类型一、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数f(x)，导函数方程f'(x)0的根存在，却无法求出，设方程f'(x)0的根为x0，则①有关系式f'(x0)0成立，②注意确定x0的合适范围.
例: 已知函数（1）求函数（2）若【答案】 （1）见解析 （2）
的导函数为的极值. ，且
，且.
对任意的都成立，求的最大值.
（2）由（1）及题意知，对任意的都成立.令，
则
上为增函数，因为
，
所以函数
在
.令
，
.故当上单调递减，在
时，
，则
，所以方程，即上单调递增，所以
；当
，所以函数存在唯一实根时，
，即
在，且
.
，所以
.
【掌握练习】 1、已知函数（1）讨论
的最值；
.
，，又，故的最大值为
（2）若【答案】
，求证：..
（1）见解析 （2）略 【解析】 （1）依题意，得存在最大值和最小值； ②当
时，由
得，
.当变化时，
与
的变化情况如下表
.①当
时，
，所以
在
上单调递减，故
不
（2）当，，设，则，设，由
，可知在上单调递增.因为，，所以存
在唯一的，使得.当变化时，与的变化情况如下表：
由上表可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，故当
时，
取得极小值，
也是最小值，即.由可得，所以.
又，所以，所以，即
，所以不等式
成立.
2、已知函数（1）求
的极值点；
.
（2）证明：【答案】
.
（1）极小值点（2）见解析.
，不存在极大值点；
（2）设方程
，则在区间
内恰有一个实根.设方程
，设，则在区间
内的实根为
时，
，即
，此时
.所以，当单调递增.所以
时，，此时单调递减；当
由在上
是减函数知，
类型二、含参函数的隐零点问题
，故.综上.`
已知含参函数f(x,a)，其中a为参数，导函数方程f'(x,a)0的根存在，却无法求出，设方程f'(x)0的根为x0，则①有关系式f'(x0)0成立，该关系式给出了x0,a的关系，②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关. 例：已知函数（1）若（2）若【答案】
,求函数的单调区间; ,
对
恒成立,求的取值范围.
.
（1）（2）【解析】 （1）函数
的定义域为.
.
即方程有个不相等的实数根,设为,,
由根与系数的关系可得, ,
即此时当即方程
,在时,
,故时,
上单调递增;
,
,
有个不相等的实数根,设为
,
,且
,
则, ,
由根与系数的关系,可得, ,即,
当或时,,单调递增,
当综上,当
时,
时,
的单调递增区间为
,单调递减. ,无单调递减区间;
当时,的单调递增区间为, ,
单调递减区间为.
当故∴又∴依题意令易知且
,故
在, , , ,即
,
上单调递增,
,
在
时,
,即
上单调递增,
,
,
又,即,
易知∴
【掌握练习】 1、已知函数
.
在上单调递减,
．
（1）若曲线（2）当【答案】 （1）
在点
时，证明：
处的切线斜率为，求实数
.
的值；
；（2）证明见解析.
当要证
时，
，只需证明
．
设，则.
设，则．
所以函数因为所以函数因为当所以当
，所以时，时，
；当
取得最小值
，
在
在
，
上单调递增．
上有唯一零点，即
时，
.
，且
. ，
所以综上可知，当
时，
.
.
2、（1）求证：（2）已知函数①讨论②
；
，
的极值点的个数，并说明理由； ，求证：
.
【答案】见解析
当∴且在
是
②由①即证即即证令∴∴
. 时，取
得到
，
，
，
，令
，则
有唯一解，取为，
，在
的极小值点.
，即
，由（1）知，即
，.
，
.
.
