类比推理教学设计

《类比推理》 河北衡水中学 王丛

一、教学内容解析

“推理与证明”是数学的基本思维过程，是人们生活和学习中必不可少的思维方式，本章介绍了两种基本的推理：合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。本节课是合情推理中的类比推理，类比推理是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）选修2-2中的第二章第一节第二课时的内容，是学生在学习归纳推理概念后学习的另外一种推理方法，它把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以显现的形式呈现出来，使学生更明确这些方法，有益于学生了解数学的价值，体会数学来源于实践，又反作用于实践的认识问题的一般规律。

类比推理是一节概念课，它是根据两个对象在一系列属性上是相同的，而且已知其中的一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有同样的其他属性的结论；它在解决问题的过程中，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

本节课的教学重点是：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

二、教学目标设置

课程目标：

（1）通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系和差异； （2）体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法和间接证明的

方法；

（3）感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。 单元教学目标：

（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等

进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；

（2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基

本模式，并能运用它们进行一些简单的推理；

（3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的练习和差异。 结合以上分析，设置本节课的课堂教学目标为：

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知识与技能目标：

（1）了解类比推理的含义、特点，能利用类比进行简单的推理； （2）体会并认识类比推理在数学发现中的作用。 过程与方法目标：

（1）通过已已学过的数学实例和生活中的实例创设情境，引导探究，体会类比推理的含义；（2）学生经历观察、分析、提出猜想、抽象概括的过程，提高观察猜想、抽象概括的能力，

渗透类比的思想方法。 情感态度与价值观目标：

体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用，提高学生学习数学的兴趣，增强创新意识，养成理性思维的习惯。

三、学生学情分析

学生已有认知基础

类比推理安排在高二下学期，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。这个阶段已学过高中阶段大部分知识板块，具有一定的知识储备；而且初高中已经将类比推理渗透到教材的很多章节，学生接触了很多运用类比推理进行探索的实例，上一节课学生已经学习了合情推理中的归纳推理，做好了学习本节课的知识储备。 达成目标所需要的认知基础

对于类比推理，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用类比进行推理，能否做出猜想．（2）寻求合适的类比对象。 教学难点及突破策略

难点：找到合适的类比对象，分析两类事物在结构或功能等方面的关系，正确运用类比推理的思想方法. 突破策略：

（1）从问题中两类对象分别是什么和他们有哪些类似特征两方面，分析在教学过程中老师

给出的例子和学生举到的类比推理的例子；

（2）通过寻找两类对象的相似性，将两类不同的对象联系起来，从这种相似性出发，从概

念、结构、维度、方法等角度出发，由一类对象的已知特征推测另一类也具有这样的特征；

四、教学策略分析

根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，为了充分调动学生的积极性，使学生变

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被动学习为主动学习，在课堂教学中，我将贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想。

教学环节 鲁班发明锯子的故事。 问题1:举出类比发明的实例 问题2:火星上是否有生命？ 教学策略分析 依据概念学习的特点，在学生知识的“最近发展区”设置问题倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，问题3：类比圆的性质，给出球的类似性质。 让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。并推过日常生活、科学研究和数学研究中实例，让学生逐步体会类比推理的含义。 设置探究1,2 通过探究1,2的设置，让学生进一步体会类比推理的含义，感受类比推理的过程，并明确如何进行类比推理。 设置练习1,2 合理的确定类比对象是非常重要的，否则会使类比成为“乱比”，这部分内容对学生要求较高，本节课通过练习1,2,的设置，层层引入，逐步让学生体会从不同角度出发寻找类比对象，突破重难点。 设置探究3 探究3的设置属于开放性题目，给学生提供了几个可以选择的类比对象，降低了难度，避免学生出现“乱比”的现象，这这个过程中照顾到不同学生的认知基础，从自己的已有认知出发，自己寻求类比的对象，并小组内交流，可以得到合作共赢。 探究3的设置还希望学生能出现类比出错的情况，进而说明了类比推理的结论不一定是正确的。 五、教学过程

教师：上一节我们学习了归纳推理，知道归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

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通过上节课的学习我们感悟到归纳推理在生活及数学中的作用，这节课我们进一步研究一种新的推理——类比推理。著名数学家波利亚说“类比是一个伟大的引路人”，拉普拉斯曾说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”在人们的创造发明活动中，常常应用到类比。

设计意图：回顾上节课所学，明确归纳推理在生活及数学中的作用，并引出本节课的课题； 通过数学家的话，使学生认识到类比非常重要，引起学生对类比的兴趣，产生强烈的求知欲。 （一）感悟生活，初步认识

春秋时代鲁国的鲁班，木匠业的祖师。一次去林中砍树被一株齿形的茅草割破了手。 这件事给了他启发，从而发明了锯子。

教师：在这个故事中鲁班类比茅草的形状和功能发明了锯子。

问题1：请举出几个利用“类比推理”方法进行创造发明的实例，并从中感悟这种推理方法在现实生活与学习中的意义与作用？ 让学生思考、举例。

教师：仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。

设计意图：通过举例强化学生的认知层次，突出抽象与概括的思维过程，体会类比在生活中

的广泛应用

教师：下面看一个关乎人类未来发展的问题：火星上是否有生命？ 问题2：火星上是否有生命存在？

地球 行星、围绕太阳运行、绕轴自转 有大气层 一年中有季节的变更 温度适合生物的生存 有生命存在 有大气层 一年中有季节的变更 火星 行星、围绕太阳运行、绕轴自转 大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 科学家研究发现火星上具有一些与地球类似的特征，我们知道地球上有生命存在，由此

