高考数学总复习全套讲义

第1课时 集合的概念及运算

【考点导读】

1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．

3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】

1.集合{(x,y)0x2,0y2,x,yZ}用列举法表示

{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．

2.设集合A{xx2k1,kZ}，B{xx2k,kZ}，则AB． 3.已知集合M{0,1,2}，N{xx2a,aM}，则集合MN_______．

4.设全集I{1,3,5,7,9}，集合A{1,a5,9}，CIA{5,7}，则实数a的值为____8或2___．

【范例解析】

例.已知R为实数集，集合A{xx23x20}.若BCRAR，

BCRA{x0x1或2x3}，求集合B.

分析：先化简集合A，由BCRAR可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.

解：（1）QA{x1x2}，CRA{xx1或x2}.又BCRAR，

ACRAR，

可得AB.

而BCRA{x0x1或2x3}，

{x0x1或2x3}B.

借助数轴可得BA{x0x1或2x3}{x0x3}. 【反馈演练】

1,2，B1,2,3，C2,3,4，则ABUC=_________． 1．设集合A2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合

P+Q={ab|aP,bQ},若P{0,2,5},Q{1,2,6}，则P+Q中元素的个数是____8___个． 3．设集合P{xx2x60}，Q{x2axa3}. （1）若PQP，求实数a的取值范围； （2）若PQ，求实数a的取值范围； （3）若PQ{x0x3}，求实数a的值.

解：（1）由题意知：P{x2x3}，QPQP，QP. ①当Q时，得2aa3，解得a3．

②当Q时，得22aa33，解得1a0． 综上，a(1,0)(3,)．

（2）①当Q时，得2aa3，解得a3；

2aa3,3②当Q时，得，解得a5或a3．

2a32或2a33综上，a(,5][,)．

2（3）由PQ{x0x3}，则a0．

第2课 命题及逻辑联结词

【考点导读】

1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系． 2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．

3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】

1.下列语句中：①x230；②你是高三的学生吗？③315；④5x36．

其中，不是命题的有____①②④_____．

2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则

p ，否命题可表示为 若p则q，逆否命题可表示为若q则p；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题． 【范例解析】

例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分；

（3） 设a,b,c,dR，若ab,cd，则acbd.

分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题. 解： （1）

原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；

逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题； 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题； 逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题. （2）

原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；

逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题； 否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；

逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题. （3）

原命题：设a,b,c,dR，若ab,cd，则acbd；真命题； 逆命题：设a,b,c,dR，若acbd，则ab,cd；假命题； 否命题：设a,b,c,dR，若ab或cd，则acbd；假命题； 逆否命题：设a,b,c,dR，若acbd，则ab或cd；真命题.

点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.

例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.

（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；

（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；

（3）p：方程x2x10的两实根的符号相同，q：方程x2x10的两实根的绝对值相等.

分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假. 解：

（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；

p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题； 非p：2不是4的约数，假命题.

（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；

p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p：矩形的对角线不相等，假命题.

（3）p或q：方程x2x10的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；

p且q：方程x2x10的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非p：方程x2x10的两实根的符号不同，真命题.

点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.

例3.写出下列命题的否定，并判断真假.

（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p：每一个非负数的平方都是正数；

（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p：有的四边形没有外接圆； （5）p：某些梯形的对角线互相平分.

分析：全称命题“xM,p(x)”的否定是“xM,p(x)”，特称命题“xM,p(x)”的否定是“xM,p(x)” . 解：

（1）p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题； （2）p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；

（3）p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题； （4）p：所有四边形都有外接圆，假命题； （5）p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题. 点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：

正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定词语 正面词语 否定词语 不等于 至多有一个 至少有两个 不大于 至少有一个 一个也没有 不小于 任意的 某个 不是 所有的 某些 不都是 … … 【反馈演练】

若bM，则aM 1．命题“若aM，则bM”的逆否命题是__________________. 2．已知命题p：xR,sinx1，则p:xR,sinx1.

3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____.

ab若ab，则221 ． 4．命题“若ab，则2a2b1”的否命题为________________________

5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．

（1）设a,bR，若ab0，则a0或b0； （2）设a,bR，若a0,b0，则ab0． 解：

（1）逆命题：设a,bR，若a0或b0，则ab0；真命题； 否命题：设a,bR，若ab0，则a0且b0；真命题； 逆否命题：设a,bR，若a0且b0，则ab0；真命题； （2）逆命题：设a,bR，若ab0，则a0,b0；假命题； 否命题：设a,bR，若a0或b0，则ab0；假命题； 逆否命题：设a,bR，若ab0，则a0或b0；真命题．

第3 课时 充分条件和必要条件

【考点导读】

1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．

2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合PQ，则P是Q的充分条件； 若集合PQ，则P是Q的必要条件； 若集合PQ，则P是Q的充要条件．

3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】

1.若pq，则p是q的充分条件．若qp，则p是q的必要条件．若pq，则

p是q的充要条件．

2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

（1）已知p:x2，q:x2，那么p是q的_____充分不必要___条件．

（2）已知p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的____充要_____条件． （3）已知p:四边形的四条边相等，q:四边形是正方形，那么p是q的___必要不充分__条件．

3.若xR，则x1的一个必要不充分条件是x0．

【范例解析】

例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.

x2,xy4,（1）是的___________________条件；

y2.xy4.（2）(x4)(x1)0是

x40的___________________条件； x1（3）是tantan的___________________条件； （4）xy3是x1或y2的___________________条件.

分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.

x2,xy4,1解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若x，

2y2.xy4.xy4,x2,x2,xy4,，但不成立，所以是的充分不必要条y10，有xy4.y2.y2.xy4.件.

（2）因为(x4)(x1)0的解集为[1,4]，

(x4)(x1)0是

x40的解集为(1,4]，故x1x40的必要不充分条件. x1（3）当2时，tan,tan均不存在；当tantan时，取4，5，4但，所以是tantan的既不充分也不必要条件.

（4）原问题等价其逆否形式，即判断“x1且y2是xy3的____条件”，故

xy3是x1或y2的充分不必要条件.

点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.

【反馈演练】

1．设集合M{x|0x3}，N{x|0x2}，则“aM”是“aN”的_必要不充分 条件．

充分不必要 2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的 条件． 3．已知条件p:A{xRx2ax10}，条件q:B{xRx23x20}．若q是

p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：q:B{xR1x2}，若q是p的充分不必要条件，则AB． 若A，则a240，即2a2；

a240,52若A，则aa24解得a2． aa42x,225综上所述，a2．

22012高中数学复习讲义 第二章 函数A

【知识导读】 【方法点拨】 表 示 方 法 函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函概念 一般化 数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝定义域 值域 对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解． 图像 1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断单调性 奇偶性 所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等． 2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！幂函数 利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题． 3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要指数 特殊化 具体化 基本初等指数函数 映射 的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循函数 函数Ⅰ 的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级互 逆 对数函数 讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”． 对数 4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数二次函数 学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题． 第1课 函数的概念 【考点导读】 1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，函数与方程 体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 应用问题 【基础练习】 1．设有函数组：①

yx，yx2；②yx，y3x3；③yx，yx；④x1y1___． 2.设集合M

y (x0),(x0),，yxx；⑤ylgx1，ylg．其中表示同一个函数的有___②④⑤x10{x0x2}，N{y0y2}，从M到N有四种对应如图所示：

y y 2 y 其中能表示为M到N的函数关系的有_____②③____． 2 2 2 3.写出下列函数定义域：

(1) f(x)13x的定义域为______________； (2) O 1 2 x ______________； ① (3)

O 1 ②

2 x O f(x)1 ③

2 1的定义域为x21x O 01 ④

2 x (x1)1f(x)x1的定义域为______________； (4) f(x)的定义域为xxx_________________．

4．已知三个函数:(1)yP(x)； (2)y2nP(x)(nN*)； (3)ylogQ(x)P(x)．写出使各函数Q(x)式有意义时，P(x)，Q(x)的约束条件：

(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________． 5.写出下列函数值域：

(1) f(x)xx，x{1,2,3}；值域是{2,6,12}． (2) f(x)x2x2； 值域是[1,)． (3) f(x)x1，x(1,2]． 值域是(2,3]． 【范例解析】

22Q(x)0且P(x)0且Q(x)1

x212例1.设有函数组：①f(x)，g(x)x1；②f(x)x1x1，g(x)x1；

x1③

f(x)x22x1，g(x)x1；④f(x)2x1，g(t)2t1．其中表示同一个函数的

有③④．

分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同． 解：在①中，f(x)的定义域为{xx1}，g(x)的定义域为R，故不是同一函数；在②中，f(x)的

定义域为[1,)，g(x)的定义域为(,1][1,)，故不是同一函数；③④是同一函数．

点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．

例2.求下列函数的定义域：① y1xx21； ② f(x)； 2xlog1(2x)22x0,解：（1）① 由题意得：解得x1且x2或x1且x2，

2x10,故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)．

② 由题意得：log1(2x)0，解得1x2，故定义域为(1,2)．

2例3.求下列函数的值域：

（1）yx4x2，x[0,3)；

2x2(xR)； （2）y2x1（3）yx2x1．

分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：yx4x2(x2)2，Q22x[0,3)，函数的值域为[2,2]；

x211112（2） 解法一：由y2，Q021，则Q120，x1x1x1x10y1，故函数值域为[0,1)．

x2yy220，0y1，故函数值域解法二：由y2，则x，Qx0，1y1yx1为[0,1)． （3）解：令

x1t(t0)，则xt21，yt22t1(t1)22，

当t0时，y2，故函数值域为[2,)．

点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围． 【反馈演练】

1．函数f(x)＝12的定义域是___________． 2．函数f(x)x1的定义域为_________________． 2log2(x4x3)3. 函数y1(xR)的值域为________________． 1x24. 函数y2x3134x的值域为_____________． 5．函数

ylog0.5(4x23x)的定义域为_____________________．

6.记函数f(x)=(1) 求A；

2x3的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B． x1(2) 若BA，求实数a的取值范围． 解：(1)由2－

x3x1≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．

x1x1(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0． ∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ． ∵BA， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥∴

1或a≤－2，而a<1， 211≤a<1或a≤－2，故当BA时， 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)． 22第2课 函数的表示方法

【考点导读】

1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．

2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】

1.设函数f(x)2x3，g(x)3x5，则f(g(x))_________；g(f(x))__________．

2.设函数

f(x)112，g(x)x2,则g(1)_____3_______；f[g(2)]；

71xf[g(x)]1

． 2

x3

3.已知函数f(x)是一次函数，且f(3)7，f(5)1,则f(1)__15___．

|x1|2,|x|1,14.设f(x)＝1，则f[f()]＝_____________．

2, |x|121x33y|x1| (0≤x≤2)

5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 22【范例解析】

例1.已知二次函数yf(x)的最小值等于4，且f(0)f(2)6，求f(x)的解析式． 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．

第5题

c6,a2,2解法一：设f(x)axbxc(a0)，则4a2bc6,解得b4,

c6.4acb24.4a2故所求的解析式为f(x)2x4x6．

解法二：Qf(0)f(2)，抛物线yf(x)有对称轴x1．故可设f(x)a(x1)24(a0)．

将点(0,6)代入解得a2．故所求的解析式为f(x)2x4x6．

解法三：设F(x)f(x)6.，由f(0)f(2)6，知F(x)0有两个根0，2， 可设F(x)f(x)6a(x0)(x2)(a0)，f(x)a(x0)(x2)6， 将点(1,4)代入解得a2．故所求的解析式为f(x)2x4x6．

点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．

例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出yf(x)的函数解析式．

y 分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．

4 11x，当x[40,60]时，直线方程为yx2， 解：当x[0,30]时，直线方程为y3 1015点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表2 达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．

1 【反馈演练】

O 10 20 30 40 50 60 exexexex1．若f(x)，g(x)，则f(2x)（ D ）

22例2 Ａ． 2f(x) Ｂ．2[f(x)g(x)] Ｃ．2g(x) Ｄ． 2[f(x)g(x)]

12．已知f(x1)2x3，且f(m)6，则m等于________．

23. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．

x 22解：设函数yfx的图象上任意一点Qx0,y0关于原点的对称点为Px,y，

x0x0,x0x,2则 即yyyy.00,02∵点Qx0,y0在函数yfx的图象上

2∴yx2x，即yx22x, 故gxx22x．

第3课 函数的单调性

【考点导读】

1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义； 2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性． 【基础练习】 1.下列函数中： ①

f(x)12； ②fxx2x1； ③f(x)x； ④f(x)x1． x其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数yx3.函数yx的递增区间是___ R ___．

x22x3的递减区间是__________．

4.已知函数yf(x)在定义域R上是单调减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围__________． 5.已知下列命题： ①定义在R上的函数②定义在R上的函数③定义在R上的函数在R上是增函数；

④定义在R上的函数f(x)在区间(,0]上是增函数，在区间(0,)上也是增函数，则函数f(x)在R上是增函数．

其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】

例 . 求证：（1）函数f(x)2x3x1在区间(,（2）函数

2f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)是R上的增函数； f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在R上不是减函数；

f(x)在区间(,0]上是增函数，在区间[0,)上也是增函数，则函数f(x)3]上是单调递增函数； 4f(x)2x1在区间(,1)和(1,)上都是单调递增函数． x1分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间(,3]内的任意两个值x1，x2，且x1x2， 42222因为f(x1)f(x2)2x13x11(2x23x21)2x22x13x13x2

(x1x2)[32(x1x2)]，

又x1x233，则x1x20，x1x2，得32(x1x2)0， 42故(x1x2)[32(x1x2)]0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)． 所以，函数f(x)2x3x1在区间(,23]上是单调增函数． 4（2）对于区间(,1)内的任意两个值x1，x2，且x1x2， 因为f(x1)f(x2)2x112x213(x1x2)， x11x21(x11)(x21)又x1x21，则x1x20，(x11)0，(x21)0得，(x11)(x21)0

故

3(x1x2)0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)．

(x11)(x21)2x1在区间(,1)上是单调增函数． x12x1同理，对于区间(1,)，函数f(x)是单调增函数；

x12x1所以，函数f(x)在区间(,1)和(1,)上都是单调增函数．

x1所以，函数

f(x)点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值x1，x2；（2）作差f(x1)f(x2)，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论． 例2.确定函数f(x)1的单调性．

12x分析：作差后，符号的确定是关键． 解：由12x0，得定义域为(,11)．对于区间(,)内的任意两个值x1，x2，且x1x2， 22则

f(x1)f(x2)12x212x11112x112x212x112x22(x1x2)

12x112x2(12x112x2)又x1x20，12x112x2(12x112x2)0，

f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)．

所以，f(x)在区间(,1)上是增函数． 2点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定． 【反馈演练】

1，则该函数在R上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． x2122．已知函数f(x)4xmx5在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数，则f(1)__25___.

1．已知函数

f(x)3. 函数y1x2x2的单调递增区间为[2,].

21f(x)x21x的单调递减区间为(,1],[,1]．

2ax15. 已知函数f(x)在区间(2,)上是增函数，求实数a的取值范围．

x24. 函数

解：设对于区间(2,)内的任意两个值x1，x2，且x1x2， 则f(x1)f(x2)ax11ax21(12a)(x2x1)0， x12x22(x12)(x22)Qx1x20，(x12)0，(x22)0得，(x12)(x22)0，12a0，即a1． 2第4课 函数的奇偶性

【考点导读】

1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；

2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 【基础练习】

x41xx1.给出4个函数：①f(x)x5x；②f(x)；③f(x)2x5；④f(x)ee． 2x5其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．

2. 设函数

fx3x1xa为奇函数，则实数a －1 ．

x1()x,xR 23.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）

A.yx,xR B.ysinx,xR C.yx,xR D.y【范例解析】

例1.判断下列函数的奇偶性：

(12x)22（1）f(x)； （2）f(x)lg(xx1)； x2（3）

f(x)lgx2lg1x1f(x)(1x)； （4）；

1xx22xx(x0),2（5）f(x)xx11； （6）f(x)

2(x0).xx分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断． 解：（1）定义域为xR，关于原点对称；

(12x)222x(12x)2(12x)2Qf(x)f(x), x2xxx2222所以f(x)为偶函数．

（2）定义域为xR，关于原点对称；

Qf(x)f(x)lg(xx21)lg(xx21)lg10，

f(x)f(x)，故f(x)为奇函数．

（3）定义域为x(,0)(0,)，关于原点对称；Qf(x)0，f(x)f(x)且

f(x)f(x)，

所以f(x)既为奇函数又为偶函数．

（4）定义域为x[1,1)，不关于原点对称；故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． （5）定义域为xR，关于原点对称；Qf(1)4，f(1)2，则f(1)f(1)且

f(1)f(1)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

（6）定义域为xR，关于原点对称；

22(x)(x)(x0),xx(x0),Qf(x)，f(x)又f(0)0，

22(x)(x)(x0).xx(x0).2xx(x0),f(x)2f(x)f(x)，故f(x)为奇函数．

(x0).xx点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即

f(x)f(x)或f(x)f(x)判断，注意定义的等价形式f(x)f(x)0或f(x)f(x)0．

例2. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x2x2，求函数f(x)的解析式，并指出它的单调区间．

分析：奇函数若在原点有定义，则f(0)0． 解：设x0，则x0，f(x)x2x2．

又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)x2x2． 当x0时，f(0)0．

222x22x2,x0x0． 综上，f(x)的解析式为f(x)0,x22x2,x0作出f(x)的图像，可得增区间为(,1]，[1,)，减区间为[1,0)，(0,1]．

点评：（1）求解析式时x0的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x”实现转化；（4）根据图像写单调区间． 【反馈演练】

1．已知定义域为R的函数fx在区间8,上为减函数，且函数yfx8为偶函数，则（ D ）

A．f6f7 B．f6f9 C．f7f9 D．f7f10 2. 在R上定义的函数fx是偶函数，且fxf2x，若fx在区间1,2是减函数，则函数

fx（ B ）

A.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是增函数 B.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是减函数 C.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是增函数 D.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是减函数

3. 设1,1,1,3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1，3 ___． 24．设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1)1,f(x2)f(x)f(2),则f(5)________． 25．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x

的取

值范围是（－2，2）．

ax216. 已知函数f(x)(a,b,cZ)是奇函数．又f(1)2，f(2)3,求a，b，c的值；

bxc解：由f(x)f(x)，得bxc(bxc)，得c0．又f(1)2，得a12b，

4a13，解得1a2．又aZ，a0或1． a11若a0，则bZ，应舍去；若a1，则b1Z．

2而f(2)3，得

所以，a1,b1,c0．

综上，可知f(x)的值域为{0,1,2,3,4}．

第5 课 函数的图像

【考点导读】

1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质； 2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法． 【基础练习】

1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：

向上平移3个单位 x向右平移1个单位 x1x1（1）y2 y2 y23；

作关于y轴对称的图形 向右平移3个单位

（2）ylog2x ylog2(x) ylog2(3x)． 2.作出下列各个函数图像的示意图：

（1）y31； （2）ylog2(x2)； （3）yxxx2x． x1解：（1）将y3的图像向下平移1个单位，可得y31的图像．图略； （2）将ylog2x的图像向右平移2个单位，可得ylog2(x2)的图像．图略；

2x1111，将y的图像先向右平移1个单位，得y的图像，再向下平

xx1x1x12xy 移1个单位，可得y的图像．如下图所示： x1（3）由

y3.作出下列各个函数图像的示意图：

O －1 1 x （1）ylog1(x)； （2）y(21x)； （3）ylog1x； （4）yx21． 22解：（1）作ylog1x的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；

21y()x的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；

2（3）作ylog1x的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；

（2）作

2（4）作yx1的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示． y y

y 1 x O 1 x （ B ） －1 y －1 1 O 1 图2 D O O x x y y 24. 函数f(x)|x1|的图象是 y y x －1 O 【范例解析】 1 1 x －1 O 1 21 2x2x3及例1.作出函数f(x)图-1 O 1 -1 O 1 x 的图像． f(x)，f(-1 x)，f(x2)，f(x)，f(x)图4 -1 x C A B 图3 分析：根据图像变换得到相应函数的图像． 解：yf(x)与yf(x)的图像关于y轴对称；

yf(x)与yf(x)的图像关于x轴对称；

将yf(x)的图像向左平移2个单位得到yf(x2)的图像；

保留yf(x)的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分； 将yf(x)的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留

yf(x)在y轴右边部分．图略．

点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：

yf(x)与yf(x)的图像关于y轴对称；

yf(x)与yf(x)的图像关于x轴对称；yf(x)与yf(x)的图像关于原点对称；

yf(x)保留yf(x)的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原

下方的部分；

yf(x)将yf(x)的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，

并保留yf(x)在y轴右边部分．

例2.设函数f(x)x24x5.

