2020年新高考数学复习充分条件与必要条件的合理判定专题解析

2020年新高考数学复习充分条件与必要条件的合理判定专题解析

考纲要求:

1、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义； 2、掌握必要条件、充分条件与充要条件的判定. 基础知识回顾: 充分条件与必要条件

已知命题p是条件，命题q是结论

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件；

所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。 如：x3是x4的充分条件。

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件；

所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。

如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足f(x)f(x)才是偶函数，满足f(x)f(x)是奇函数。

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

（4）两种常见说法：A是B的充分条件，是指A⇒B；A的充分条件是B，是指B⇒A

A的充要条件是B，充分性是指B⇒A，必要性是A⇒B，此语句应抓“条件是B”；A是B的充要条件，此．．．．．．·．

语句应抓“A是条件”． 应用举例:

类型一：充分条件与必要条件的判定——函数

【例1】已知函数

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件 【答案】C

，则“”是“”的（ ）

【例2】已知函数，则在

上不单调的一个充分不必要条件是（ ） ．．．．．．．

D．

A． 【答案】C

B． C．

【解析】分析：求出函数的导数，问题转化为函数理，结合二次函数的性质判断即可.

与x轴在有交点，通过分析整

解析：若

在

上不单调，

，

令则函数设其解为则

， ，

，

与x轴在

有交点，

因此方程的两解不可能都大于1， 其在

中只有一解，

，

，

其充要条件是解得

或

因此选项C是满足要求的一个充分必要条件. 故选：C.

点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质. 类型二：充分条件与必要条件的判定——不等式 【例3】设

，则“

”是“

”的

A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件

D． 既不充分也不必要条件 【答案】A

【例4】“”是“”的（ ）

A． 充要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分不必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】C

类型三：充分条件与必要条件的判定——圆锥曲线

【例5】【河北省衡水中学2018届高三数学（理科）三轮复习系列七】直线有两个不同交点的一个必要不充分条件是（ ） A． 【答案】B

【解析】分析：根据直线和圆的位置关系求出直线和圆有两个不同交点的充要条件，然后再结合给出的选

与圆

B． C． D．

项求解．

详解：圆的方程即为

．

由直线解得又∴直线故选B．

．

与圆有两个不同交点得，

，

与圆

有两个不同交点的一个必要不充分条件是

．

点睛：解答本题时注意两点：一是先求出直线与圆有两个交点的充要条件，即解必要不充分条件的含义，即

是所选择的范围的真子集．

；二是要正确理

【例6】已知椭圆：点，点在直线上，则“

，直线：轴”是“直线

与轴交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两过线段

中点”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析：若圆第二定义可得详解：若过作则：两次相除得：又由第二定义可得

轴，不妨设与轴交于点，过作交直线于点，由平行线的性质结合椭

，进而可得结果.

与轴交于点，

轴，不妨设交直线于点，

， ，

，

为

的中点，

过线段

中点， 与重合，

过线段

中点”的充分不必要条件，故选A.

反之，直线直线所以“

斜率为零，则

轴”是“直线

点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试

.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题

和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

类型四：充分条件与必要条件的判定——复数

【例7】设，则“”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的（ ）

A． 充分而不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】B

是

的真子集，故为必要非充分条件，故选B.

点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解过程中，需要首先确定出各条件对应的参数的取值范围，利用集合间的关系，求得结果.

类型五：充分条件与必要条件的判定——三角函数

【例8】设，则是的（ ）

A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A

【例9】”是“关于的方程有解”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】分析：先求出详解：由题得方程

得

得

，s

，而s有解可得

有解可得

即可.

”是“关于的

，故可得“

有解”的充分不必要条件，故选A.

点睛：考查逻辑关系，能正确求解前后的结论，然后根据定义判断是解题关键，属于基础题.

类型六：充分条件与必要条件的判定——平面向量 【例10】已知向量

，

，则“

”是“

”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A

类型七：充分条件与必要条件的判定——集合

【例11】若集合A0,m2,B1,2则“m1”是“AB0,1,2”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】由题得AB{0,1,2}所以m1，所以“m1”是“AB0,1,2”的 充分不必要条件，选A.

【例12】 已知集合Ax|x1x45，集合Bx||ylog22xx的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

2，则“xA”是“xB”

【答案】B

类型八：充分条件与必要条件的判定——立体几何 【例13】已知平面α，直线m，n满足mα，nA． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立. 详解：因为由

，所以根据线面平行的判定定理得

是

.

α，则“m∥n”是“m∥α”的

不能得出与内任一直线平行，所以的充分不必要条件，

故选A.

点睛：充分、必要条件的三种判断方法：

（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 【例14】若

为两条不同的直线，为平面，且

，则“

”是“

”的

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】分析：根据线面平行的性质以及线面垂直的性质可得充分性成立，由可能详解：由若

且

且，则”是“

能推出或者

，充分性成立； ，必要性不成立，

可得必要性不成立.

因此“”的充分不必要条件，故选A.

点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试

.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题

和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

类型九：充分条件与必要条件的判定——数列

【例15】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的( ) A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】B

【例16】在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】D

类型十：充分条件与必要条件的应用

【例17】已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．

（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；

（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）a≥11（2）0＜a≤1 【解析】试题分析：（1）分别求函数解集化简集合A，由的的取值范围，由解的范围.

试题解析：(1)由题意得

，

或

，若

，则必须满足

的定义域和不等式

（

）的对应

得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；（2）求出

是的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求

，解得

(2)易得

或

，∴的取值范围为.∵

.

