3)0,展开整理得

上述关于a、b、1的齐次线性方程组有非零解,故214319f(1)2f(2)f(3)2，假设结论不成立,即f(1)111, f(2), f(3),易推出2222f(1)2f(2)f(3)2,从而产生矛盾,故命题成立.

例2 已知

xyza，

yzxb，

zxyc，求证：abbcca12abc.

xayaz0证明：由已知得关于x,y,z得方程组bxybz0

cxcyz01a1cab0 1因为x,y,z不可能为零，所以由定理知bc化简得1abcabcacbcab0即abbcca12abc.

由已知条件的结构特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组,构造三阶行列式,其解题思路新颖,能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题,凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.

第3章 二次型理论在中学数学中的应用

考虑一个 n 元二次型：

f(x1,x2,,xn)a11x122a12x1x2...2a1nx1xna22x22a11',n,X(x1,x2,...,xn),Aa12a1n2a2nx2xnannxn2X'AX，其中

aijR,i,j1,aaa1222aa2n2n. ann1n4定义一个二次型f(x1,x2,,xn)经过非线型替换变成的平方和

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f(x1,x2,,xn)d1x12d2x22Ldnxn2，diR,i1,,n,(1)称为f(x1,x2,,xn)的标准型.

定理14 实数域上任意一个二次型f(x1,x2,和（1）的形式.

,xn) 都可以经过非退化的线性替换变成平方

定理24 一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0，或秩等于1.

例 1 试判断下列多项式在 R 上能否分解，若能，分解之.

1)f(x1,x2)2)f(x1,x2)x122x224x1x22x13x2 x123x222x1x24x21

x122x224x1x22x1x33x2x3,则f(x1,x2)解 1) 令g(x1,x2,x3)g(x1,x2,1)，下面考虑g(x1,x2,x3)的秩和符号差，对g(x1,x2,x3)作非线性替换:

1xy2yy3121y1x12x2x3211yxx， 即 xyy32223244x3y3y3x3有g(x1,x2,x3)y122y2212y3，可见g(x1,x2,x3)的秩是3，有定理2，知g(x1,x2,x3)不能分8解，从而f(x1,x2)也不能分解. 解 2) 令g(x1,x2,x3)x123x222x1x24x2x3x32，则f(x1,x2)g(x1,x2,1)下面考虑g(x1,x2,x3)的秩和符号差.对g(x1,x2,x3)作非线性替换

11xyyy3121y1x1x2221 y22x2x3， 即 x2(y2y3)yx233x3y3有g(x1,x2,x3)f(x1,x2)y12y22，从而f(x1,x2)y12y22g(x1,x2,1)y12y22，可见f(x1,x2)的秩为2，符号

差为0，有定理2，知f(x1,x2)可以分解，且

g(x1,x2,1)(y1y2)(y1y2)(x13x21)(x1x21)

4定理2 对于n元实二次型f(x1,x2,...,xn)X'AX,1,2,...,n为A的特征值,则对于任意

XRn,有miniX'Xf(x1,x2,...,xn)maxiX'X.

例3 设x,y是实数,且满足x2xyy23.则x2xyy2的最大值与最小值是____.

1解 令f(x,y)x2xyy2(x,y)12112x,则f(x,y)的矩阵Ay112授课：XXX

12.1

1令IA1212(3)(1)0,因此,特征值

22111,223. 213由定理得(x2y2)f(x,y)(x2y2),注意到f(x,y)3,解得2x2y26.又

22x2xyy22(x2y2)f(x,y)2(x2y2)3,从而1x2xyy29,所以x2xyy2的

最大值为9,最小值为1.

n由此可见,运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型f(x1,x2,...,xn)在条件

2ix

i1a下的取值范围,解法流程清晰,易于掌握.

第4章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用

新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中学供学生选修，以开阔学生的视野，满足不同学生的数学需要，促进学生的数学发展.被下放的有矩阵与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专题。下面对中学数学引入矩阵知识的意义及作用，进行初步的探讨.