（1）在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像； （2）设集合Axf(x)5,B(,2][0,4][6,). 试判断集合A和B之间的关

系，并给出证明.

分析：根据图像变换得到f(x)的图像，第（3）问实质是恒成立问题． 解：（1）

（2）方程f(x)5的解分别是

214,0,4和

214，由于f(x)在

减，在[1,2]和[5,)上

(,1]和[2,5]上单调递

单调递增，因此

A,214[0,4]214,.

由于2146,【反馈演练】

1．函数y1的图象是（ B ）

x1y

2142,BA.

1y 2. 为了得到函数1 O 3．已知函数y 11y 1个单位长度得到． y3()x的图象，可以把函数y()x的图象向右平移331 －1 O x －1 BO A14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线x对称，则 2CDf (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函数的简图： （1）y11 x与yx O 1 log1 k=． x 的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则ykx1 144x x2(x1)； （2）y2x1； （3）ylog22x1．

2012高中数学复习讲义 第二章 函数B

第6课 二次函数

【考点导读】

1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；

2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．

【基础练习】

1. 已知二次函数yx3x2,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为x23；顶点坐标为 2311(,)，与x轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为． 244222. 二次函数yx2mxm3的图像的对称轴为x20,则m__－2___，顶点坐标为(2,3)，递增区间为(,2]，递减区间为[2,)． 1． 224. 实系数方程axbxc0(a0)两实根异号的充要条件为ac0；有两正根的充要条件为

bcbc0,0,0；有两负根的充要条件为0,0,0．

aaaa25. 已知函数f(x)x2x3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

3. 函数y2xx1的零点为1,2__________． 【范例解析】

例1.设a为实数，函数f(x)x|xa|1，xR． （1）讨论f(x)的奇偶性；

（2）若a2时，求f(x)的最小值． 分析：去绝对值． 解：（1）当a20时，函数f(x)(x)2|x|1f(x)

此时，f(x)为偶函数． 当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1，

f(a)f(a)，f(a)f(a)．

此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

2xx3 x2（2）f(x)

2xx1 x2由于f(x)在[2,)上的最小值为f(2)3，在(,2)内的最小值为故函数f(x)在(,)内的最小值为

13f()． 243． 4点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数f(x)1ax2xa(aR)在区间[2,2]的最大值记为g(a)，求g(a)的表达式． 2分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．

112是抛物线f(x)axxa的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： a2（1）当a0时，函数yf(x)，x[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，

1由x0知f(x)在x[2,2]上单调递增，故g(a)f(2)a2；

a（2）当a0时，f(x)x，x[2,2]，有g(a)=2；

解：∵直线x（3）当a若x0时，，函数yf(x)，x[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

21(0,2]即a时，g(a)f(2)2，

2a21111,]时，g(a)f()a若x(2,2]即a(， 22aa2a11若x(2,)即a(,0)时，g(a)f(2)a2．

a21a2(a)2121,(a)． 综上所述，有g(a)=a2a2222(a)2点评：解答本题应注意两点：一是对a0时不能遗漏；二是对a0时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及yf(x)在区间[2,2]上的单调性．

【反馈演练】

1．函数yxbxcx0,是单调函数的充要条件是b0．

22．已知二次函数的图像顶点为A(1,16)，且图像在x轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为

yx22x15．

0，二次函数yax2bxa21的图象为下列四图之一：

3. 设b则a的值为 （ B ）

A．1

B．－1

C．

15 2D．

15 24．若不等式x251ax10对于一切x(0,)成立，则a的取值范围是[,)．

225.若关于x的方程xmx40在[1,1]有解，则实数m的取值范围是(,5][5,)． 6.已知函数f(x)2x2ax3在[1,1]有最小值，记作g(a)． （1）求g(a)的表达式； （2）求g(a)的最大值．

解：（1）由f(x)2x2ax3知对称轴方程为x当

222a， 2a1时，即a2时，g(a)f(1)2a5； 2aa2a当11，即2a2时，g(a)f()3；

222a当1，即a2时，g(a)f(1)52a； 22a5,(a2)a2综上，g(a)3,(2a2)．

252a,(a2)（2）当a2时，g(a)1；当2a2时，g(a)3；当a2时，g(a)1．故当a0时，g(a)的最大值为3．

7. 分别根据下列条件,求实数a的值：

（1）函数f(x)x2ax1a在在[0,1]上有最大值2； （2）函数f(x)ax2ax1在在[3,2]上有最大值4．

解：（1）当a0时，f(x)maxf(0)，令1a2，则a1；

22当0a1时，f(x)maxf(a)，令f(a)2，a当a1时，f(x)maxf(1)，即a2． 综上，可得a1或a2．

15（舍）； 2（2）当a0时，f(x)maxf(2)，即8a14，则a3； 8当a0时，f(x)maxf(1)，即1a4，则a3．

3或a3． 828. 已知函数f(x)xa,(xR)．

xx21)的大小； （1）对任意x1,x2R，比较[f(x1)f(x2)]与f(122综上，a（2）若x[1,1]时，有

f(x)1，求实数a的取值范围．

xx11[f(x1)f(x2)]f(12)(x1x2)20 224xx21故[f(x1)f(x2)]f(1)． 22解：（1）对任意x1，x2R，（2）又

f(x)1，得1f(x)1，即1x2a1，

2a(x1)max,x[1,1]得，解得1a0．

2a(x1)min,x[1,1]第7课 指数式与对数式

【考点导读】

1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质； 2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；

3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件； 4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】

1.写出下列各式的值：(a0,a1)

23

(3)3； 8____4____； 812341； 27loga1___0_____； logaa____1____； log14__－4__．

22.化简下列各式：(a0,b0)

2313121(a3b3)6a；

3（1）4aba21（2）(a2a)(aa)2．

a122223.求值：（1）log312(8345)___－38____；

3（2）(lg2)3lg2lg5(lg5)____1____；

（3）log23log34log45log56log67log78_____3____． 【范例解析】 例1. 化简求值：

a4a44（1）若aa3，求aa及2的值； 2aa81121223x23x（2）若xlog341，求x的值． x22分析：先化简再求值． 解：（1）由aa1213，得(aa)1，故aa22441212212121；

a4a4443． 又(aa)9，aa7；aa47，故2aa2823x23x7xx414（2）由xlog341得43；则x． x223x点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．

11lg9lg2402例2.（1）求值：1； 2361lg27lg35（2）已知log23m，log37n，求log4256． 分析：化为同底．

1lg10lg3lg240解：（1）原式=1810；

36lg8lg10lg9lg51（2）由log23m，得log32；所以

mlglog4256log3563log32log373mn．

log34213log32log37m1mn点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知3a5bc，且

112，求c的值． ab分析：将a，b都用c表示． 解：由35c，得得c2ab1111logc3，logc5；又2，则logc3logc52， abab15．Qc0，c15．

点评：三个方程三个未知数，消元法求解． 【反馈演练】 1．若102x25，则10x1． 52．设lg321a，则lg0.321a3．

3．已知函数

f(x)lg1x，若f(a)b，则f(a)－b． 1x2x1,x0,4．设函数f(x)1若f(x0)1，则x0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．

,2x0x5．设已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于

1． 26．若30.618，a[k,k1)，则k =__－1__．

acx17．已知函数f(x)xc221（1）求实数c的值； （2）解不等式f(x)＞(0＜x＜c)，且

f(c2)(cx＜1)9． 821． 82解：（1）因为0c1，所以cc， 由

f(c2)9913，即c1，c． 88211x1 0x22（2）由（1）得：f(x)

24x1 1≤x12由f(x)22111得，当0x时，解得x． 8422当

115≤x1时，解得≤x， 2282251的解集为xx． 所以f(x)884第8课 幂函数、指数函数及其性质

【考点导读】

11

1.了解幂函数的概念，结合函数yx，yx，yx，y，yx2的图像了解它们的变化情

x

23况；

2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性； 3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．

【基础练习】

1.指数函数f(x)(a1)是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是(1,2)．

2.把函数f(x)的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到f(x)2的图像，则

xxf(x)2x22．

3.函数y0.32xx211的定义域为___R__；单调递增区间(,]；值域(0,0.34]．

24.已知函数

f(x)a11是奇函数，则实数a的取值． 24x15.要使y1()x1m的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围m2． 22x16.已知函数f(x)a【范例解析】

11(a0,a1)过定点，则此定点坐标为(,0)．

2例1.比较各组值的大小： （1）0.4（2）ab0.2，0.2b0.2，20.2，21.6；

，a，a，其中0ab1；

a11113（3）()，()2．

23分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．

0.40.20.401，而120.221.6，

0.20.20.40.220.221.6．

bab（2）Q0a1且bab，aaa．

1111113（3）()()2()2．

223解：（1）Q0.2点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，

1等数进行间接分类．

0.22xb例2.已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数,求a,b的值；

2ab112x0b1f(x)解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 a2a2x1112 又由f（1）= －f（－1）知2a2.

a4a1x2x(a1)，求证： 例3.已知函数f(x)ax11（1）函数f(x)在(1,)上是增函数； （2）方程f(x)0没有负根．

分析：注意反证法的运用．

证明：（1）设1x1x2，f(x1)f(x2)a1axx23(x2x1)，

(x11)(x21)Qa1，ax2ax10，又1x1x2，所以x2x10，x110，x210，则

f(x1)f(x2)0

故函数

f(x)在(1,)上是增函数．

x0（2）设存在x00(x01)，满足f(x0)0，则ax02x．又0a01，x010即

x021 x011x02，与假设x00矛盾，故方程f(x)0没有负根． 2点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系． 【反馈演练】

1．函数f(x)a(a0且a1)对于任意的实数x,y都有（ C ）

A．C．

xxf(xy)f(x)f(y)

B．

f(xy)f(x)f(y) f(xy)f(x)f(y)

f(xy)f(x)f(y)

D．

2．设3

1，则（ A ） 7 C．－1D．0A．－23．将y=2x的图像 ( D ) 再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数ylog2(x1)的图像．

A．先向左平行移动1个单位 C．先向上平行移动1个单位 4．函数f(x)a

A．axbB．先向右平行移动1个单位 D． 先向下平行移动1个单位

y 1 的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ C ）

B．a1,b0 1,b0

－1 O 1 x C．0a1,b0

xD．0a1,b0

第4题 5．函数ya在0,1上的最大值与最小值的和为3，则a的值为___2__． 6．若关于x的方程4x2xm20有实数根，求实数m的取值范围．

192xm20得，m4x2x2(2x)22，m(,2)

24a7．已知函数f(x)2(axax)(a0,a1)．

a2解：由4x（1）判断f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

a(axax)f(x)，故f(x)是奇函数． 2a2a1（2）设x1x2R，f(x1)f(x2)2(ax1ax2)(1x1x2)，

a2a解：（1）定义域为R，则

f(x)当0a1时，得a20，即0a1； 当a1时，得a20，即a222；

综上，实数a的取值范围是(0,1)(2,)．

第9课 对数函数及其性质

【考点导读】

1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性； 2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型； 3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】

1. 函数ylog0.1(6x2x)的单调递增区间是[,2)．

2142. 函数

1f(x)log22x1的单调减区间是(,)．

2【范例解析】

例1. （1）已知yloga(2ax)在[0,1]是减函数，则实数a的取值范围是_________． （2）设函数f(x)lg(xaxa)，给出下列命题： ①f(x)有最小值； ②当a20时，f(x)的值域为R；

③当4a0时，f(x)的定义域为R；

④若f(x)在区间[2,)上单调递增，则实数a的取值范围是a4． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零．

解：（1）Qa0,a1，2ax在[0,1]上递减，要使yloga(2ax)在[0,1]是减函数，则

a1；又2ax在[0,1]上要大于零，即2a0，即a2；综上，1a2．

（2）①f(x)有无最小值与a的取值有关；②当a20时，f(x)lgx2R，成立；

2③当4a0时，若f(x)的定义域为R，则xaxa0恒成立，即a4a0，即

a2,解得a，不成立． 4a0成立；④若f(x)在区间[2,)上单调递增，则242aa0.点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数

f(x)11x，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. log2x1x分析：利用定义证明复合函数的单调性．

x01x解：x须满足1x,由0得1x1,所以函数f(x)的定义域为（－1，0）∪（0，1）.

01x1x因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有

11x11xf(x)log2(log2)f(x)，所以f(x)是奇函数.

x1xx1x研究f(x)在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x10，即f(x)在（0，1）内单调递减， 由于f(x)是奇函数，所以f(x)在（－1，0）内单调递减.

点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】

1．给出下列四个数：①(ln2)；②ln(ln2)；③ln22；④ln2.其中值最大的序号是___④___.

2．设函数f(x)loga(xb)(a0,a1)的图像过点(2,1)，(8,2)，则ab等于___5_ _．

3．函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点

A，则定点A的坐标是(2,1)．

4．函数f(x)aloga(x1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为

x1． 25．函数

4x4,x1的图象和函数gxlog2x的图象的交点个数有___3___个. fx2x4x3,x1yxlgx； ②yxlgx；③yxlgx；

6．下列四个函数：①

④yxlgx.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.

第6题

7．求函数解：

f(x)log22xlog2x1,x[,4]的最大值和最小值．

24f(x)log22xlog2x(log2x1)(log2x2)log22xlog2x2 4令tlog2x，Q21x[,4]，则t[1,2]，

2即求函数ytt2在[1,2]上的最大值和最小值． 故函数f(x)的最大值为0，最小值为8．已知函数

9． 4f(x)logaxb(a0,a1,b0)． xb（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）讨论f(x)的单调性，并证明．

xb0，故的定义域为(b)(b,)． xbxb（2）Qf(x)loga()f(x)，故f(x)为奇函数．

xb解：（1）解：由

（3）证明：设bx1x2，则f(x1)f(x2)loga(x1b)(x2b)，

(x2b)(x1b)(x1b)(x2b)2b(x2x1)10．

(x2b)(x1b)(x2b)(x1b)当a1时，f(x1)f(x2)0，故f(x)在(b,)上为减函数；同理f(x)在(,b)上也为减函数；

当0a1时，f(x1)f(x2)0，故

f(x)在(b,)，(,b)上为增函数．

第10课 函数与方程

【考点导读】

1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．

2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．

3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】

1.函数f(x)x4x4在区间[4,1]有_____1 ___个零点． 2.已知函数f(x)的图像是连续的，且x与f(x)有如下的对应值表：

则

1 －2.3 2 3.4 3 0 4 －1.3 5 －3.4 6 3.4 2f(x)在区间[1,6]上的零点至少有___3__个．

【范例解析】

例1.f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x)af(x)b， 则下列关于函数g(x)的结论：

①若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称；

②若a=－1，－2解：当a0且b0时，g(x)af(x)b是非奇非偶函数，①不正确；当a2，b0时，

2g(x)2f(x)是奇函数，关于原点对称，③不正确；当a0，b2时，f(x)，由图知，

a22当22时，f(x)才有三个实数根，故④不正确；故选②．

aa点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．

例2.设f(x)3ax2bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0． 求证：（1）a0且22b1； a（2）方程f(x)0在(0,1)内有两个实根．

分析：利用abc0，f(0)0，f(1)0进行消元代换．

证明：（1）Qf(0)c0，f(1)3a2bc0，由abc0，得bac，代入f(1)得：

ac0，即ac0，且0（2）Qcbc1，即1(2,1)，即证． aaa1111f()a0，又f(0)0，f(1)0．则两根分别在区间(0,)，(,1)内，得证．

222411点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点来考察f()的正

221b负是首选目标，如不能实现f()0，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根

3a2的分布来做． 【反馈演练】 1．设

f(x)3ax2a1，a为常数．若存在x0(0,1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是

1(,1)(,)．

2x2bxc,x0,2．设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x解

2,x0.的个数为

A．1

2

B．2

（ C ） C．3

D．4

3．已知f(x)axbxc(a0)，且方程f(x)x无实数根，下列命题： ①方程

f[f(x)]x也一定没有实数根；②若a0，则不等式f[f(x)]x对一切实数x都成立；

③若a0，则必存在实数x0，使f[f(x0)]x0④若abc0，则不等式

f[f(x)]x对一切实数x都成立．

其中正确命题的序号是 ①②④ ．

4．设二次函数f(x)xaxa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21．求实数

2a的取值范围．

解：令g(x)f(x)xx(a1)xa，

20，1aa0，1，00a322． 则由题意可得1a1，2g(1)0，a322，或a322，g(0)0，322)． 故所求实数a的取值范围是(0，5．已知函数f(x)log2(41)kx(kR)是偶函数,求k的值； 解：Qf(x)是偶函数，f(x)f(x)

由于此式对于一切xR恒成立，k1

6．已知二次函数f(x)axbxc．若a>b>c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点.