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科学家猜想，火星上也可能有生命。

教师：请同学们思考科学家做出这样猜想的推理过程是怎样的呢？咱们请一位同学说说你的理解。

设计意图：通过具体实例学生感受这种推理的过程。

教师：看来这种推理在日常生活和科学研究中都是非常重要和普遍存在的。在数学研究中也常常进行这样的推理。比如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆，圆和球在形状和概念上具有相似的特征，因此我们推测对于圆的特征，球也可能具有。 问题3、类比圆的概念和性质，填写这个表格，并思考推理的过程。 圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球的类似概念和性质 球的表面积 球的体积 球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面 与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长 以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方222程为(xx0)(yy0)r 与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程2222为(xx0)(yy0)(zz0)r 设计意图：在此我选用了学生熟悉的例子，因为概念的学习熟悉的例子更便于发现最本质、 最核心的内涵，学生容易抓住共性规律，有利于突出教学重点，在这个过程中我有意让学生 思考这种推理的过程，体会类比推理的含义。

问题4：请同学们回顾一下上述生活或数学的实例，根据它们的类比过程，谈一下你对“类比推理”的认识？

教师：上述实例都是说：两类对象S1,S2具有某些类似特征和其中一类对象S1的某些已知特征，推出S2也具有这些特征。 教师：下面我们来看类比推理的定义

类比推理的定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.

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特点：类比推理是由特殊到特殊的推理。 （二）亲身体验，主动探究

在数学发明、发现和学习中，很多知识都用到了类比。 下面我们看一下空间与平面的类比:

探究1：类比实数的加法和乘法，列出他们相似的运算性质。

教师：实数的加法和乘法具有这样的类似特征，都是两个数参与的运算。那老师给出一条相似的运算性质：两个实数经过加法运算和乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数。类比老师说的相似运算性质，你能找到加法与乘法其他类似的运算性质吗？ 加法 两个实数经过加法运算所得结果仍然是一个实数 满足交换律和结合律 乘法 两个实数经过乘法运算所得结果仍然是一个实数 满足交换律和结合律 abba (ab)ca(bc) 存在逆运算——减法 使ax0有唯一解xa abba (ab)ca(bc) 存在逆运算——除法 使ax1(a0)有唯一解x1 a任意实数与0相加都不改变大小，即 任意实数与1相乘都不改变大小，即a1a a0a 设计意图：首先将学生熟悉的实数加法与实数乘法进行类比，感受是如何进行类比的，体会类比推理的过程。

在我们的学习中，还常常用到空间与平面的类比。我们看一下构成平面图形的一些元素是如何和空间图形中的元素进行类比的。。。。。

平面图形 点 线 周长 面积 平面直角坐标系 空间图形 点或线 线或面 表面积 体积 空间直角坐标系 教师：我们再来看问题3中表格，看看是如何进行类比的，以第3条为例，

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圆心——球心 弦——截面圆 弦中点——截面圆的圆心

练习1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( ) A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 练习2．平面中的哪个图形可以作为空间四面体的类比对象？

设计意图:通过2个小练习，首先让学生明确应用类比推理必须选择合适的类比对象，否则 就成了“乱比”，还能使学生体会可以从不同角度出发选择类比对象。 探究2：根据直角三角形的性质，试给出空间中四面体性质的猜想。

B P D C

A E F

问题5：结合以上研究，总结类比推理的步骤？ 观察、比较——联想、类推——猜想新结论

设计意图：使学生经历类比推理的过程，并体会观察分析的重要性，积累经验。简单的问题 背景不会使学生在叙述和理解上花费大量时间，反而更容易看清类比推理的思维过程是如何 展开的，为解决“问题5：总结类比推理的步骤？”做了铺垫，凸显了重点也分解了难点。 通过这两节课的学习我们可以把归纳推理和类比推理的推理过程概括为：

从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 教师：可见归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。合情推理是指“合乎情理”的推理。

（三）师生辨析，拓展思维

探究3：自选可以进行类比的两类对象，并给出你的猜想。（比如不等式与等式类比、向量与实数类比、长方体与长方形类比等等） 同学们自主思考，小组合作，交流想法。 选取2-3组同学展示成果。

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设计意图：让学生自选可以进行类比的对象，可以开拓学生的视野，在这个过程中让学生深入体会类比推理的含义，而且在这个过程中，会出现类比出错的情况，说明类比推理的结论不一定是正确的。通过整个过程使学生对类比推理有更全面而深刻的认识，提高学生的学习兴趣。

（四）总结反思，升华提高 学生梳理本节课的收获：

1.类比推理是由特殊到特殊的推理。

2.其结果具有或然性，虽然猜想是否正确有待严格证明，但为研究提供了方向，有发现新事实、获得新结论的作用，是做出科学发现的重要手段。 3.类比推理步骤：观察、分析——比较、联想——猜想新结论

类比推理是一种具有创造性的推理，是科学发现的动力，虽然猜想是否正确有待严格证明，但为我们的研究提供了一种方向，具有发现新事实、获得新结论的作用。 本节课的作业

1.课本77页练习第3题

2.结合本节课的学习，利用类比推理的方法总结椭圆、双曲线、抛物线的性质。

3.梳理本节课的学习收获，查阅符合类比推理的著名猜想，以小论文形式写出你对类比推理的理解和认识。

设计意图：归纳小结锻炼学生的概括能力、语言表达能力，加深了对本节课的认识，是巩固 新知必不可少的环节。课下作业培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力。