4.1 中学数学引入矩阵的意义

中学数学引入矩阵初步知识的意义，本人认为，主要有四个方面：首先，为表达数据提供新的工具.因此，中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达数据的新工具，一是学生更好的学习概率、统计、技术原理等课程，也能使学生更好地适应现实生活中的需要；其次，为研究映射提供了一个新平台.在中学数学中，映射是最重要的基本概念.在新课程中学数学体系中，直接与映射有关的内容就有函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极坐标与参数方程等十几个方面映射不仅是中学数学的重要概念，也是学习高等数学的必备基础.但映射的表示方法，中学数学中原来只有解析法、列表法和图像法，这对于扩充学生的知识视野，尤其是对学习高等数学的需要，似嫌不足.因此，中学数学引入矩阵可为表达映射提供一种新的方法;第三，给线性方程组的解法开辟一条新的途径.引入矩阵知识及行列式以后，就可以得到解线性方程组的公式---克拉姆法则，这不仅为中学数学解线性方程组找到一条新的途径，而且有利于与高等数学相连接；第四，综合应用，为高等数学与其他模块的学习提供帮助.例如网络图、信息与密码、概率与统计、生态学等，都可

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以用矩阵表达或者求解，引入矩阵知识，可为学习这些知识提供有力的工

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具.

4.2 中学数学中矩阵与变换

中学数学中由矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”

abx的作用.用二阶矩阵A确定的变换，就是构造映射，使平面上的点y变成点cdx'abxabab，这个映射的对应法则就是左乘，在这个变换中，矩阵称'cdcdycdy之为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换.

例 1 已知在一个二阶矩阵M对应变换作用，点A1,2变成了点A'7,10,点B2,0变成了点B’2,4，求矩阵M.

abab17ab22解 设M，则，. cdcd210cd04a2b7a1c2d10b313所以 ， 解得 ， 所以M24. 2a2c22c4d4

4.3 线性变换面积定理

定理15 线性变换将平面上所有图形的面积放大或缩小同一倍数,这个倍数就是变换行列式的绝对值.

例1在平面直角坐标系xoy中,已知平面区域A(x,y)|xy1,且x0,y0,则平面区域

B(xy,xy)|(x,y)A的面积为____.

解 依题意,平面区域A是由O0,1,C(1,0),D(0,1)围成的三角形,面积S为

1,平面区域2授课：XXX

1111A变成平面区域B所对应的变换矩阵为,则变换行列式的绝对值det112,111所以平面区域B的面积S'为21.

2

4.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系

定理26 设空间两直线：L:A1设矩阵AA2A3A4B1B2B3B4AxB3yC3zD30A1xB1yC1zD10，L:3

AxByCzD0AxByCzD044442222B1B2B3B4C1C2C3C4D1D2则1）当r(A)=4的秩为r(A)，D3D4A1C1AC2的秩为r(A),矩阵A2A3C3C4A4时，两直线异面；2）r(A)=2时，两直线重合；3）r(A)=r(A)=3时，两直线相交；4）

r(A)=r(A)=3时，两直线平行.

xyz402xy3z50例 判断两直线L1:和L2:的位置关系.

xy3z103xy5z601231111345101143102010解 1132行变0226行变0113

11005602260000故r(A)=r(A)=2，所以直线L1与直线L2重合.

4.5 中学数学中矩阵变换的常见类型

中学数学中由矩阵确定的变换的常见类型，列表说明如下：

表1

变换名称 变换矩阵 7 中学数学中矩阵变换的常见类型

几何特征 恒等变换 10E= 01授课：XXX

图形F变成图形F

伸压变换 k0101、沿x轴方向：M1= 2、沿 轴方向 M=y2010k图形F变成图形F，大小和形状可能变化 ‘反射变换 1010x关于轴反射M1=关于y轴反射M2=01关于01图形F变成图形F，大小和形状不变，位置可能改变 ‘y0110关于原点反射 M=x反射M3=41001sin cos图形F变成图形F，大小和形状不变，位置可能改变 ‘旋转变换 cosMsin投影变换 垂直投到x轴：M1=1000垂直投到轴： M2=y0001图形F变成线或点 切变变换 1k101、沿x轴方向：M1= 2、沿y 轴方向M2=k1 01图形F变成图形F，大小和形状可能变化 ‘