证明：Qf(1)abc0且abc,a0且c0,b4ac0,

2x2f(x)的图象与x轴有两个交点.

第11课 函数模型及其应用

【考点导读】

1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．

2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．

3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力． 【基础练习】

1今有一组实验数据如下：

1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，

①vlog2t ②vlog1t

2t21③v

2④v2t2

其中最接近的一个的序号是______③_______．

2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.

(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）

整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）. （Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当y(1.21)10000,

0x1.60x220x0,1即 解不等式得0x.

30x1.答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 < x < 0.33. 【范例解析】

例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg，时间单位：天)

解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

2

1(t－150)2+100，0≤t≤300． 200(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)－g(t)，

121175tt，0t200,20022即ht

171025t2t，200t300.22200当0≤t≤200时，配方整理得 h(t)=－

1(t－50)2+100， 2001(t－350)2+100， 200所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 当200所以，当t=300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．

综上:由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大

【反馈演练】

1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是______43_____cm．

22．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m．

3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其

中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元． 4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省?

x28解：由题意得 xy+1244x=8，∴y=

x=8xx4

(022x)=(32+2)x+16x≥4642. 当(

3162+2)x=x,即x=8－42时等号成立. 此时，x=8－42，y22，

故当x为8－42m，y为22m时，用料最省.

y x 第4题

2012高中数学复习讲义 第三章 三角函数A

【知识导读】

【方法点拨】 弧长与扇形 面积公式 三角函数的 图象和性质 差 角 公 式 几个三角 恒等式 三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛角度制与 任意角的 和 角 任意角 弧度制 三角函数 公 式 的概念 的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点： 倍 角 1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强公 式 .弄清公式间的相互联系和推导体化简、计系，是记住这些公式的关键. 诱 导2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维公 式 算、求值 与证明 方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将同角三角函不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问数关系 题等. 解斜三角形及正弦定理与余3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数其应用 弦定理 表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强. 4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.

第1课 三角函数的概念

【考点导读】

1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．

角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合

Sk360,kZ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握

角度与弧度的互换，能运用弧长公式l1r及扇形的面积公式S＝lr（l为弧长）解决问题.

22． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.

角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点P(x,y)（不同于坐标原点），设角函数值定义为：sinOPr（rx2y20），则的三个三

yxy,cos,tan． rrx从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为{|R,k2,kZ}．

3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．

由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、

、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 324． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．

在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】

1． 885化成2k(02,kZ)的形式是 ． 2．已知为第三象限角，则

o2 所在的象限是 第二或第四象限 ．

3．已知角的终边过点P(5,12)，则cos= ， 4．

tan= ．

tan(3)sin5的符号为 正 ．

cos85．已知角的终边上一点P(a,1)（a0），且tana，求sin，cos的值．

22，cos； 22解：由三角函数定义知，a1，当a1时，sin当a1时，sin【范例解析】

22，cos． 22例1.（1）已知角的终边经过一点P(4a,3a)(a0)，求2sincos的值； （2）已知角的终边在一条直线y分析：利用三角函数定义求解． 解：（1）由已知x4a，r3x上，求sin，tan的值．

345a．当a0时，r5a，sin，cos，则

5522sincos；

5当a0时，r3425a，sin，cos，则2sincos．

5553x上一点，则tan3；

（2）设点P(a,3a)(a0)是角的终边y当a0时，角是第一象限角，则sin3； 2当a0时，角是第三象限角，则sin点评：要注意对参数进行分类讨论． 例2.（1）若sincos3． 20，则在第_____________象限．

（2）若角是第二象限角，则sin2，cos2，sin个．

解：（1）由sincos2，cos2，tan2中能确定是正值的有____

0，得sin，cos同号，故在第一，三象限．

（2）由角是第二象限角，即

22k2k，得

4k22k，

4k224k，故仅有tan2为正值．

点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．

例3. 一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？

分析：选取变量，建立目标函数求最值．

解：设扇形的半径为x㎝，则弧长为l(202x)㎝，故面积为当x5时，面积最大，此时x5，l所以当1y(202x)x(x5)225，

210，l2， x2弧度时，扇形面积最大25cm2．

点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数． 【反馈演练】 1．若sin2．已知二 象限． cos且sincos0则在第_______

三 象限． 6，则点A(sin,tan)在第________

3．已知角是第二象限，且P(m,5)为其终边上一点，若cos4．将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为 ． 5．若42m，则m的值为_______． 46，且与2终边相同，则= ． 36．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．

7．（1）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

（2）若扇形的面积为8cm，当扇形的中心角(0)为多少弧度时，该扇形周长最小．

2简解：（1）该扇形面积2cm；

22rly16（2）1，得y2r82，当且仅当r22时取等号．此时，l42，

rl8r22．

第2课 同角三角函数关系及诱导公式

【考点导读】

1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系． 2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用． 【基础练习】 1. tan600°=______．

2. 已知是第四象限角，tanlr5，则sin______． 123.已知cos3－3 ，且，则tan＝______．2224.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___． 【范例解析】 例1.已知cos()8，求sin(5)，tan(3)的值． 17分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．

88，得cos0，是第二，三象限角． 17171515若是第二象限角，则sin(5)sin，tan(3)tan；

1781515若是第三象限角，则sin(5)sin，tan(3)tan．

178解：由cos()点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．

例2.已知是三角形的内角，若sin1cos，求tan的值．

5分析：先求出sincos的值，联立方程组求解． 解：由sin1124cos两边平方，得12sincos，即2sincos0．

52525又是三角形的内角，cos由(sin0，2．

cos)2497，又sincos0，得sincos． 25541sinsincos455联立方程组，解得，得tan．

3cos3sincos755点评：由于(sincos)12sincos，因此式子sincos，sincos，

2sincos三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．

【反馈演练】 1．已知sin2．“sinA544,则sincos的值为_____． 51”是“A=30o”的必要而不充分条件． 23．设0x2,且1sin2xsinxcosx，则x的取值范围是

4x5 44．已知sin13cos，且≤≤，则cos2的值是 ．

5242cos()3sin()1的值． ，且0，求

4cos()sin(2)325．（1）已知cos15，求sin(x)sin2(x)的值．

631解：（1）由cos，得tan22．

32cos3sin23tan5原式=22． 24cossin4tan15（2）Qsin(x)，sin(x)sin2(x)sin[(x)]sin2[(x)]

6362619sin(x)cos2(x)．

6616．已知tan，求

36sincos（I）的值；

3sin2cos1（II）的值．

2sincoscos246()1476sincos6tan13解：（I）∵ tan；所以==． 33sin2cos3tan23(4)2634（II）由tan，

3（2）已知sin(x)sin2cos2tan2151于是．

32sincoscos22sincoscos22tan1第3课 两角和与差及倍角公式（一）

【考点导读】

1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；

3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；

4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】

1.sin163sin223sin253sin313 ___________． 2. 化简2cosx6sinx_____________．

3＋cos2x ． 3. 若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝___________ 4.化简：

oooosinsin2___________ ．

1coscos2【范例解析】

12； 例 .化简：（1）

2tan(x)sin2(x)442cos4x2cos2x(1sincos)(sin（2）

22cos1(2cos2x1)22cos)22(0)．

（1）分析一：降次，切化弦．

解法一：原式

=

2sin(x)4cos2(x)4cos(x)4(2cos2x1)24sin(x)cos(x)44cos22x2sin(2x)21cos2x． 2分析二：变“复角”为“单角”．

1(2cos2x1)2cos22x12cos2x． 解法二：原式cosxsinx1tanx22(sinxcosx)222(sinxcosx)2cosxsinx1tanx22(2sin（2）原式=2cos2cos2)(sincos)cos(sin2cos2)coscos22222222

coscos4cos2222Q0，022，cos20，原式=cos．

点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等．

【反馈演练】

2sin2cos2tan2． 1．化简

1cos2cos22．若sinxtanx0，化简1cos2x_________．

，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则a与b的大小关系是_________． 44．若sincostan(0)，则的取值范围是___________．

23．若0＜α＜β＜

5．已知、均为锐角，且cos()sin()，则tan= 1 . 6．化简：

2cos212tan()sin()442．

解：原式=

2cos212sin()4cos2()4cos()422cos22sin()cos()44cos21．

cos27．求证：sin2x2cosxcos2x2cosx．

222证明：左边=4sinxcosx2cosxcos2x2cosx(2sinx12cosx)2cosx=右边．

222228．化简：sinsin2sinsincos()．

解：原式=sinsin2sinsin(coscossinsin)

2222sin2()．

第4课 两角和与差及倍角公式（二）

【考点导读】

1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值； 2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ． 【基础练习】

1．写出下列各式的值：

（1）2sin15cos15_________； （2）cos15sin15_________； （3）2sin151_________；

222

（4）sin15cos15____1_____．

223,),sin,则tan()=_________．

4251tan1553．求值：（1）_______；（2）coscos_________．

1tan1512124．求值：tan10tan203(tan10tan20)____1____．

4－ 5．已知tan3，则cos________5．

22．已知(6．若

cos22，则cossin_________． π2sin4【范例解析】

例1.求值：（1）sin40(tan103)；

（2）

2sin50sin80(13tan10)．

1cos10分析：切化弦，通分． 解：（1）原式=sin40(sin103cos10sin102sin(1060) 3)=sin40sin40cos10cos10cos10sin402cos40sin801．

cos10cos10sin10cos103sin102sin40，又

cos10cos10cos10（2）Q13tan10131cos102cos5．

2sin50sin80原式=

2sin40cos102(sin50sin40)22cos52．

2cos52cos52cos5点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换． 例2.设cos(4123)，cos()，且(,)，(,2)，求

51322cos2，cos2．

分析：2()()， 2()()．

解：由cos(435)，(,)，得sin()，同理，可得sin()

525133363cos2cos[()()]，同理，得cos2．

6565点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()，

2()()等．

sin2x2sin2x3177例3.若cos(x)，，求的值． x1tanx45124分析一：x(441775解法一：Q，xx2，

12434344又cos(x)，sin(x)，tan(x)．

454543x)．

272Qcosxcos[(x)]，sinx，tanx7．

4410102(所以，原式=

722722)()2()28101010．

1775分析二：2x2(42sin2xsin2xtanxsin2x(1tanx)解法二：原式=sin2xtan(x)

1tanx1tanx472又sin2xsin[2(x)]cos2(x)[2cos(x)1]， 4244257428所以，原式()．

25375点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．

x)．

【反馈演练】

3，则2cos()=__________．

2542．已知tan =2，则tanα的值为_______，tan()的值为___________ ．

241．设(0,)，若sin3．若sin12，则cos2=___________． 63313),cos()，则tantan ．

5511_________． 5．求值：

sin20tan404．若cos(6．已知cos33．求cos2的值 ,45224解：cos22cos2sin2. cos2cossin2sin4442又

2373且cos0,, 24444从而cos2sin224， 2sincos244252012高中数学复习讲义 第三章 三角函数B

第5课 三角函数的图像和性质（一）

【考点导读】

1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]，正切函数在(,)上的性质； 222.了解函数yAsin(x)的实际意义，能画出yAsin(x)的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】

1. 已知简谐运动

f(x)2sin(x)()的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期

32T_____6____；初相__________．

－x)=1的解集为_______________________． 23. 函数yAsin(x)(0,,xR)的部分图象如图所示，则函数表达式为

22. 三角方程2sin(

______________________．

第3题

4. 要得到函数ysinx的图象，只需将函数ycosx的图象向右平移__________个单位．

【范例解析】 例1.已知函数

f(x)2sinx(sinxcosx)．

22（Ⅰ）用五点法画出函数在区间（Ⅱ）说明

上的图象，长度为一个周期；

,f(x)2sinx(sinxcosx)的图像可由ysinx的图像经过怎样变换而得到．

分析：化为Asin(x)形式．

解：（I）由f(x)2sinx2sinxcosx1cos2xsin2x 122(sin2xcos cos2xsin)12sin(2x)． 444 1 1 1 列表，取点，描图：

故函数yf(x)在区间[,]上的图象是： 22（Ⅱ）解法一：把ysinx图像上所有点向右平移

个单位，得到ysin(x)的图像，再把44ysin(x)的图像上所有点的横坐标缩短为原

41来的（纵坐标不变），得到ysin(2x)的图

24像，然后把ysin(2x)的图像上所有点纵坐

4标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到图像上所有点向上平移1个单位，即得到

y2sin(2x)的图像，再将y2sin(2x)的

44y12sin(2x)的图像． 41解法二：把ysinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到ysin2x的图

2像，再把ysin2x图像上所有点向右平移个单位，得到ysin(2x)的图像，然后把

84ysin(2x)的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到

4y2sin(2x)的图像，再将y2sin(2x)的图像上所有点向上平移1个单位，即得到

44y12sin(2x)的图像． 4例2.已知正弦函数yAsin(x)(A0,0)的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式f1(x)；

（2）求与f1(x)图像关于直线x8对称的曲线的解析式f2(x)； （3）作出函数yf1(x)f2(x)的图像的简图．

分析：识别图像，抓住关键点． 解：（1）由图知，A将x2，yy 2，Q22(62)16，x=8 ，即y82sin(x)． 82代入，得2sin()2，解得，即f1(x)2sin(x)．

4484O－2 Mx ( x,y)，与它关于直线（2）设函数f2(x)图像上任一点为x8对称的对称点为M(x,y)，2 xx8,x16x,得2解得代入f1(x)2sin(x)中，得

84yy.yy.f2(x)2sin(x)．

84（3）

y 点评：由图像求解析式，A比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求． yf1(x)f2(x)2sin(x)2sin(x)2cosx，简图如图所示．

84848【反馈演练】

1．为了得到函数y2sin(2 ①向左平移

6②向右平移

6③向左平移

6④向右平移

62．为了得到函数度．

O －4 4 1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）； x36的图像上所有的点 ),xR的图像，只需把函数y2sinx，xR12 x 31个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）； 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．

其中，正确的序号有_____③______．

ysin(2x)的图象，可以将函数ycos2x的图象向右平移____个单位长

63）的最小正周期是，且23．若函数f(x)2sin(x)，xR（其中0，f(0)3，则__2____；__________．

4．在0,2内，使sinxcosx成立的x取值范围为____________________． 5．下列函数： ①ysinx6； ②ysin2x； 6③ycos4x3； ④ycos2x． 6第5题

其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．

6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式．

解：（1）由图示，这段时间的最大温差是301020℃

（2）图中从6时到14时的图象是函数yAsin(x)b的半个周期

12146，解得

8211由图示，A(3010)10 b(1030)20

22∴

这时，y10sin(8x)20

3 43综上，所求的解析式为y10sin(x)20（x[6,14]）

84π7．如图，函数y2cos(x)(xR，>0，≤0≤)的图象与y轴相交于点(0，3)，且该

2函数的最小正周期为． （1）求和的值；

将x6,y10代入上式，可取（2）已知点Aπ，0，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点， 2当y03π，x0，π时，求x0的值． 223代入函数y2cos(x)得cosA 解：（1）将x0，y因为0≤3， 2第7题

≤，所以．

26又因为该函数的最小正周期为，所以因此y2cos2x2，

． 6（2）因为点A3，0，Q(x0，y0)是PA的中点，y0，

22，3． 253的图象上，所以． cos4x0662所以点P的坐标为2x0又因为点P在y2cos2x因为

7519≤x0≤，所以≤4x0≤， 2666511513从而得4x0或4x0． 666623即x0或x0．

34第6课 三角函数的图像和性质（二）

【考点导读】

1.理解三角函数ysinx，ycosx，ytanx的性质，进一步学会研究形如函数

yAsin(x)的性质；

2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【基础练习】

1.写出下列函数的定义域： （1）ysinx的定义域是______________________________； 3（2）

ysin2x的定义域是____________________． cosx2．函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．

22的最小正周期是_______． （fx）sin（x）sin（x）44（，0） 4. 函数y=sin(2x+)的图象关于点_______________对称． 335. 已知函数ytanx 在（－，）内是减函数，则的取值范围是______________．

223．函数

【范例解析】

例1.求下列函数的定义域： （1）ysinx2sinx1；（2）y2log1xtanx． tanx2xk,xk,22解：（1）tanx0,即xk,，

2sinx10.72kx2k.66故函数的定义域为{x2k6x2k7且xk,xk,kZ} 622log1x0,0x4,2（2）即

kxk.tanx0.2故函数的定义域为(0,2)[,4]．

点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集． 例2．求下列函数的单调减区间：

（1）

2cosx； ysin(2x)； （2）yx3sin()42解：（1）因为2k232x2k2，故原函数的单调减区间为

[k12,k5](kZ)． 12（2）由sin(x)0，得{xx2k,kZ}，

2422cosxx4sin()，

x24sin()42x35所以该函数递减区间为2k2k，即(4k,4k)(kZ)．

224222又

y点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的． 例3．求下列函数的最小正周期： （1）y5tan(2x1)；（2）ysinxsinx ．

32π，得y5tan(2x1)的周期T． 22解：（1）由函数y5tan(2x1)的最小正周期为（2）ysin(x)sin(x)(sinxcoscosxsin)cosx

3233 31sin(2x) T． 423点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为Asin(x)的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．

【反馈演练】

1．函数ysinxcosx的最小正周期为 _____________．

42275，[,][,] 63632．设函数f(x)sinx(xR)，则f(x)在[0,2]上的单调递减区间为

3___________________．

3．函数f(x)sinx3cosx(x[,0])的单调递增区间是________________． 4．设函数5．函数

f(x)sin3x|sin3x|，则f(x)的最小正周期为_______________．

f(x)cos2x2cos2x在[0,]上的单调递增区间是_______________． 2π12cos2x46．已知函数f(x)． πsinx2（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）若角在第一象限且cos3，求f()． 5解：（Ⅰ） 由sinxπππ0得，即xkπxkπ(kZ)． 222π，kZ． 22故f(x)的定义域为xR|xkπ43（Ⅱ）由已知条件得sin1cos1．

552π12cos24从而f() πsin22(cossin)14． 57． 设函数f(x)sin(2x) (0),yf(x)图像的一条对称轴是直线x（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数yf(x)的单调增区间；

（Ⅲ）画出函数yf(x)在区间[0,]上的图像 8．

解：（Ⅰ）x8是函数yf(x)的图像的对称轴，sin(28)1,

33,因此ysin(2x). 443由题意得2k2x2k,kZ.