是的充分不必要条件，

∴或是或的真子集，则，其中两个等号不能同时成立，解

得，∴a的取值范围为.

【例18】已知集合Ax|3x0 ，集合Bx|x22m1xm2m20 p:xA，

x1q:xB，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.

【答案】01，

【解析】试题分析：先化简A，B，再根据p是q的必要不充分条件，得出BA，列出方程组即可求出m

的范围. 试题解析：由

3x0得： 1x3，∴Ax|1x3 .由x22m1xm2m20，得x1m11 ，∴m1xm2.∴Bx|m1xm2 ，∵p是q的必要不充分条件，∴BA ∴{m230m1，经检验符合题意，∴m的取值范围为01，.

方法、规律归纳:

(1)充分条件、必要条件的判断方法

【定义法】直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

【等价法】利用p⇒q与q⇒p，q⇒p与p⇒q，p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

【集合法】若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． (2)判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系． 实战演练: 1．设：

，：

，则是的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

【答案】A

2．若

，则“复数

在复平面内对应的点在第三象限”是“

”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】分析：先化简复数z,再转化“复数条件判断得解. 详解：由题得由于复数所以“复数故答案为：C

点睛：（1）本题主要考查复数的计算、几何意义和充要条件，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、集合法和转化法来判断. 3．设a，b均为单位向量，则“

”是“a⊥b”的

=-a-5i,

在复平面内对应的点在第三象限，所以在复平面内对应的点在第三象限”是“

”的充要条件.

在复平面内对应的点在第三象限”，最后利用充分必要

A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】C

4．己知命题p: “关于x的方程x24xa0有实根”,若非p为真命题的充分不必要条件为a3m1,则实数m的取值范围是( ）

A． 1, B． 1, C． ,1 D． ,1 【答案】A

【解析】分析：通过方程有实数根的条件，确定a4，然后确定非p条件下a4；根据充分不必要条件确定3m14，进而求出m的取值范围。

详解：由命题p有实数根，则164a0 则a4 所以非p时a4

a3m1是非p为真命题的充分不必要条件，所以3m14 m1 ，则m的取值范围为1,

所以选A

点睛：本题主要考查了一元二次方程存在根的条件，复合命题和充分必要条件。尤其注意条件给出的方式，确定充分不必要条件，题目不难，属于易错题。 5．“

为假”是“

为假”的( )条件.

A． 充分不必要 B． 必要不充分 C． 充要 D． 既不充分也不必要 【答案】A

6．

”是“

”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】 由题意，当 而当所以7．“

是”是“函数

时，，则

或

，

；

时，根据对数函数的性质可得

成立的充分不必要条件，故选A．

的图象关于直线

对称”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析：由

能否推出函数

图象关于直线

对称，反过来看是否成立，由充

分必要条件的定义，得出正确的结论。 详解：当的对称轴；令

时，

，

，

，

，，当

时，

，所以

是函数

，当取值不同时，的值也在发

生变化。综上，是函数图象关于直线对称的充分不必要条件。选A.

图

点睛：本题主要考查三角函数的对称性及充分必要条件的定义，属于中档题。求函数象的对称轴，只需令

，求出的表达式即可。

8．设A． 【答案】D

， B．

C．

，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） D．

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 9．

中，“

”是“

为直角三角形”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分且必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】B

10．直线

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】分析：由两条直线平行，求解详解：由题意，当直线所以“

或

时，满足

，在根据充要条件的判定方法，即可得到结论.

，解得

，

，则“

或

”是“

”的（ ）

”是“”的必要不充分条件，故选B.

点睛：本题主要考查了两直线的位置的判定及应用，以及必要不充分条件的判定，其中正确求解两条直线平行式，实数的值是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题属于基础题. 11．已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是\"S4+S62S5\"的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】由S4S62S510a121d25a110dd，可知当d0时，有S4S62S50，即

S4S62S5，反之，若S4S62S5，则d0，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．

【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，通过套入公式与简单运算，可知S4S62S5d， 结合充分必要性的判断，若pq，则p是q的充分条件，若pq，则p是q的必要条件，该题“d0” ，故互为充要条件．  “S4S62S50”12．已知数列

是等比数列，其公比为，则“

”是“数列

为单调递增数列“的”（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】D

13．已知条件：：

，条件：直线

与圆

相切，则是的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A

14．已知p:x7x100， q:x4mx3m0，其中m0． （1）若m4且pq为真，求x的取值范围；

（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）4x5；（2）【解析】试题分析：（1）

2225m2． 3为真时的条件,当且仅当

与都为真时才为真；（2）判断充分不必要条件

时,如果无法进行正面判断,则可以使用其逆否命题进行判断,然后转化为集合之间的包含关系,得出答案． 试题解析：解：（1）由x27x100，解得2x5，所以p:2x5 又x24mx3m20，因为m0，解得mx3m，所以q:mx3m． 当m4时， q:4x12，又pq为真， p,q都为真，所以4x5． （2）由q是p的充分不必要条件，即qp，

，其逆否命题为

，

m25由（1）p:2x5， q:mx3m，所以{3m5 ，即m2．

3m0考点：1．一元二次不等式．2．命题及其关系．3．充分必要条件．

【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意pq时，

是的充分条件，是

的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件

的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为p,q命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题．另外需注意等号的取舍．

15．（1）已知命题p:对任何xR,x2x43.请写出该命题的否定.

（2）不等式xa1xa0成立的一个充分不必要条件是2x1,求a的取值范围.

2【答案】（1）x0R,x2x43（2）a2