第5章 用向量法解决初等几何问题

众所周知，向量是现代数学的基本概念之一。在高中数学教材中引入向量概念也是数学现代化的需要。向量是初等数学与高等数学的衔接点，这也是向量在数学课程改革中受到青睐的魅力所在。 向量有利于培养学生数形结合的思想方法，有利于拓宽解题思路，有利于发展学生的运算能力，有利于与高等教育衔接等方面。 例1 证明三角形的余弦定理. 证明 在ABC中，设BC那么abc0即a222a，CAb，ABc且a222a，bb，cc，

(bc) 从而abc2bc

所以abc2abcos(A) 即a2b2c22bccosA.

例2 求证：连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证明 M、N分别为三角形ABC的两边AB与AC的中点，那么

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MNANAM11ACAB221ACAB21BC,所以MN∥BC,且MN21BC.2授课：XXX

例3 如图，三菱锥PABC,PB⊥底面ABC，BAC90，PBBCCA42,点E、F分别是PC、AP的中点，

PEFBC求二面角ABEF的余弦值.

解 以BP所在直线为z轴，BC所在直线为y轴，建立空间直角坐标 系，则

B(0,0,0),A(42,42,0),C(0,42,0),P(0,0,42),E(0,22,22),F(22,22,22). A因为PB⊥平面ABC，所以PB⊥AC,又AC⊥CB,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥PC,所以EF⊥PC.又BE⊥PC,所以PC⊥平面BEF. 而PC(0,42,42)，所以平面BEF的一个法向量n1(0,1,1).

设平面ABE的法向量n2(x,y,z)，则n2BE22y22z0n2BA22x22y0，则x:y:z=1:(-1):1.

取x=1，则平面ABE的一个法向量n2(1,1,1)，所以cosn1,n26. 3所以二面角A-BE-F的平面角的余弦值为

6. 3

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结论

线性代数是数学的一个组成部分，是学习其它学科的重要工具，可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识．而近年来先线性代数以被广泛的应用到了中学数学中．

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程称为在教师引导下的“再创造”过程，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探索活动、让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．而高等数学进入初等数学正为学生实现这种创新意识提供了很好的教学材料．

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参考文献

[1]黎伯堂、刘桂真高等代数解题技巧与方法、济南、山东科学技术出版社、2003. [2]张夏强、邱云、例说行列式在中学数学中的应用、数学通讯、2010年06期. [3]欧阳新龙、齐次线性方程组有非零解条件的应用、中学数学、1987年06期.

[4]白颉、二次型理论在中学数学中的应用、.太原大学教育学院学报、2010年03月、第28卷第1期.

[5]张夏强、邱云、矩阵在求变换图形面积中的应用、数学教学通讯、2008年9月、第24卷第6期.

[6]陈荣海、浅谈矩阵的秩中学数学解析几何中的应用、福建泉州安溪一中.

[7]彭玉忠、“矩阵与变换”引入中学数学的意义及作用、河北北方学院学报、2008年9月. [8]余正光、林润亮、鲁自群、线性代数与几何、清华大学出版社、2009年. [9]刘书田、王中良、线性代数学习辅导与解题方法、高等教育出版社、2003年.

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致谢

本文能顺利地完稿除了与我自己的辛勤努力、参阅了大量的参考资料有关外，我还得到了老师和同学的悉心指导和帮助，在此对指导、帮助过我的老师、同学表示衷心感谢．

在毕业论文设计过程中,我遇到了一些困难，都是在指导老师储利忠老师的细心指点和帮助下,论文才得以完成. 我要感谢储老师 , 在我论文从选题、文章框架、找参考资料到论文的修改及最后的定稿方面 ,我都得到了储老师的耐心教导和指正．储老师是一位非常认真负责的老师 , 具有很强的敬业精神．在此 ,我向储老师表示最诚挚的谢意.

在学习期间，我的家人给予了我大力的支持，没有他们，我是无法顺利地完成学业的，在此对他们表达深深的爱意．

除此以外，我还要感谢本文引用的参考文献的作者们．

最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位老师！

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

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