24235所以函数ysin(2x)的单调增区间为[k,k],kZ.

4883（Ⅲ）由ysin(2x)知

4（Ⅱ）由（Ⅰ）知x y 故函数

0 －1 0 1 0 yf(x)在区间[0,]上图像是

第7课 三角函数的值域与最值

【考点导读】

1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；

2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法． 【基础练习】

3cosx在区间[0,]上的最小值为 1 ．

212.函数f(x)cosxcos2x(xR)的最大值等于 ．

21.函数ysinx3.函数ytan(2x)(4x4且x0)的值域是___________________．

1cos2x8sin2x4.当0x时，函数f(x)的最小值为 4 ．

sin2x2【范例解析】

例1.（1）已知sinxsin1y，求sinycos2x的最大值与最小值．

3（2）求函数ysinxcosxsinxcosx的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 解：（1）由已知得：sin12ysinx，Qsiny[1,1]，则sinx[,1]．

33111111sinycos2x(sinx)2，当sinx时，sinycos2x有最小值；当

21221224sinx时，sinycos2x有最小值．

93t21121（2）设sinxcosxt(2t2)，则sinxcosx，则ytt，当t2222时，

1y有最大值为2．

2点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例2.求函数

y2cosx(0x)的最小值．

sinx分析：利用函数的有界性求解．

解法一：原式可化为

ysinxcosx2(0x)，得1y2sin(x)2，即

，

sin(x)21y2故21y21，解得y3或y3（舍），所以y的最小值为3．

2cosx(0x)表示的是点A(0,2)与B(sinx,cosx)连线的斜率，其中点B在

sinx2解法二：

2y左半圆ab1(a0)上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小值为3．

y最小，此时kAB3，所以y的

点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解． 例3.已知函数f(x)2sin2πππx3cos2x，x，． 442（I）求f(x)的最大值和最小值；

（II）若不等式

ππf(x)m2在x，上恒成立，求实数m的取值范围．

42分析：观察角，单角二次型，降次整理为asinxbcosx形式． 解：（Ⅰ）∵f(x)1cosπ2x3cos2x1sin2x3cos2x 2π12sin2x．

3又∵x，，∴≤2x426πππππ2π2x≤，即2≤12sin≤3，

333∴f(x)max3，f(x)min2．

（Ⅱ）∵ππf(x)m2f(x)2mf(x)2，x，，

42∴mf(x)max2且mf(x)min2，

，4)． ∴1m4，即m的取值范围是(1点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．

【反馈演练】

1．函数

y2sin(x)cos(x)(xR)的最小值等于____－1_______．

36cos2x2．当0x时，函数f(x)的最小值是______4 _______． 2cosxsinxsinx43．函数

ysinx的最大值为_______，最小值为________.

cosx24．函数ycosxtanx的值域为 . 5．已知函数f(x)2sinx(0)在区间,上的最小值是2，则的最小值等于

34_________．

6．已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间，上的最小值和最大值．

84解：（Ⅰ）f(x)2cosx(sinxcosx)1sin2xcos2xπ3ππ2sin2x．

4因此，函数f(x)的最小正周期为π．

（Ⅱ）因为f(x)ππ3π3π3π2sin2x在区间，上为增函数，在区间，上为减函数，又

48884π3π3ππf2sin2cos1，

4424πf0，83πf2，8π3π故函数f(x)在区间，上的最大值为2，最小值为1． 84第８课 解三角形

【考点导读】

1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；

2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】

1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ .

2．在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则B的大小是______________.

3．在△ABC中，若tanA【范例解析】

1o，C150，BC1，则AB 3 ．

例1. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知ac20，C2A，cosA3． 4c的值；（2）求b的值． a分析：利用C2A转化为边的关系．

csinCsin2A3解：（1）由2cosA．

asinAsinA2（1）求

ac20,a8,222（2）由c3得．由余弦定理abc2bccosA

.c12.a2得：

b218b800，解得：b8或b10，

若b8，则AB，得A4，即cosA23矛盾，故b10． 24点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．

例2.在三角形ABC中，已知(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，试判断该三角形的形状． 解法一：(边化角)由已知得：a[sin(AB)sin(AB)]b[sin(AB)sin(AB)]， 化简得2a2222222cosAsinB2b2cosBsinA，

2由正弦定理得：sinAcosAsinBsin2BcosBsinA，即

sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0，

又A,B(0,)，sinAsinB0，sin2Asin2B． 又2A,2B(0,2)，2A2B或2A解法二：(角化边)同解法一得：2a22B，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．

2cosAsinB2b2cosBsinA，

222b2c2a22acbba由正余弦定理得：ab，

2bc2ac整理得：(ab)(cab)0，即ab或cab， 即该三角形为等腰三角形或直角三角形．

点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=.

A α

β B D C 22222222（1）证明：sincos20；

（2）若AC=3DC，求．

分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：QC，C2B，22，

2（2）解：QAC=3DC，sin3sin3cos223sin3.

3，. Q(0,)，sin232点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值. 【反馈演练】

1．在ABC中，AB3,A450,C750,则BC =_____________．

2．ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c2a，则

cosB_____．

3．在ABC中，若2abc，sinAsinBsinC，则ABC的形状是____等边___三角形．

22，则sinAcosA= ． 345．在ABC中，已知AC2，BC3，cosA．

54．若ABC的内角

A满足sin2A（Ⅰ）求sinB的值； （Ⅱ）求sin2B的值． 62342解：（Ⅰ）在ABC中，sinA1cosA1，由正弦定理，

55BCACAC232．所以sinBsinA．

sinAsinBBC3554（Ⅱ）因为cosA，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是

5212cosB1sin2B1，

55cos2B2cos2B12(21217)1， 5252221421sin2B2sinBcosB2．

5525317112717421sin2Bsin2Bcoscos2Bsin． 252252506666．在ABC中，已知内角A，边BC23．设内角Bx，周长为y． （1）求函数yf(x)的解析式和定义域；（2）求解：（1）ABC的内角和ABC，由Ay的最大值．

2． ，B0，C0得0B

应用正弦定理，知ACBC23sinBsinx4sinx，

sinAsin因为yABBCAC，

ABBC2sinC4sinx． sinA

所以y4sinx4sin22x230x，

3

（2）因为y4sinx1cosxsinx23 2

43sinx523x， ，即x时，y取得最大值63． 137．在ABC中，tanA，tanB．

45

所以，当x（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

13451． 解：（Ⅰ）QCπ(AB)，tanCtan(AB)131453又Q0Cπ，Cπ．

43（Ⅱ）QC，AB边最大，即AB17．

4又QtanAtanB，A，B0，，角A最小，BC边为最小边．

sinA1tanA，π由cosA4且A0，，

2sin2Acos2A1，得sinA17ABBCsinA．由得：BCABg2． 17sinCsinAsinC所以，最小边BC2．

第9课 解三角形的应用

【考点导读】

1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力． 【基础练习】

1．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m． 2．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km， 23_______________ 或3 那么x的值为km．

3．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60o，行驶4h后，船

到达C处，看到这个灯塔在北偏东15o，这时船与灯塔的距离为 km．

4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知ABD为边长等于a的正三角形，当目标出现于C时，测得BDC45o，CBD75o，求炮击目标的距离AC

C 解：在BCD中，由正弦定理得：

aBC sin60sin45D

B

∴BC6a 32在ABC中，由余弦定理得：ACAB2BC22ABBCcosABC

∴AC523a 3523a． 3A 第4题

答：线段AC的长为【范例解析】

例 .如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航北 行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距

oo102海里，问乙船每小时航行多少海里？

分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．

乙

甲

例1（1）

解法一：如图(2)，连结A1B2，由已知A2B2102，

北 A1A230220102，A1A2A2B2， 60ooo又∠A1A2B218012060，△A1A2B2是等边三角形，

A1B2A1A2102，

由已知，A1B120，∠B1A1B21056045， 在△A1B2B1中，由余弦定理，

ooo乙 甲

例1（2）

22B1B2A1B12A1B22A1B1gA1B2gcos45o202(102)22201022200． 2B1B2102．因此，乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行302海里． 解法二：如图（3），连结A2B1， 由已知A1B120，A1A210260302（海里/小时）．

北 2030220102，∠B1A1A2105o， 602(13)，

42(13)．

4甲

乙 例1（3）

cos105ocos(45o60o)cos45ocos60osin45osin60osin105osin(45o60o)sin45ocos60ocos45osin60o在△A2A1B1中，由余弦定理，

(102)22022102202(13)100(423)．

4A2B110(13)．

由正弦定理sin∠A1A2B1A1B1202(13)2， gsin∠B1A1A2gA2B14210(13)2(13)．

4∠A1A2B145o，即∠B1A2B160o45o15o，cos15osin105o在△B1A2B2中，由已知A2B2102，由余弦定理，

22B1B2A2B12A2B22A2B1gA2B2gcos15o102(13)2(102)2210(13)1022(13)200．

4B1B2102，乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行302海里．

10260302（海里/小时）． 20点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程． 【反馈演练】

1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距____________m．

2．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长____1___km． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．

4．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且

ABC120，则第三条边AC的最小值是____________cm．

5．设

yf(t)是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0t24.下表是该港口某

一天

从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

t y

0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1 经长期观察，函数yf(t)的图象可以近似地看成函数ykAsin(t)的图象.下面的函数中,

最能近似表示表中数据间对应关系的函数是

（ A ）

A．C．

y123siny123sin6t,t[0,24] t,t[0,24]

B．yD．

123sin(t),t[0,24]

612y123sin(t),t[0,24]

1222012高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数

【知识图解】

Ⅰ.平面向量知识结构表

向量的概念 向量的加、减法 向量 向量的运算 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件件两个向量垂直的充要条件件 向量的运用 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 复数的概念 数系的扩充与 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识复数的运算 复数的引入 的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，数系的扩充 将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。

复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。

1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向

量问题时注意用数形结合思想的应用.

2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任

意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.

3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.

第1课 向量的概念及基本运算

【考点导读】

1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若

ab，则ab；②若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC是四边形

b的充要条件是ab且a//b；

为平行四边形的充要条件；③若ab,bc，则ac；④a⑤若a//b，b//c，则a//c。其中，正确命题材的序号是②③

uuuruuuruuuruuur2. 化简ACBDCDAB得0

3.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD

B 为梯形 Q P 4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点， A uuuruuuruuur21若OA＝a，OB＝b，则OP＝ab， b 33uuura 12OQ＝ab (用a、b表示)

33第4题

O 【范例导析】

例1 .已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，

uuuruuuruuur求证：ABDC2EF.

分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB和EC ，

D C E F A B uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur 由EAABEB和EFFBEB可得，EAABEFFB （1） uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur 由EDDCEC和EFFCEC可得，EDDCEFFC （2） uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）+（2）得， EAEDABDC2EFFBFC （3） uuuruuurruuuruuurr∵E、F分别为AD和BC的中点，∴EAED0，FBFC0，

uuuruuuruuur代入（3）式得，ABDC2EF

点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.

例1

uuuruuuruuuruuuruuur例2.已知OA,OB不共线，OPaOAbOB,求证：A,P,B三点共线的充要条件是ab1

分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.

uuuruuuruuuruuuruuuruuur解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数，使得APAB,即OPOAOBOA,

ruuuruuuruuuruuuruuuruuu∴OP1OAOB,∵OPaOAbOB,∴a1,b，∴ab1. uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAPOPOAbAB再证充分性：若ab1.则=a1OAbOBbOBOA=,∴

uuuruuurAP与AB共线，∴A,P,B三点共线.

点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】

1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）

A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b| C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋|b|=|a+b|

2.设四边形ABCD

uuur1uuuruuuruuur中，有DCAB,ADBC2则这个四边形是（C）

A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形

3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur①ABBCCD， ②DBACBD， ③OAOCOBCO。 uuuruuuruuuruuuruuuruuur解析：①原式= (ABBC)CDACCDAD； uuuruuuruuurruuuruuur②原式= (DBBD)AC0ACAC；

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurruuur(OBOA)(OCCO)AB(OCCO)AB0AB③原式= 。

4.设x为未知向量， a、b为已知向量，x满足方程2x(5a+3x4b)+

则x=1a3b=0， 29ab（用a、b表示） 2uuuruuuruuur5.在四面体O-ABC中，OAa,OBb,OCc,D为BC的中点，E为AD的中点，则

111OE=abc（用a，b，c表示）

2446如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上

uuuruuuruuuuruuuruuuur有一点N满足CD＝3CN,设OAa,OBb,试用a,b表示OM,ON,MN

uuuur1uuur1uuuruuur111解：QBM=BC=BA,BM=BA=OA-OB=ab

36666uuuuruuuruuuur15142OM=OB+BMab . CNCD,ONCDOD

66333第2课 向量的数量积

【考点导读】

1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义. 2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.

4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题. 【基础练习】

1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么

0第6题

a3b13

2.在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，

uuuruuurAB2ij，AC3ikj，则k的可能值个数为2个

3. 若

a1,b2，a与b的夹角为600，若(3a+5b)(mab)，则m的值为

a，则向量a与b的夹角为 120°23 84.若|a|1,|b|2,cab，且c【范例导析】

例1.已知两单位向量a与b的夹角为120，若c2ab,d3ba，试求c与d的夹角的余弦值。 分析:利用

0aa2及cos2ab求解. ab解：由题意，

21ab1，且a与b的夹角为1200，所以，ababcos120，

2Qccc2ab2ab4a24abb27c7，同理可得db24ac13 而cd(2ab)(3ba)7ab3b22a2的夹角，则cos17，设为c与d21727131791 182点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。

例2.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：(ab)⊥c；（2）若|kabc|1(kR)，求k的取值范围. 分析:问题（1）通过证明(ab)c0证明(ab)c,问题（2）可以利用

|kabc|2kabc

解：（1）∵ |a||b||c|1，且a、b、c之间的夹角均为120°，

∴ (ab)cacbc|a||c|cos120|b||c|cos1200

∴ (ab)c0

（2）∵ |kabc|1，即|kabc|1

2002a2b2c22kab2kac2bc1

12∵ abbcac，∴k2k0

2所以 k0 或k2．

也就是k解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决. 例3.如图，在直角△ABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹

角取

何值时BPCQ的值最大？并求出这个最大值

2分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得

uuuruuuruuuruuuruuuruuurBPCQ(APAB)(AQAC),再结合直角三

角形和各线段长度特征法解决问题

uuuruuuruuuruuur解：QABAC,ABAC0.

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAPAQAPACABAQABACuuuruuuruuuruuur2aAPACABAPuuuruuuruuur2aAP(ABAC)ruuur1uuu 2aPQBC2ruuur1uuu2aPQBC2a2a2cos.点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算. 【反馈练习】 1.已知向量a,b满足

例3

a=1,b4,且agb2,则a与b的夹角为

 3DC2.如图，在四边形ABCD中，|AB||BD||DC|4,ABBDBDDC0,

|AB||BD||BD||DC|4，则(ABDC)AC的值为4 3.若向量a,b满足4.若向量

，则aga+agb= a=b=1,a,b的夹角为60°

32ABa=1,b2,且a-b2,则a+b6

第2题

5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|=21 ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)

解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴agbabab222210

（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93. 6.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 解：∵且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，

∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0 ∴7a＋16 a·b－15 b2=0，7a－30 a·b＋8 b2=0， ∴b2=2 a·b，|a|=|b| ∴cos2

2

ab1 ∴60o

ab2第3课 向量的坐标运算

【考点导读】

1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.

3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 【基础练习】

1若OA=(2,8)，OB=(7,2)，则

1AB=(3,2) 32平面向量a,b中，若a(4,3)，

43b=1，且ab5，则向量b=(,)

55uuuruuuruuur23.已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10)，且A、B、C三点共线，则k=

34.已知平面向量a(3,1)，b(x,3)，且a【范例导析】

例1.平面内给定三个向量a（1）求满足a（2）若

b，则x1

3,2,b1,2,c4,1，回答下列问题：

mbnc的实数m,n；

akc//2ba，求实数k；

dc//ab，且dc5，求d

（3）若d满足

分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件. 解：（1）由题意得3,2m1,2n4,1

5mm4n39 所以，得82mn2n9（2）akc34k,2k,2ba5,2

ur（3）设dx,y，则dcx4,y1,ab2,4

由题意得4x42y10 22x4y15rx3x5u得或∴d3,1或5，3 y1y3点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。

例2.已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求AD及点D的坐标、

分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.

解：设点D的坐标为(x,y) ∵AD是边BC上的高，

∴AD⊥BC，∴AD⊥BC 又∵C、B、D三点共线， ∴BC∥BD

又AD=(x－2,y－1), BC=(－6,－3)

BD=(x－3,y－2)

∴6(x2)3(y1)0

6(y2)3(x3)079,y= 557291，)，AD的坐标为(－，) 5555例2

解方程组，得x=

∴点D的坐标为(

点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题. 例3．已知向量acos求（1）ab及

3x3xxxx0, ,sin,bcos,sin,且22222ab；（2）若fxab2ab的最小值是3，求的值。 2分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解. 解：（1）abcos3x3xxcossinxsincos2x 2222223x3x，abcosxcossinxsin22cos2x2cosx.

2222Qx0,,ab2cosx。

2（2）fxcos2x4cosx2cosx4cosx12cosx21

222（1） 当0,1时，cosx,fxmin21212235, 2230时，cosx0,fxmin1

235（3） 当1时，cosx1,fxmin141

28（2） 当综上所述：5。 2点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论. 【反馈练习】

1．已知向量a(5,6)，b(6,5)，则a与b （A）

A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向

71174343,,b=,的夹解相等，且模为1的向量是,或, 22225555uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur423.已知向量OA(4,6),OB(3,5),且OCOA,AC//OB,则向量OC等于,

2.与向量a=7214.已知向量a(1,2),b(2,4),|c|5,若(ab)c5,则a与c的夹角为120° 25.若A(1,2),B(2,3),C(2,5)，试判断则△ABC的形状____直角三角形_____ 6.已知向量a(cos,sin)，向量b(3,1)，则

2ab的最大值是 4

7.若a,b是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b ，则a与b的夹角是8.已知：a 、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c|25，且c//a，求c的坐标；

3

5,且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角. 2解：（1）设c(x,y)，由c//a和c25可得：

（2）若|b|=

1y2x0x2x2  ∴  或  22y4y4xy20 ∴c(2,4)，或c(2,4)

(2ab)0 即2a23ab2b20, （2） Q(a2b)(2ab),(a2b)g55∴ 253ab20， 所以ab

24ab1, ∵ [0,] ∴ cos|a||b|∴ .

uuuruuuruuur00设OAa,OBb,OCc,且9.已知点O是ABC内的一点，AOB150，BOC90，a2,b1,c3,试用a,和b表示c.

解：以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图3所示的坐标系. 由OA=2，AOx120，所以A2cos12000,2sin1200,即A-1，,3，

-1，C3,0，设 易求B0，1a3bc.

3第4课 向量综合应用

【考点导读】

第9题

1. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、

三角函数、数列等知识的综合问题.

2. 能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用. 【基础练习】

1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为e(55,255)

2.已知a＝1，b＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角的余弦值为2114

【范例导析】

例1.已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(

13, ).

22(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）； (2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。 分析:利用向量知识转化为函数问题求解.

t22333t223231解:（1）法一：由题意知x＝(,), y＝(t－3k，t＋k)，又x

2222⊥y

t22333t223231故x · y＝×（t－3k）＋×(t＋k)＝0。

2222整理得：t－3t－4k＝0，即k＝

3

133t－t. 44法二：∵a＝(3，－1)，b＝(

12,

3), ∴. a＝2，b＝1且a⊥b 22223

∵x⊥y，∴x · y＝0，即－ka＋t(t－3)b＝0，∴t－3t－4k＝0,即k＝

133t－t 44(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝

133323t－t ∴k′＝f′(t) ＝t－, 4444令k′＜0得－1＜t＜1；令k′＞0得t＜－1或t＞1.

故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.

点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。

rrro例2.已知两个力（单位：牛）f1与f2的夹角为60，其中f1，某质点在这两个力的共（2，0）同作用下，由点A（1，1）移动到点B（3，3）（单位：米）

（1） 求rf1；

（2） 求rfr1与f2的合力对质点所做的功

分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决. 点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题.

【反馈练习】

1.uOCu平面直角坐标系中，urO为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C满足

uOAuuruOBuur，其中，∈R且+=1，则点C的轨迹方程为x＋2y－5=0

2.已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是

3 3. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中O为原点,则实数a的值为2或-2

4.已知向量a=(cos,sin)，向量b=(3,1)，则|2a－b|的最大值是 4

5．如图，uABuur(6,1),uBCuur(x,y),CDuuur(2,3) ，

uuuruuur（1）若BC∥DA，求x与y间的关系；

uuuruuur（2）在（1）的条件下，若有ACBD，求x,y的值及四边形ABCD的面积.

第5题

解（1）AD(4x,y2),又BC∥DA,

x(y2)y(4x)0 x2y0①

（2）由AC⊥BD，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)·(y＋1)＝0,②

即x2

＋y2

＋4x－2y－15＝0?由①，②得x6x2y3或y1S16

第5课 复数的概念和运算

【考点导读】

1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性. 2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义. 【基础练习】

1.设a、b、c、dR，若

abicdi为实数，则bcad0 2.复数z1的共轭复数是11i212i

3.在复平面内，复数

i1i＋(1＋3i)2对应的点位于第二象限 4.若复数z满足方程z20，则z22 i

23【范例导析】

m2m6(m22m15)i（1）是实数？（2）是虚数？（3）是例 .m取何实数时，复数zm3纯虚数？

分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z已写成标准形式，即

zabi(a、bR)，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．

m22m150时，m5或m3时 即m5解：（1）当即 ∴m5时，z是实数．

m3m30m22m150时，m5且m3（2）当即 ∴当m5且m3时，z是虚数．

m3m30m2m60m3或m2（3）当m30时即m3∴当m3或m2时，z是纯虚数．

m22m150m5且m3点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点．如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉

m30，导致解答出错．

【反馈练习】

1.如果复数(mi)(1mi)是实数，则实数m2.已知复数z满足（3＋3i）z＝3i，则z＝

21

33＋i 443.若复数Z=

1i2，则Z

100+Z

50+1+i的值为0 4.设x、y为实数，且

xy5，则x+y=4. 1i12i13i2012高中数学复习讲义 第五章 数列

【知识图解】

通项 一般数列 前n项 和 函 数 数 列 等差数列 通项公式 前n项和公式 中项性质 特殊数列 通项公式 等比数列 前n项和公式 中项性质 【方法点拨】

1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．

2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．

3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差

（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．

4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法

等．

5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．

第1课 数列的概念

【考点导读】

1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；

2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；

3． 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n项和的问题。 【基础练习】

1.已知数列{an}满足a10,an1an33an1(nN*)，则a20=3。

分析:由a1=0,an1an33an1(nN)得a23,a33,a40, 由此可知: 数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得: a20a23.

2．在数列{an}中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an 2n-1 。

a1(3n1)(nN*) ，且a454，则a1____2__. 3．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn24．已知数列{an}的前n项和Sn【范例导析】

例1．设数列{an}的通项公式是ann8n5，则 （1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ （2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；

（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？

分析：70是否是数列的项，只要通过解方程70n8n5就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

解：（1）由70n8n5得：n13或n5 所以70是这个数列中的项，是第13项。

（2）这个数列的前5项是2,7,10,11,10；（图象略）

（3）由函数f(x)x8x5的单调性：(,4)是减区间，(4,)是增区间， 所以当n4时，an最小，即a4最小。

点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。 例2．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,通项公式。

22n(5n1)，则其通项an 5n2． 222Sn)(nN)均在函数y＝3x－2的图像上,求数列{an}的nS1(当n1时)Saa分析：根据题目的条件利用n与n的关系： n，（要特别注意讨论n=1的情况）

S(当n2时)n求出数列{an}的通项。

解：依题意得，

Snn3n2,即Sn3n22n。

2(3n22n)3n12(n1)6n5;

当n≥2时，anSnSn1当n=1时，a1S11 所以an6n5(nN)。 例3．已知数列｛an｝满足a1*1,an12an1(nN*)

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足41b1b214...4bn1(an1)bn.(nN*),证明：{bn}是等差数列;

*分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。 解：（I）Qan12an1(nN), an112(an1),

an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。an12n.

即 an21(nN). （II）Q

n*4b114b21...4bn1(an1)bn.

4(b1b2...bn)n2nbn. 2[(b1b2...bn)n]nbn, ①

2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1. ②；

②－①，得2(bn11)(n1)bn1nbn, 即(n1)bn1nbn20,③ ∴nbn2(n1)bn120. ④ ③－④，得 nbn22nbn1nbn0, 即

bn22bn1bn0,bn2bn1bn1bn(nN*),bn是等差数列。

点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。 【反馈演练】 1．若数列

an前的值各异，且an8an对任意n∈N都成立，则下列数列中可取遍an 前

*

值的数列为 （2） 。 （1）

a2k1 （2）a3k1 （3）a4k1 （4）a6k1

an的前n项和，且S=n，则an是 等差数列，但不是等比数列 。

2

2．设Sn是数列

n3．设f（n）=

1111（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于n1n2n32n11 。

2n12n24．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足

Sn=

n（21n－n－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 902

7月、8月 。

5．在数列{an}中，a11,a223,a3456,a478910,则a10 505 。

n2n1(nN)， 6．数列an中，已知an32（1）写出a10，an1，an2； （2）79是否是数列中的项？若是，是第几项？

3n2n1102101109(nN)，∴a10解：（1）∵an， 333332n2n1（2）令79，解方程得n15,或n16，

332∵nN，∴n15， 即79为该数列的第15项。

3第2课 等差、等比数列

【考点导读】

an1n1n11n223n1，an23n22n21n4n21； 31． 掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 2． 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3． 注意函数与方程思想方法的运用。 【基础练习】

1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首项a1= -2 ，公差d= 3 。 2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是3．设

16，第2项是 8 。 3an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13105。

4．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 3 。 【范例导析】

例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有

13 项。

（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。 解：（1）答案：13 法1：设这个数列有n项

32S3ad132∵S3SnSn33a13nd6d n(n1)Sna1nd2∴n＝13

法2：设这个数列有n项

3(a1d)34∴3a13d(n2)146 n(n1)da1n3902∵a1a2a334,anan1an2146

∴(a1an)(a2an1)(a3an2)3(a1an)34146180 ∴a1an60 又

n(a1an)390 ∴n＝13 2（2）答案：2 因为前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝又a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8， 把a1，a3作为方程的两根且a1＜a3，

∴x－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选B.

2

S33＝4

点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。 例2．（1）已知数列{log2(an1)}nN)为等差数列，且a13,a39. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明

*1111.

a2a1a3a2an1an*分析：（1）借助a13,a39.通过等差数列的定义求出数列{log2(an1)}nN)的公差，再求出数列{an}的通项公式，（2）求和还是要先求出数列{和。

解：（1）设等差数列{log2(an1)}的公差为d，

由a13,a39得:2(log22d)log22log28, 即d=1。 所以log2(an1)1(n1)1n,即an21. （II）证明：因为

n1}的通项公式，再利用通项公式进行求

an1an111n1，

an1an22n2n所以

1111111123Ln

a2a1a3a2an1an2222点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。

例3．已知数列an的首项a12a1（a是常数，且a1），an2an1n4n22（n2），数列bn的首项b1a，bnann（n2）。

2（1）证明：bn从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设Sn为数列bn的前n项和，且Sn是等比数列，求实数a的值。 分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。

解：（1）∵bnann ∴bn1an1(n1)2an(n1)4(n1)2(n1)

22222an2n22bn(n≥2)

由a12a1得a24a，b2a244a4，∵a1，∴ b20， 即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列。

(4a4)(12n1)3a4(2a2)2n （2）Sna12Sn(2a2)2n3a43a4当n≥2时， 2n1n1Sn1(2a2)23a4(a1)23a4∵{Sn}是等比数列, ∴Sn(n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即aSn14 。

3点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 【反馈演练】 1．已知等差数列2．在等差数列

an中，a27,a415，则前10项的和S10＝ 210 。

an中，已知a12,a2a313,则a4a5a6＝ 42 。

3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 3 。 4．如果1,a,b,c,9成等比数列，则b 3 ， ac -9 。

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围；

(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.

a3a12d12,1211d0 解：(1)依题意有：S1212a121312S13ad0131224＜d＜－3. 7(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak解之得公差d的取值范围为－

a3(k3)d0≥0且ak+1＜0,即

a(k2)d03kd3d121212∵a3=12, ∴， ∵d＜0, ∴2－＜k≤3－

kd2d12dd72412＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7.

2d7因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大. 解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，

因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又

122a7=a1+a13=S13＜0, ∴a7＜0, a7+a6=a1+a12=S12>0, ∴a6≥－a7>0

613故在S1，S2，…，S12中S6最大.

nd解法三：依题意得：Snna1(n1)dn(122d)(n2n)

22d124d24124[n(5)]2(5)2,d0,[n(5)]2最小时，Sn最大； 22d8d2d12424∵－＜d＜－3, ∴6＜(5－)＜6.5.

27d1242

从而，在正整数中，当n=6时，［n－ (5－)］最小，所以S6最大.

2d点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易. 第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1＜0；而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解；思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.

∵－

第3课 数列的求和

【考点导读】

对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：

（1）公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式

（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运

用公式法求和（如：通项中含(-1)因式，周期数列等等）

n（3）倒序相加法：如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正

着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2

（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时

求和可采用错位相减法。

（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和

变成首尾若干少数项之和。 【基础练习】

1．已知公差不为0的正项等差数列｛an｝中,Sn为前n项之和,lga1、lga2、lga4成等差数列，若a5=10, 则S5 = 30 。

2．已知数列｛an｝是等差数列,且a2=8,a8=26,从｛an｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3项,按原来的顺序构成一个新的数列｛bn｝, 则bn=__3+2___

3．若数列an满足：a11,an12an,n1，2，3….则a1a2an【范例导析】

例1.已知等比数列{an}中,a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且

n+1

n

2n1.

a1,公比q1

（Ⅰ）求an；

（Ⅱ）设bnlog2an，求数列{|bn|}的前n项和Tn. 解：（I）依题意a2a43(a3a4),即2a43a2a20

7n1n17n（II）bnlog2[()]log227n |bn|2n7n7n7

点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。 例2．数列{an}前n项之和Sn满足：t(Sn11)(2t1)Sn(nN,t0) （1） 求证：数列{an}是等比数列(n2)； （2） 若数列{an}的公比为

*f(t),数列{bn}满足：b11,bn1f(1)，求数列{bn}的通项公式； bn（3） 定义数列{cn}为cn1，，求数列{cn}的前n项之和Tn。 bnbn1*解：（1）由t(Sn11)(2t1)Sn(nN,t0)得：t(Sn1)(2t1)Sn1(n2)

两式相减得：tan1(2t1)an,(n2) 即

an12t112,(n2), antt∴数列{an}是等比数列(n2)。 （2）bn1f(1)2bn，则有bn1bn2 ∴bn2n1。 bn（3）cn11111()，

bnbn1(2n1)(2n1)22n12n1∴Tn1111111111(1L)(1) 2335572n12n122n1点评：本题考查了an与Sn之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和问题。 例3．已知数列an满足a1an11(n2,nN)． ，ann41an12（Ⅰ）求数列an的通项公式an； （Ⅱ）设bn1an2，求数列bn的前n项和Sn；

（Ⅲ）设cnansin(2n1)4，数列cn的前n项和为Tn．求证：对任意的nN，Tn．

72分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。 解：（Ⅰ）1211(1)n(1)n(2)[(1)n1]， ，anan1anan1又11n(1)3，数列1是首项为3，公比为2的等比数列． a1an(1)n11nn1(1)3(2)， 即an . n1an321（Ⅱ）bn(32n11)294n162n11．

1(14n)1(12n)Sn96n34n62nn9．

1412(2n1)(1)n11n1(1)， cn（Ⅲ）sin． n1nn123(2)(1)321当n3时，则Tn1111 31321322132n11111111147484[1()n2]． 2862286848474T1T2T3， 对任意的nN，Tn．

7点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列an的通项an，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。 【反馈演练】

1．已知数列{an}的通项公式an2n1(nN)，其前n项和为Sn，则数列{75 。

2(n2k1)*2．已知数列{an}的通项公式an{2n1(n2k)(kN)，其前n项和为Sn，则S9 377 。

n1*Sn}的前10项的和为 n3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2an1，则数列{an}的通项公式为an2*n1。

4．已知数列{an}中，a11,且有(2n1)an(2n3)an1(nN,n2)，则数列{an}的通项公

式为

3113n。 an()，前n项和为

22n12n12n15．数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N都有an＞0, 且(n+1)an+an·an+1－nan+1=0，

n－1

又知数列{bn}的通项为bn=2+1.

(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn； (2)求数列{bn}的前n项和Tn； 解：(1）可解得

n*

2

2

an1n12

，从而an=2n，有Sn=n+n， ann(2)Tn=2+n－1.

*

6．数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;

(3)设bn=

1**

(n∈N),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N),是否存在最大的整数m，使得对任意nn(12an)m成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 32解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，

aa1d=4=－2,∴an=10－2n.

4122

(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n+9n，当n＞5时，Sn=n－9n+40，

∈N均有Tn＞

*

2n9n 1n5故Sn=

2n9n40 n5(3)bn=

11111()

n(12an)n(2n2)2nn1111111nm；要使Tn＞总成立，Tnb1b2bn[(1)()()]2223nn12(n1)32需

1m＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.

432第4课 数列的应用

【考点导读】

1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。 【基础练习】 1．若数列an中，a111，且对任意的正整数p、q都有apqapaq，则an n . 332．设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则q的值为

2 。

3．已知等差数列an的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2 6 。 【范例导析】

例1．已知正数组成的两个数列{an},{bn}，若an,an1是关于x的方程x2bnxanbnbn10的

两根

（1）求证：{bn}为等差数列；

（2）已知a12,a26,分别求数列{an},{bn}的通项公式； （3）求数{22bn}的前n项和sn。 2n22（1）证明：由an,an1是关于x的方程x2bnxanbnbn10的两根得：

2bn1bn1(n1) {bn}是等差数列 bn0 2bn（2）由（1）知2b1a1a28, b12,

∴anbn1bnn(n1)(n1) 又a12也符合该式，

2（3）sn234n123n ① 2222134n1sn23n1 ② 2222n3. n2①—②得

sn3等。

点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和例2．设数列an,bn满足a1b16,a2b24,a3b33 ，且数列an1annN等差数列，数列bn2nN是

是等比数列。

（I）求数列an和bn的通项公式； （II）是否存在kN*，使akbk0,解：由题意得：

1，若存在，求出k，若不存在，说明理由。 2ana1(a2a1)(a3a1)(anan1)6(2)(1)0(n4)

(2)(n4)(n1)n27n18 6＝ ；

2211由已知b124,b222得公比q bn2b1222k1271（2）f(k)akbkkk928

222n1142n1

2k17491k87，所以当k4时，f(k)是增函数。 2242又f(4)11， 所以当k4时f(k)， 221。 2又f(1)f(2)f(3)0， 所以不存在k，使f(k)0,【反馈演练】

1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本 20% 。 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，S52,S106，则a16a17a18a19a20 54 。

3．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S77,S1575，Tn为数列｛

Sn｝的nn29n前n项和，则Tn．

44.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a23,4S2S4. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证数列{2n}是等比数列； （3）求使得Sn22Sn的成立的n的集合.

解：（1）设数列{an}的首项为a1,公差为d，由题意得：解得：a11,d2aa1d3

4(2a1d)4a16dan2n1

2an22n1（2）由题意知：a2n34，

2n12数列{2an}为首项为2，公比为4的等比数列

（3）由a11,d2,an2n1得,Snn

5.已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN*，满足关系Sn2an2. 证明：an是等比数列；

证明：∵Sn2an2(nN*) ① ∴Sn12an12(nN*) ② ②－①，得an12an12an(nN*) ∵an0,2an12 (nN*) an故:数列{an}是等比数列

2012高中数学复习讲义 第六章 不等式

【知识图解】

【方法点拨】

不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平基本不等式 均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着应用 重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式解法 与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题证明 不的热点，也是高考复习的难点. 等一元二次不等式 1. 掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时式一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。 应用 2. 一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相几何意义 3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这二元一次不等式组 部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。 应函数、方程的联系和相互转化。 第1课 基本不等式 【考点导读】

应用 1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。 2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。 【基础练习】

a2b21.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充

2分必要条件、既不充分也不必要条件)

2.ab1,bc2,ca2,则abbcca的最小值为

22222213 23.已知x,yR，且x4y1，则xy的最大值为

1 1.已知lgxlgy1，则【范例导析】 例1.已知x52的最小值是2 xy51，求函数y4x2的最大值. 44x5分析：由于4x50，所以首先要调整符号. 解：∵x5∴54x0 4∴y=4x-2+

11=54x3≤-2+3=1

54x4x5当且仅当54x1，即x=1时，上式成立，故当x=1时，ymax1.

54xab+=1，求x+y的最小值。 xy例2.（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且

（2） 已知x0，y0，且x2yxy30，求xy的最大值．

分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.

解:(1)法一：直接利用基本不等式：x+y=(x+y)(abbxay+)=a+b++≥a+b+2ab当xyyxaybxx=yx=a+ab且仅当，即时等号成立

ab+=1y=b+abxy法二： 由

abay+=1得x= xyy-bay>0得y-b>0 ∴ x+y≥2ab+a+b y-b∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由

aby-b=y-by=b+ab当且仅当，即时，等号成立

a+b=1x=a+abxy（2）法一：由x2yxy30，可得，

y30x　(0x30)． 2x注意到(x2)2(x2)16．可得，xy18． x2x2当且仅当x218．

，即x6时等号成立，代入x2yxy30中得y3，故xy的最大值为x2法二：x,yR，x2y2代入x2yxy30中得：22xy22xy，

2xyxy30

解此不等式得0xy18．下面解法见解法一，下略．

点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决. 【反馈练习】

1.设a＞1,且mloga(a1),nloga(a1),ploga(2a),则m,n,p的大小关系为m＞p＞n 2.已知下列四个结论：

①若a,bR,则ba2ba2； ②若x,yR,则lgxlgabab2y2lgxlgy；

③若xR,则x42x44； ④若xR,则2x2x22x2x2。

xx其中正确的是④ 3.已知不等式(xy)(1a)9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为6 xyx2y24.（1）已知：xy0，且：xy1，求证：22，并且求等号成立的条件．

xy（2）设实数x，y满足y+x2=0，01型，再行论

(xy)解： （1）分析：由已知条件x，yR，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有xy，无法利用xy2xy，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现(xy)证．

证明：xy0,xy0.又xy1,

22x2y2(xy)22xy(xy)2(xy)22.等号成立 xy(xy)xyxy当且仅当(xy)2222时．(xy)2,xy2,xy4.

(xy)6262,y 22xy1,(xy)26,xy6.由以上得x即当x6262,y时等号成立． 22说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．

（2）∵ aa≥2axyxyxx22111(x)22a2282a，

1111(x)2≤，0111(x)22a2281≥2a8 ∴ aa1(2a8xy1≥2a8

∴ loga(aa)≤logaxy)loga21 8第2课 一元二次不等式

【考点导读】

1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。 2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题. 【基础练习】 1.解不等式：

123xx0 221232（3）x1x32xx2（4）4xx2

2222解：（1）原不等式化为3x4x40，解集为x2

3（1）3x4x40 （2）

2（2）原不等式化为x（3）原不等式化为x22x30，解集为R x10，解集为

2312xx421232x2x102（4）由2xx4,得 ,得222x2x501x2x3222x21或x21, 得61x61点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判断、以及对应方程两根大小的比较. 2. 函数ylog1(x21)的定义域为 2,1U1,2

22 3..二次部分对则不等

x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 3 0 4 6 函数y=ax2+bx+c(x∈R)的应值如下表：

式ax2+bx+c>0的解集是

-4 (,2)(3,)

4.若不等式xbxc0的解集是{xx3或x1}，则b=__-2____ c=__-3____. 【范例导析】 例.解关于ｘ的不等式

2a(x1)1(a1)

x2分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.

解:原不等式等价于

(a1)x(a2)0∵a1∴等价于：

x2a2a1xa10 （*）

x2a2a1>0∵a211<１∴x２ a>１时，（*）式等价于

a1a1a1x2a2xa1<0由２－a2＝a知： a<１时，（*）式等价于

a1a1x2a2a2当0２，∴２a1a1a2a2当a<0时，<２，∴a1a1a2当a＝0时，当＝２，∴x∈φ

a1a2综上所述可知：当a<0时，原不等式的解集为（，2）；当a＝0时，原不等式的解集为φ；当

a1a2a20１时，原不等式的解集为（－∞，）∪（2，

a1a1x＋∞）。

思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏. 【反馈练习】

1.若关于x的不等式axaxa10,的解集为R，则a的取值范围是2.不等式ax22,0

11bx20解集为x，则ab值分别为-12，-2 233.若函数f(x) =

0 2x2axa1的定义域为R，则a的取值范围为1，24.已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求实数a

的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.

解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，

3. 2a1a15若a1，则2a3， (a1)5，∴32a222a1此时不等式的解集是{x|x32a}；

2a13a155若a，由2a3， (a1)，∴32a22242a1此时不等式的解集是{x|32ax}。

2第3课 线性规划

由x0适合不等式故得(a1)(2a3)0，所以a1，或a

【考点导读】

1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确

定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.

2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题

的思想. 【基础练习】

1.原点（0,0）和点P（1,1）在直线xya0的两侧，则a的取值范围是0部分)是( A )

A B C D

3.下面给出四个点中，位于Ａ．(0，2)

xy10，表示的平面区域内的点是（ C ）

xy10Ｃ．(0，2)

Ｄ．(2，0)

Ｂ．(2，0)

4.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为

xy20x2y10 2xy105.在坐标平面上，不等式组【范例导析】

3yx1所表示的平面区域的面积为

2y3x1x4y3例1.设x,y满足约束条件3x5y25,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。

x1分析：求目标函数的最值，必须先画出准确的可行域，然后把线性目标函数转化为一族平行直线，这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点，直线在y轴上截距的最大值与最小值问题.

解：先作出可行域，如图所示中ABC的区域，

且求得A(5,2),B(1,1),C(1,

22) 5例1图

作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移

当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值 当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值 所以zmin=16;zmax=50

点拨：几个结论：(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。

（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。

xy20例2.已知xy40，

2xy50（1） 求zx2y的最大和最小值。 （2） 求z



y

的取值范围。 x

22（3） 求zxy的最大和最小值。 解析：注意目标函数是代表的几何意义. 解：作出可行域。 （1）z1z1zxy40x2yyx，作一组平行线l：yx，解方程组{2xy50得最

2222优解B（3，1），zmin3215。解{2xy50得最优解C（7，9），

xy20zmax72925

（2）zyy0表示可行域内的点（x,y）与（0，0）的连线的斜率。从图中可得，kzk，OBOAxx0z3。

11又k3,k，OAOB33（3）zx2y2(x0)2(y0)2表示可行域内的点（x,y）到（0，0）的距离的平方。从图

OF2，（OF为O到直线AB的距离），zOC2。OFminmax004222，中易得，zOF28,OC2130，zmax130，z8。

min点拨：关键要明确每一目标函数的几何意义，从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的取值范围. 例3．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

分析：本例是线性规划的实际应用题，其解题步骤是：（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系z3000x2000y的运动，求出目标函数的最值.

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得

y 500 xy≤300， 500x200y≤90000，x≥0，y≥0.目标函数为z3000x2000y．

400 xy≤300，二元一次不等式组等价于5x2y≤900，

x≥0，y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：

作直线l:3000x2000y0，

300 l

200 100 M 0 100 200 300 x 即3x2y0．

平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． 联立例3

xy300，解得x100，y200．

5x2y900.点M的坐标为(100，200)．

zmax3000x2000y700000（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元． 【反馈练习】

xy5≥，1.不等式组y≥a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是5≤a7

0≤x≤2x20,2.已知点P（x，y）在不等式组y10,表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是[－1，

x2y202] xy5,3x2y12,3.设x、y满足约束条件则使得目标函数z6x5y的最大的点(x,y)是（2,3）．

0x3,0y4.xy≥2，4.已知实数x，y满足xy≤2，则z2xy的取值范围是5，7

0≤y≤3，5.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值. 分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值

解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域 直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0 在△ABC内取一点P（1，1），

分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5 得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0 因此所求区域的不等式组为

x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0

作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=线y=

3x，观察图形可知：当直2第10题

311x－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小此时t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；当222311直线y=x－t经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为tmin= 3×（－1）

222－2×1=－5

因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5

。

第4课 不等式综合

【考点导读】

能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】 1.若函数

fxx11x2,gxx22x22x0，则fx与gx的大小关系是

fxgx

2.函数3.当点

fx2a2xa在区间0,1上恒为正，则a的取值范围是0＜a＜2

x,y在直线x3y20上移动时，z3x27y1的最小值是7

4.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是x＞3或x＜－1

【范例导析】

例1、已知集合P,2，函数ylog2ax2x2的定义域为Q 2（1）若PQ，求实数a的取值范围。

12（2）若方程log2ax2x22在,2内有解，求实数a的取值范围。

221分析：问题（1）可转化为ax2x20在,2内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，

2既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.

解：（1）若PQ，ax2x20在,2内有有解a22221122 2xx1221111令u22 当x,2时，u4,

2x2x2x2所以a>-4,所以a的取值范围是

aa4

12（2）方程log2ax2x22在,2内有解， 则ax2x20在,2内有解。 22当x,2时，a,12

22所以a,12时，log2ax2x22在,2内有解

22点拨：本题用的是参数分离的思想.

．．．．．

例2.甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过ckm/h，已知汽车每小时的运．．．

输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度vkm/h的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元． （1）把全程运输成本

2113321y元表示为速度vkm/h的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解

sh，全程运输成本为 vssaayabv2s(bv)．故所求函数为ys(bv)，定义域为v(0，c)．

vvvb（2）由于s、a、b、v都为正数，

解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为

故有s(aaabv)s2bv，即s(bv)2sab． vbv当且仅当

aabv，即v时上式中等号成立． vb若

aa时，全程运输成本y最小； c时，则vbb当

aac，易证0vc，函数yf(v)s(bv)单调递减，即vc时，

vbaymins(bc)．

c综上可知，为使全程运输成本y最小， 在

aa； c时，行驶速度应为vbbac时，行驶速度应为vc． b在

点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题． 【反馈练习】

1.设0a1，函数f(x)loga(a2.如果函数

2x2ax2)，则使f(x)0的x的取值范围是(0,)

ylog1(x22x3)的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____ 3a<-1____ 3.若关于x的不等式x4xm对任意x[0,1]恒成立，则实数m的取值范围为(,3] 4已知二次函数f (x)=axbx1a,bR,且a0,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1．

22，且a0.，由x12x24得g20，且g(4)>0，证明：设g(x)= f (x)—x=axb1x12即4a2b10,313114ab2a,由4a2a,得a,

242816a4b30,43b1b11,故x11.

18a2a4a2a48∴22012高中数学复习讲义 第七章 立体几何初步

【知识图解】

构成几何体 的基本元素 空间几何体 柱、锥、台、球的特表面积与体积 直观图与三视图的画法 直观认识线面平行与垂中心投影与平行投影 平面的基本性质 点、线、面之间的位置关系 空间中的平行关系 确定平面的位置关系 直线与直线的平行关系 直线与平面平行的判断及性质 平面与平面平行的判断及性质 直线与直线的垂直关系 空间中的垂直关系 直线与平面垂直的判断及性质 平面与平面垂直的判断及性质 【方法点拨】

立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点：

1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。

2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。

3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。

4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。

第1课 空间几何体

【考点导读】

1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

【基础练习】

1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；②如果它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。

2.（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。

AF•G•DE

（2）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1EB•C在该正方体的面上的射影可能是图的 ②③ （要求：把可能的图的序号．

都填上）.

① ② ③ ④ 【范例导析】

例1．下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的

答案）

（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 （2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 （4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体

分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。

（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。 例2．ABC是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若ABC的面积为3，那么△

ABC的面积为_______________。

解析：26。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。

例3．（1）画出下列几何体的三视图

（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。 解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下： （2）该几何体为一个正四棱锥。

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

【反馈演练】

1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

122。

2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则

R23=。

3r2

解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有

4πr=33

πR2r。故

R2323。答案为。 3r3点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。

3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是

3。 24．空间四边形ABCD中，AC8，BD12，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EFGH为平行四边形，则四边形EFGH的周长的取值范围是_

(16,24)_。

5．三棱锥PABC中，PCx，其余棱长均为1。 （1）求证：PCAB；

（2）求三棱锥PABC的体积的最大值。

解：（1）取AB中点M，∵PAB与CAB均为正三角形， ∴ABPM,ABCM， ∴AB平面PCM。

P

∴ABPC

(2)当PM平面ABC时，三棱锥的高为PM，

1此时Vmax13SABCPM334A

M

B

C

32 186．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥

侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线. （1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）求圆锥的全面积．

解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l， 由题意得：l2R, 即cosACO1R1, l20所以母线和底面所成的角为60. (2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，

其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且OO11AB.

2在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，

2

则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x=－2py，

2

点N的坐标为（R，－R），代入方程得：R=－2p（－R）， 得：R=2p，l=2R=4p. ∴圆锥的全面积为RlR28p24p212p2.

第2课 平面的性质与直线的位置关系

说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向.

【考点导读】

1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。

2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。 3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。 【基础练习】

1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。 （1）∵A,B，∴AB． （2）∵a,a，∴a．

（3）∵Aa,a，∴A． （4）∵Aa,a，∴A． 2．下列推断中，错误的是 （4） 。 （1）Al,A,Bl,Bl （2）A,B,C,A,B,C，A,B,C不共线,重合 （3）A,A,B,B（4）lAB ,AlA 3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）

（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ）

（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×

A1B1ABCD1C1ED4．如右图，点E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，则过点E与直线AB和B1C1都相交的直线的条数是： 1 条

5．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec 求证：BD和AE是异面直线 证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面_ _内 Aa，Da，∴__γ. Pa，∴P__.

Pb，Bb，Pc，Ec ∴_ _， __，这与____矛盾 ∴BD、AE__________ 答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面  内。

∵Aa，Da，∴ a . ∵Pa，P  .

∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b ，c ，这与a、b、c不共面矛盾 ∴BD、AE是异面直线 【范例导析】

例1．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量

YuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuurOEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC//平面EG．

分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明， 也可以转化为直线共面的条件即几何证法。

uuuruuuruuur解：法一：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD， uuuruuuruuur∵EGOGOE，

∴E,F,G,H共面；

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，

∴EF//AB,EG//AC 所以，平面AC//平面EG．

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur法二：（1）QEFOFOEOEkOA,OFKOB, uuuruuuruuuruuur∴EFk(OBOA)kAB

∴EF//AB 同理HG//DC 又∴E,F,G,H共面；

（2）由（1）知：EF//AB，从而可证EF//面ABCD 同理可证FG//面ABCD，所以，平面AC//平面EG． 点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。 例2．已知空间四边形ABCD.

(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;

(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状; (3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段. 分析：证明两条直线异面通常采用反证法。

证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面， 所以A、B、C、D四点共面 这与空间四边形ABCD的定义矛盾 所以对角线AC与BD是异面直线

(2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

AB//DC ∴EF//HG

1AC. 21AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形. 2o

又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.

(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.

点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。

例3．如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AEC1F，求证：四边形EBFD1是平行四边形

简证：由AEC1F可以证得ABE≌C1D1F 所以BED1F 又可以由正方体的性质证明BE//D1F 所以四边形EBFD1是平行四边形 例4：如图，已知平面,，且I（Ⅰ）求证：AB平面PCD； （Ⅱ）若PCPD1,CDD1A1B1C1FEADBCAB,PC,PD,C,D是垂足．

2，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）因为PC,AB，所以PC同理PDAB． 又PCIAB．

CPBPDP，故AB平面PCD．

（Ⅱ）平面平面。证明如下：设AB与平面PCD的交点为H，

DA连结CH、DH．因为AB平面PCD，所以ABCH,ABDH， 所以CHD是二面角CABD的平面角． 又PCPD1,CD2，所以CD2PC2PD22，即CPD900．

0在平面四边形PCHD中，PCHPDHCPD90， 所以CHD90．故平面0平面．

【反馈演练】

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条

（ ）

（ ）

（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60o 答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×

2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 4 个。

3．给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。

C B β （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）

A D 4．如图，已知Il,Al,Bl,（A,B不重合）

过A在平面α内作直线AC，过B在平面β内作直线BD。 求证：AC和BD是异面直线。

证明：（反证法）若AC和BD不是异面直线，

设确定平面γ，则由题意可知：平面α和γ都过AC和AC外一点B，所以两平面重合。 同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。 这与已知条件平面α和β相交矛盾。 所以AC和BD是异面直线。

第3课 空间中的平行关系

【考点导读】

1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。

2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。

3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】

1．若a、b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 异面或相交 2．给出下列四个命题:

①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行.

④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. ．

其中假命题的个数是 4 个。

3．对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直 。

4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β； ④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。

。

【范例导析】

例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形． 求证：AB∥平面EFG． 证明?：∵面EFGH是截面．

∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上． ∴EH

面ABC，GF

面ABD，

由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD． 又?∵EH

面BAC，面ABC∩面ABD=AB

∴EH∥AB．

∴AB∥面EFG．

例2． 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN. 求证:MN∥平面AA1B1B.

分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。

简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。

即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，如图所示作平行线即可。

法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN并延长交直线BA于点P， 连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.

法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。

过M作MQ//BB1交BC于B1，连NQ,则平面MNQ与平面ABB1A1平行， 从而证得MN∥平面ABB1A1.

点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。

A

【反馈演练】

1．对于平面和共面的直线m、n,下列命题中真命题是（3）。

（1）若m,mn,则n∥ （2）若m∥,n∥,则m∥n

（3）若m,n∥,则m∥n （4）若m、n与所成的角相等，则m∥n

E A1

D N F B D1C1

B1M C

2. 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 （2） 。 （1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b （2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b

（3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面 （4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面

3．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（4） 。

（1）若a∥M，b∥M，则a∥b （2）若a∥M，b⊥a，则b⊥M （3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，则M⊥N

4．“任意的a，均有a//”是“任意b，均有b//”的 充要条件 。 5.在正方体AC1中，过A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .

6．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD!的形状为 平行四边形 。

7. 已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点， 求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ， 则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，

∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

8．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求

证：MN//平面PAD；（2）若MN大小 BC4，PA43， 求异面直线PA与MN所成的角的

略证：（1）取PD的中点H，连接AH，

PNH//AM,NHAMAMNH为平行四边形

(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由

AHDNCBMNBC4，PA43得，OM=2，ON=23 M所以ONM30，即异面直线PA与MN成30的角 009．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面

BCE。

证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，

则MP∥AB，NQ∥AB。

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形 ∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE。

证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，

∴

DMCPAFNEBQAMAH ACABFNAH BFABDMC连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE。

AFHNEB第4课 空间中的垂直关系

【考点导读】

1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。 2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。 【基础练习】

1．“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的 必要 条件。 2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。 3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。

4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。

5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。 【范例导析】

例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

（1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD.

解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力. 证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO. ∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点 在PAC中,EO是中位线,∴PA // EO 而EO平面EDB且PA平面EDB, 所以,PA // 平面EDB

（2）∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD,∴PD∴DE P F E DC

D C ∵PD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,

PC. ①

A B 同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而DE平面PDC,∴BCDE. ②

由①和②推得DE平面PBC. 而PB平面PBC,∴DEPB 又EFPB且DEEFE,所以PB⊥平面EFD.

例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，

M 是EA 的中点，

求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA。

分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。（2）证明

面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结

MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。

证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。

∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。 ∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。 ∵ BD ∥CE ，BD ＝

1CE ＝FC ， 2则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。

又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。 （2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ， ∵ M 是EA 的中点，∴ MN 1EC。 21EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。 2∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，

由BD ∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。 （3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ， ∴ 平面DEA ⊥平面ECA。

点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。 例3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1， ∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点．

（1） 求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时， 会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。

分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。

证明：（1）如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，

∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。又 D 是A1B1 的中点， ∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。

（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。

∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，

∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。

点评：本题（1）的证明中，证得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。 【反馈演练】

1．下列命题中错误的是 （3） 。

（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线 （2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直

（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面

（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 2．设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若

xz，且yz,则x//y”为真命题的是 ①③④ （填所有正确条件的代号） ①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面 ③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线 ⑤x，y，z为直线

3．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有___4__个。

4．若AB的中点M到平面的距离为4cm，点A到平面的距离为6cm，则点B到平面 的距离

为_2或14________cm。

5．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。

命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。 答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）

6．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α

．．

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。 答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β

7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=2a，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。 （1）求证：四边形EFCD为直角梯形；

CD的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明. AB解：（1）∵ CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB （2）设SB的中点为M，当

面EFCD∩面SAB=EF，

∴CD∥EF ∵D900,CDAD, 又SD面ABCD

∴SDCD CD平面SAD，∴CDED又EFABCD EFCD为直角梯形

SEDABFMCCD (2)当2时，DMC为直角三角形 .

ABABa,CD2a,BDAB2AD22a,BDC450 BC2a,BCBD,

SD平面ABCD,SDBC,BC平面SBD.

在SBD中，SDDB,M为SB中点，MDSB.

MD平面SBC,MC平面SBC, MDMCDMC为直角三角形。

2012高中数学复习讲义 第八章 直线和圆的方程

【知识图解】 【方法点拨】 中点坐标 点 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练两点间距离 地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 直线斜率与倾斜角 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 点斜式 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 斜截式 方直4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)程直 线根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质． 两点式 形线 与5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形式 圆截距式 结合思想． 的一般式 方6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面平行 程 向量等与本章内容关系比较密切的知识． 两条直线位置关系 相交 垂直 第1课 直线的方程 点与直线位置关系 【考点导读】 点到直线的距离 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根标准方程 方程形式 据条件，求出直线的方程． 一般方程 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属圆 点与圆的位置关系 中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考. 【基础练习】 位置关系 直线与圆的位置关系 1. 直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角范围是0,5,圆与圆的位置关系 空间直角坐标系 662. 过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是xy10或3x2y0

3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为

yx4或yx2

4.无论k取任何实数，直线2）

【范例导析】

例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3） （1）求直线AB的斜率k； （2）求直线AB的方程；

（2，14kx23ky214k0必经过一定点P，则P的坐标为

31,31，求直线AB的倾斜角α的取值范围． （3）已知实数m3分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在． 当m≠－1时，k1， m11x1. m1（2）当m=－1时，AB：x=－1， 当m≠1时，AB：

y2（3）①当m=－1时，②当m≠－1时， ∵k2；

31 ,3,m13∴2,, 62232, 63故综合①、②得，直线AB的倾斜角点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.

例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点. (1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.

分析： 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程.

11,0),B(0,1-2k),且2->0, 1-2k>0,即k<0. kk111111△AOB的面积S=(1-2k)(2-)=[(-4k)++4]≥4,当-4k=,即k=时, △AOB的面积有最小

2k2kk2解 （1）设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.

(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2). 分别令y=0和x=0,得A(2-

1,0),B(0,1-2k), k1122

)84(k)4,当且仅当k=1,即k=±1时, |PA|·|PB|取22kk∴|PA|·|PB|=(44k)(12得最小值4.又k<0, ∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0. 解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,当且仅当θ=

|PE||PF|4),且|PA|·|PB|=4 2sincossin2时, |PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1, 直线l的方程是x+y-3=0. 4y 点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.B ②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目P F 标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值. O E A x 例2图

例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.

分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.

解：解法一 设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有

4ab30a2，解得 3(2a)5(4b)50b5直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.

解法二 由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝

4(1m)(2n)30n，∵A,B两点分别l1和l2上，∴，消去常数项得－3m＝m3(1m)5(2n)50n，所以k＝－3，

从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.

解法三 设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.

点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。 【反馈练习】

1.已知下列四个命题①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程

xy+＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示，其中正确的是①③④ ab2.设直线l的方程为2xk3y2k60k3,当直线l的斜率为-1时，k值为__5__,当直线l

在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为1或3

3.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足的关系式为ab0

4.若直线l：y＝kx3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是

(,) 625.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为

11，则c的值为 c51 6．若直线(m─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是，2

127.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程

分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答

解：∵P（2，3）在已知直线上，∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0 ∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即

b1b222=－∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1）

a1a233∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0

点拨：1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想，方法巧妙. 8.一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；

（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点） 解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝从而方程为8x－15y+6=0 （2）设直线方程为

18，tanθ＝tan2α＝， 415yx＋＝1，a＞0，b＞0， ab623＋＝1≥2，得ab≥24，

abba代入P（3，2），得

1ab≥12， 2223b此时＝，∴k＝－＝－

b3aa点拨：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值

从而S△AOB＝

第2课 两条直线的位置关系

【考点导读】

1.掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交直线的交点，掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式.

2.高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用，有时考察单一知识点,有时也和函数三角不等式等结合，题目难度中等偏易.

【基础练习】

1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为2x+y－1=0 3.若三条直线2x3y80,【范例导析】

例1.已知两条直线l1:x+m2y+6=0, l2:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时, l1与l2

（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.

xy10和xkyk11 0相交于一点，则k的值等于2 .2解:当ｍ＝0时，l1：x＋６＝０，l2：x＝０，∴l1∥l2， 当ｍ＝2时，l1：x＋４y＋６＝０，l2：３y＋２＝０ ∴l1与l2相交；

1m216当m≠０且m≠２时，由得m＝－１或m＝３，由得m＝3 m23mm22m故（１）当m≠－１且m≠３且m≠０时l1与l2相交。 （２）m＝－１或m＝０时l1∥l2， （３）当m＝３时l1与l2重合。

点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.

例2.已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。

分析：可以求出直线l与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率

解法一：:若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别是A1（3，-4）和 B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。若直线l的斜率存在，则设l的方程为y=k（x-3）+1， 解方程组3k24k1xy10得A（） ,－

k1k1ykx313k79k1xy60解方程组 得B（，－）

ykx31k1k1由|AB|=5得

223k23k74k19k1=25， +k1k1k1k1解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。 综上可知，所求l的方程为x=3或y=1。

解法二.设直线l与l1、l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0， x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ① 又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②

x1x25x1x20联立① ②，可得或

yy0yy51212由上可知，直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P（3，1），故所求l的方程为x=3或y=1。 点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论. 【反馈练习】

1.已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线y1x，则l的方程是y2x2 22.若直线ax(1a)y3与(a1)x(2a3)y5互相垂直，则 a-3或1

3.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是___-1___. 4.已知02，且点(1,cos)到直线xsinycos1的距离等于

1，则等于 465. 经过直线2x3y70与7x15y10的交点，且平行于直线x2y30的直线方程是3x+6y-2=0

6.线l1过点A(5,0)，l2过点B(0,1)，l1∥l2，且l1与l2之间的距离等于5，求l1与l2的方程。 解：l1与l2的方程分别为：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0或x=5,x=0

7.已知ABC的三边方程分别为AB:4x3y100，BC:y20，CA:3x4y50. 求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC的内角平分线所在直线的方程.

y20313解：（1）AB边上的高斜率为且过点C，解方程组得点C（，2）所以AB边

343x4y50上的高方程为3x4y210.

（2）设Px,y为∠BAC的内角平分线上任意一点，则

4x3y1043223x4y53422解得

7x7y50或xy150，由图形知7x7y50即为所求.

第3课 圆的方程

【考点导读】

1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方

程与一般方程之间的关系，会进行互化。

2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主.

【基础练习】

1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y－1)2 = 25 2.过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（x－1）2＋（y－1）2＝4 3.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为

x2y24x0

4.圆xy4x2yc0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c值为

22_-11__ 5.如果方程x2y2DxEyF0D2E24F0所表示的曲线关于直线yx对称，那么必有__D=E__

【范例导析】

【例1】 设方程xy2(m3)x2(14m)y16m90，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。 分析:配成圆的标准方程再求解

22解：配方得：x(m3)y(14m)16m7m 该方程表示圆，则有

222224xm31，消去m，得16m7m0，得m(,1)，此时圆心的轨迹方程为27y4m12120y4(x3)21，由m(,1)得x=m+3,4所求的轨迹方程是y4(x3)21，

7720x,4

7注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中x2220,4 7变式1：方程axay4(a1)x4y0表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

224(a22a2)2(a1)解：原方程可化为x (y)2aaaQa22a20,当a0时，原方程表示圆。

22a22a22(a24a4)4(a22a2)22 又r222aaa当a2,rmin22，所以半径最小的圆方程为x1y12

2222例2 求半径为4，与圆xy4x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．

(xa)(yb)r． 解：则题意，设所求圆的方程为圆C：圆C与直线y0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4)． 又已知圆xy4x2y40的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3． 若两圆相切，则

22222CA437或CA431．

222222(1)当C1(a,4)时，(a2)(41)7，或(a2)(41)1(无解)，故可得

a2210．

∴所求圆方程为(x2210)(y4)4，或(x2210)(y4)4． (2)当C2(a,4)时，(a2)(41)7，或(a2)(41)1(无解)，故

222222222222a226．

∴所求圆的方程为(x226)(y4)4，或(x226)(y4)4． 【反馈练习】

1.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF＞0 2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)

3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部，则k的范围是2222221k1 54.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是

x2y24x6y0

5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是31, 10106.方程

x11(y1)2表示的曲线是_两个半圆

22227.圆(x3)(y4)2关于直线xy0的对称圆的方程是(x4)(y3)2 8.如果实数x、y满足等式x22y23，那么

2y的最大值是3 x9.已知点A(1,1)和圆C:(x5)(y7)4，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路

程为___8___

10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程; 解：设圆心P(x0,y0),则有解得 x0=4, y0=5, ∴半径r=10,

∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10

22x0y030(x05)(y02)(x03)(y02)2222,

11. 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为(x3b)(yb)9b 222又因为直线y=x截圆得弦长为27，

则有(|3bb|2)+(7)2=9b2， 2解得b=±1故所求圆方程为

(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29 点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F.

第4课 直线与圆的位置关系

【考点导读】

能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.

【基础练习】

1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜4 2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于22

3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 . 【范例导析】

例1.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）. （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

2xy70x3 由得 即l恒过定点A（3，1）.

xy40y1∵圆心C（1，2），｜AC｜＝5＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.

（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－

1， ∴l的方程为2x－y－5=0. 222点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质. 例2.已知圆O: xy1，圆C: (x2)(y4)1，由两圆外一点P(a,b)引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.求实数a、b间满足的等量关系. 解：连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1

例2

∴|PO|2=|PC|2，从而ab(a2)(b4) 化简得实数a、b间满足的等量关系为: a2b50. 例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线求圆C的方程.

222222yx的距离等于2.

abab1ab1r解：设圆C半径为，由已知得：ra ∴，或

r1r1ab221)(y＋1)1. ∴圆C方程为(x1)(y1)1,或(x＋例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y=射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切. (1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；

(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．

解：（1）直线l1:y2,设l1交l于点D，则（D2 Ql的倾斜角为30，

o22223

x反3

y l 例A 4 . 3，2）O B l1 x l2的倾斜角为60o，k23.反射光线l2所在的直

线方程为

l2 y23(x23). 即3xy40.

已知圆C与l1切于点A，设C（a,b),

Q圆心C在过点D且与l垂直的直线上，b3a8 ,又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，

a33,b3a81，圆C的半径r=3，

故所求圆C的方程为(x33)(y1)9.

22y043x0232（2）设点B0,4关于l的对称点B(x0,y0)，则，得B(23,2),固定点Q可

y043x0发现，当B、P、Q共线时，PBPQ最小，

y1x3331212333,). 故PBPQ的最小值为BC32213.此时由,得P(223yx3【反馈练习】

1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为x3y20

2.已知直线l过点，当直线l与圆xy2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（2，0）22（22，） 443.设m>0,则直线2(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为相切或相离

1m,圆半径为m. 21m11∵d-r=-m=(m-2m+1)=(m-1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.

222解析：圆心到直线的距离为d=

4.圆(x-3)+(y-3)=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为3

5.点P从(1,0)出发,沿单位圆xy1逆时针方向运动

222

2

2弧长到达Q点,则Q的坐标为 3

13(,) 22226.若圆xymx130与直线y1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为

447.设P为圆xy1上的动点，则点P到直线3x4y100的距离的最小值为 1 .

22x02228.已知平面区域y0恰好被面积最小的圆C:(xa)(yb)r及其内

x2y40部所覆盖．

(1)试求圆C的方程.

(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A,B.满足CACB,求直线l的方程.

解:(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)构成的三角形及其内部,且△OPQ是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是5,所以圆C的方程是(x2)(y1)5. (2)设直线l的方程是:yxb.

22uuuruuur因为CACB,

|21b|1212所以圆心C到直线l的距离是即10 210, 2解得:b15.所以直线l的方程是:yx15.

2012高中数学复习讲义 第九章 圆锥曲线

【知识图解】 圆 锥曲 线

【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.

2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力. 3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程

定义 双曲线 定义 几何性质 抛物线 几何性质 标准方程 标准方程 圆锥曲线应用 椭圆 定义 标准方程 几何性质 【考点导读】

1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何

性质;

2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简

单的实际问题. 【基础练习】

x2y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆3在BC边上，则△ABC的周长是43

第1课 椭圆A

2.椭圆x4y1的离心率为

2232

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方

x2y21 程是

1x2y2151的离心率e，则k的值为k4或k 4. 已知椭圆

k24【范例导析】 例1.（1）求经过点(35,)，且9x24y245与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 22（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。 【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.

y2x2解：（1）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为221（ab0），

ab由椭圆的定义知，

3535312a()2(2)2()2(2)21010210，

222222222∴a10，又∵c2，∴bac1046，

y2x2所以，椭圆的标准方程为1。

106x2y2（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为221ab0，

abx2922y21. ∵点P（3,0）在该椭圆上∴21即a9又a3b，∴b1∴椭圆的方程为9ay2x2②若焦点在y轴上，设方程为221ab0，

aby2x29221 ∵点P（3,0）在该椭圆上∴21即b9又a3b，∴a81∴椭圆的方程为

819b方法二：设椭圆方程为Ax2By21A0,B0,AB.∵点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即

x2y2x21122A,又a3b∴B1或，a81∴椭圆的方程为y1或1.

9819981x2y2【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为221ab0，

aby2x222若焦点在y轴上，设方程为221ab0，有时为了运算方便，也可设为AxBy1，

ab其中

A0,B0,AB.

x2y21长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位例2.点A、B分别是椭圆

3620于x轴上方，PAPF。 （1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。

【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.

解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)

uuuruuur 设点P(x,y),则AP=（x+6, y）,FP=（x－4, y）,由已知可得 x2y2132 3620 则2x+9x－18=0, x=或x=－6.

2(x6)(x4)y20由于

533353. ∴点P的坐标是(,) y>0,只能x=,于是y=2222 (2) 直线AP的方程是x－3y+6=0. 设点M(m,0),则M到直线AP的距离是

m62.

于是

m62=

m6,又－6≤m≤6,解得m=2. 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

549d2(x2)2y2x24x420x2(x)215,

9929由于－6≤m≤6, ∴当x=时,d取得最小值15

2点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题. 【反馈练习】

1.如果xky2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）

2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是2221 x2y23.椭圆123的7倍

=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|

10x2y2251的离心率e4.若椭圆,则m的值为3或

55m33x2y21的右焦点到直线y3x的距离为5.．椭圆

243x2y2x2y21具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是1或6.与椭圆43863y24x21 2525x2y21上的点到直线x2y20的最大距离是10 7.椭圆18. 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a和b（或a和b）的值．从而求得椭圆方程．

224525和，过P点作焦33解：设两焦点为F1、F2，且PF1从椭圆定义知2a4525，PF2． 335． PF1PF225．即a从

PF1中，sinPF1F21PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPF2FPF21， PF12可求出PF1F26，2cPF1cos61025222，从而bac．

33x23y23x2y21或1． ∴所求椭圆方程为

510105第2课 椭圆B

【考点导读】

1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定决椭圆的有关问题; 2. 能解决椭圆有关的综合性问题.

【基础练习】

x2y2x2y21m6与曲线15n9的（D） 1.曲线

10m6m5n9nA 焦点相同 B 离心率相等 C准线相同 D 焦距相等

x2y2201上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是10， 2.如果椭圆

251635x29y21 3 离心率e，一条准线为x3的椭圆的标准方程是

3520【范例导析】

x2y2例1.椭圆221（a>b>0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且

abF1MF2M0。

求离心率e的取值范围.

分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围. 解：设点M的坐标为(x，y)，则F1Mx-c+y=0，即x-c=-y。 ①

2

2

2

2

2

22

2

(xc,y)，F2M(xc,y)。由F1MF2M0，得

b22b22a2b222222

又由点M在椭圆上，得y=b2x，代入①，得x-c2xb，即xa。

aac22a2b2a2c212222a∵0≤x≤a，∴0≤a≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤e≤1。 12222cce2又∵0＜e＜1，∵≤e≤1.

2例2.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC中点的横坐标.

分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定决.

解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=a2c2=3. y例2 x2y2故椭圆方程为=1. 259ABCF1oF2B'x9(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为

5x=

254425425,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－455454x2)，

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=

4254259(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8. 54545x1x2=4. 2【反馈练习】

1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2 2x24y21的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的面积为 2．已知F1、F2为椭圆2433.已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为21

x2y21上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 12 4.椭圆

10036x2y91上不同三点Ax1，y1，B4，，Cx2，y2与焦点F4，0的距离成等差数5.椭圆

2595列．

求证:x1x28；

证明：由椭圆方程知a5，b3，c4． 由圆锥曲线的统一定义知：

2AFa2x1cc4，∴ AFaex15x1． a5同理 ∵

4CF5x2．

59， 5AFCF2BF，且BF∴ 54418x15x2，即 x1x28． 555第3课 双曲线

【考点导读】

1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】

1.双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍，则m221 4y2x22. 方程1表示双曲线，则k的范围是k3或k3

k3k33．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y1x，则此双曲线的离心率为5 24. 已知焦点F1(5,0),F2(5,0)，双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的

x2y21 标准方程为

916【范例导析】

例1. (1) 已知双曲线的焦点在曲线的标准方程;

9,P坐标分别为(3,42),(,5)，求双y轴上，并且双曲线上两点P124x2y23点的双曲线方程及离心率． 1共渐近线且过A23，（2）求与双曲线

169分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.

y2x2解：（1）因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为221(a0,b0)①；

ab∵点P1,P2在双曲线上，∴点P1,P2的坐标适合方程①。

(42)232212b9a将(3,42),(,5)分别代入方程①中，得方程组： 92425()2421ba1111a216将2和2看着整体，解得， ab11b292y2x2a161。 ∴即双曲线的标准方程为

2169b9点评：本题只要解得a,b即可得到双曲线的方程，没有必要求出a,b的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。

22x2y231的渐近线方程为：yx （2）解法一：双曲线

1694x2y2当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为221a0,b0

ab∵

a33，∴ba ① b443在双曲线上 ∵A23，∴

12921 ② 2ab由①－②，得方程组无解

y2x2当焦点在y轴时，设双曲线方程为221a0,b0

abb34，∴ba ③

3a49123在双曲线上，∴221 ④ ∵A23，ab922由③④得a，b4

4∵

y2x251且离心率e ∴所求双曲线方程为：9434x2y2x2y21共渐近线的双曲线方程为：0 解法二：设与双曲线

1691693在双曲线上，∴∵点A23，1291 1694x2y21y2x2，即1． ∴所求双曲线方程为：

9169444点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程

x2y20求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数． a2b2例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 解：如图:

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线依题意得a=680, c=1020，

x2y221上， 2aby b2c2a210202680253402xy故双曲线方程为212680534022

P A C o 例2 用y=－x代入上式，得x6805，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心68010m处.

B x

x2y2例3.双曲线221(a1,b0)的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到

ab直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和s解：直线l的方程为

4c.求双曲线的离心率e的取值范围. 5xy1，即 bxayab0. abb(a1)ab22由点到直线的距离公式，且a1，得到点（1，0）到直线l的距离d1，

同理得到点（－1，0）到直线l的距离d2b(a1)ab22

由s42ab4c,得c, 即 5ac2a22c2. 5c5于是得

5e212e2,即4e425e2250.

解不等式，得

55e5. e25. 由于e10,所以e的取值范围是24点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力. 【反馈练习】

x2y21的渐近线方程为y2x 1.双曲线24x2y21 2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，则双曲线方程为0)，(4，4123.已知双曲线的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，P是此双曲线上的一点，且PF1PF2，

x2y21 |PF1|•|PF2|2，则该双曲线的方程是4x2y21上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1、F2分别是双曲4. 设P是双曲线2－＝a9线左右焦点，若

PF1=3,则PF2=7 x2y2x2y21 1共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程5.与椭圆

25520210210，3且离心率为2的双曲线标准方程． 6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点P1（2）求以曲线2xy4x100和y2x2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

22213x2y21， 1k0，则解：（1）设所求双曲线方程为：

kkkk2y2x2191 ∴1，∴k8，∴所求双曲线方程为88kk22x3x322xy4x100（2）∵，∴或，∴渐近线方程为yx

23y2y2y2x2当焦点在x轴上时，由

b2且a6，得b4． a3x2y21 ∴所求双曲线方程为

3616当焦点在

y轴上时，由

a2，且a6，得b9． b3y2x21 ∴所求双曲线方程为

3681x2y27.设双曲线221(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0,b)两点，且原点到直线l的

ab距离为

3c，求双曲线的离心率． 4分析：由两点式得直线l的方程，再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建立等式，从而解出

c的值． a解：由l过两点(a,0)，(0,b)，得l的方程为bxayab0．

由点到l的距离为

3ab3c，得c．

2244aba22a2将bca代入，平方后整理，得16(2)16230．

cc22a2312令2x，则16x16x30．解得x或x． c44而e23c1，有e．故e或e2．

3axca2b2b2因0ab，故e122，

aaa所以应舍去e23．故所求离心率e2． 323．其原因是未注意到题设条件(0ab)，从而离心3说明：此题易得出错误答案：e2或e率e2．而

232，故应舍去． 38.已知双曲线的中心在原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2，且过点

4,10．

uuuuruuuur（1）求双曲线方程；（2）若点M3,m在双曲线上，求证：MF1MF20；

（3）对于（2）中的点M，求F1MF2的面积．

解：（1）由题意，可设双曲线方程为xy，又双曲线过点

∴ 双曲线方程为xy6； （2）由（1）可知，ab22224,10，解得6 6，c23， ∴ F123,0，F223,0

uuuuruuuuruuuuruuuuur2∴ MF1233,m，MF2233,m， ∴ MF1MF2m3，

又点M23,m在双曲线上， ∴ 9m26，

uuuuruuuur∴ m3， 即MF1MF20；

（3）SVF1MF211F1F2m4336 ∴F1MF2的面积为6． 22第4课 抛物线

【考点导读】

1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质. 2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题. 【基础练习】

1.焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是y=16x或x8y

22x2y21的右焦点重合，则p的值为4 2.若抛物线y2px的焦点与椭圆6223.抛物线y4ax(a0)的焦点坐标是__(a,0)_ 4.抛物线y12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是

226,62

5．点P是抛物线y4x上一动点，则点P到点A(0,1)的距离与P到直线x1的距离和的最小值2 【范例导析】

2例1. 给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．

解：设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，

2∴d=｜PA｜=(x0a)2y0

=(x0a)22x0=[x0(1a)]22a1． ∵a＞0，x0≥0，

∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，

此时有x0=0时，dmin=(1a)22a1=a． （2）当a≥1时，1－a≤0， 此时有x0=a－1时，dmin=2a1．

例2.如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到

l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，AM7，AN3，且BN6，建

立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．

解：以l1为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．

例2

由题意，曲线段C是N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．

∴设曲线段C满足的抛物线方程为：y2px(p0)(xAxxB,y0),其中

2xA、xB为A、B的横坐标

令

MNp,则M(pp,0),N(,0)，AM17,AN3 22(xA∴由两点间的距离公式，得方程组：(xAp2)2pxA17p4p22 解得或

p2x1x2AA)2pxA92∵△AMN为锐角三角形，∴

pxA，则p4，xA1 2又B在曲线段C上，xBBNp624 2则曲线段C的方程为y8x(1x4,y0). 【反馈练习】

2y21.抛物线x的准线方程是x2

82.抛物线yax(a0)的焦点到其准线的距离是

22|a| 23.设O为坐标原点，F为抛物线y4x的焦点，A为抛物线上的一点，若OAAF4，则点A的坐标为

2,22

24.抛物线yx上的点到直线4x3y80距离的最小值是

24 35.若直线l过抛物线yax(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=

1 46.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.

解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4） 设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5, 于是抛物线方程为x2=－25y.

第6题

由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；

（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．

分析：可设抛物线方程为y2px(p0)．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明

2AB2MM1，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.

解：（1）设抛物线的方程

y22pxp0，将（2，2）代入得p1∴所求抛物线方程为y22x

（2）证明：作AA1l于A1,BB1l于B1．M为AB中点，作MM1l于M1，则由抛物线的定义可知：

AA1AF,BB1BF

在直角梯形BB1A1A中：

MM11AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 2点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．

第5课 圆锥曲线的统一定义

【考点导读】

1. 了解圆锥曲线的第二定义.

2. 能用第二定决简单的圆锥曲线问题. 【基础练习】

1.抛物线y6x的焦点的坐标是(

233,0), 准线方程是x 222x，那么它的两条准

2..如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y线间的距离是2

x211y21上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则m= 3.若双曲线m384.点M与点F(4,0)的距离比它到直线:x50的距离小1,则点M的轨迹方程是y16x 【范例导析】

例1.已知双曲线的渐近线方程为3x2y0，两条准线间的距离为

21613，求双曲线标准方程． 13分析：（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．

x2y2210 解：∵双曲线渐近线方程为yx，∴设双曲线方程为

493①若0，则a24，b29

a24138131613，∴∴准线方程为：x，∴4 c131313②若0，则a29，b24

a291318131613∴准线方程为：y，∴，∴ c13131381x2y29y281x21或1 ∴所求双曲线方程为：

1636256点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.

y211上求一点P，使PAPF的值最小． 0，F2，0，在双曲线x例2.已知点A3，322解：∵a1，b3，∴c2，∴e2

0相应准线的距离为d则设点P到与焦点F2，∴

PFd2

11PFd，∴PAPFPAd 22至此，将问题转化成在双曲线上求一点P， 使P到定点A的距离与到准线距离和最小．

即到定点A的距离与准线距离和最小为直线PA垂直于准线时，

解之得，点P2123，．

点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力． 【反馈练习】

x211y21上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则m 1.若双曲线m382.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2 2x23323.已知双曲线2y1 (a0)的一条准线为x，则该双曲线的离心率为

22ax2y21右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为 8 4 双曲线169第6课 圆锥曲线综合

【考点导读】

1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活

地运用解析几何的常用方法解决问题.

2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.

3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题. 【基础练习】

1. 给出下列四个结论：

①当a为任意实数时，直线(a1)x的标准方程是x2y2a10恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线

4y； 3y0，则双曲线的标准方程是

②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2xx2y21； 520③抛物线

yax2(a0)的准线方程为y1； 4ax2y21，其离心率e(1,2)，则m的取值范围是（－12，0）。 ④已知双曲线4m其中所有正确结论的个数是4

x2y21长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的2.设双曲线以椭圆

259斜率为1 2x2y21的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是x2y80 3.如果椭圆

369【范例导析】

uuuruuur例1. 已知抛物线x4y的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且AFFB(0).过A、B两点

2分别作抛物线的切线，设其交点为M。

uuuuruuur（I）证明FM.AB为定值；

（II）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值。

2x12x2x,解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为x1, B点的坐标为2

442uuuruuurx2x12AFFB(0).x,1x,1由可得12

44x1x222xx12因此1(1) 44x12x1(xx1) (1) 过A点的切线方程为y422x2x2(xx2) (2) 过B点的切线方程为y42uuuuruuur解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到FMgAB=0 即为定值 uuuuruuuruuuuruuurFMgAB（2）FMgAB=0可得FMAB三角形面积Sf()

2FMgAB11313()24 所以Sf()222当且仅当1时取等号

点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大 【反馈练习】

1.已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线y4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y4x的交点到原点的距离是

2221

uuuruuuury21的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1gPF20，则2.设F1，F2分别是双曲线x9uuuruuuurPF1PF2210 2x2y211上一点，F1、 F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是 3.设P是椭圆9494.已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线x长为27

3y40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴

x2y21的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程是5. 双曲线C与椭圆

492426yx

5x2y2x2y21与双曲线1在第一象限内的交点为P，则点P到椭圆右焦点的距6.已知椭圆

25997离等于__2 _

x2y27.如图，点A是椭圆C：221(ab0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线

ab交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP∥x轴，ABAP＝9,若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的方程. 8.在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线yx相切于坐标原点

x2y21与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．求圆C的方程. O．椭圆2a9解：设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

mn2即

=2

2

mn=4 ①

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m2+n2=8 ②

联立方程①和②组成方程组解得 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8

pp9.已知动圆过定点,0，且与直线x相切，其中p0,求动圆圆心C的轨迹的方程.

22解：如图，设M为动圆圆心，pp,0为记为F，过点M作直线x的垂线，垂足为N，由题

22p的距离相等 2的轨迹为抛物线，其中

意知：

MFMN即动点M到定点F与定直线x由抛物线的定义知，点MpF,0为焦点，2所以轨迹方程为

BxyNp为准线 2Ay22px(P0)；

MoxpF,02xp2第9题 2012高中数学复习讲义 第十章 算法初步与框图

【知识图解】

算法 算法的描述 自然语言 流程图 伪代码 顺 条 循 顺 条 循 序 件 环 序 件结构环 结 结 结 结 结 构 【方法点拨】 【考点导读】 【基础练习】

三角

构 构 构 构 输入出语句顺 顺 序 序 (1.学习算法要理解算法的含义.明确建立算法就是设计完成一件事的操作步骤.一般地说，这样的操作步骤应该具有通用性，能处理一类问题.

2.掌握算法的三种基本结构.顺序结构、条件结构和循环结构是算法的三种基本结构.要通.具体实例了解三种基本结构的使用范围，通过流程图认识它们的基本特征.

3.掌握流程图的画法.用流程图表示算法具有、清晰的特点，也是高考重点考查的内容，要予以重视.特别是循环结构的流程图，对判断框中的条件与前测试还是后测试之间的关系一定要弄清楚.

4.熟悉建立算法的基本操作程序.建立算法的操作程序一般为：先探寻解决问题的方法，并用通俗的语言进行表述，再将通俗的算法语言用流程图直观表示，最后根据流程图选择适当的算法语句用伪代码表示算法过程.

第1课 算法的含义

正确理解算法的含义.掌握用自然语言分步骤表达算法的方法. 高考要求对算法的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.

1．下列语句中是算法的个数为 3个 ①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎； ②统筹法中“烧水泡茶”的故事；

③测量某棵树的高度，判断其是否是大树；

④已知三角形的一部分边长和角，借助正余弦定理求得剩余的边角，再利用三角形的面积公式求出该

结 结 ) 构 构 形的面积.

2．早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5 min）、刷水壶（2 min）、烧水（8 min）、泡面（3 min）、吃饭（10 min）、

听广播（8 min）几个步骤.从下列选项中选最好的一种算法 ③ . ①S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播 ②S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播 ③S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播 ④S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶 3．写出交换两个大小相同的杯子中的液体（A水、B酒）的两个算法. 答案：解析：算法1：

S1.再找一个大小与A相同的空杯子C； S2.将A中的水倒入C中； S3.将B中的酒倒入A中；

S4.将C中的水倒入B中，结束. 算法2：

S1.再找两个空杯子C和D；

S2.将A中的水倒入C中，将B中的酒倒入D中；

S3.将C中的水倒入B中，将D中的酒倒入A中，结束.

注意：一个算法往往具有代表性，能解决一类问题，如，可以引申为：交换两个变量的值. 4．写出求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7的一个算法.

解析：本例主要是培养学生理解概念的程度，了解解决数学问题都需要算法 算法一：按照逐一相加的程序进行. 第一步 计算1＋2，得到3；

第二步 将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步 将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步 将第三步中的运算结果10与5相加，得到15； 第五步 将第四步中的运算结果15与6相加，得到21； 第六步 将第五步中的运算结果21与7相加，得到28. n（n＋1）

算法二：可以运用公式1＋2＋3＋…＋n＝ 直接计算.

2n（n＋1）

第一步 取n＝7；第二步 计算 ；第三步 输出运算结果.

2

点评：本题主要考查学生对算法的灵活准确应用和自然语言表达一个问题的算法的方法.算法不同，解决问题的繁简程度也不同，我们研究算法，就是要找出解决问题的最好的算法.

【范例解析】

例1 下列关于算法的说法，正确的有 .

（1）求解某一类问题的算法是惟一的 （2）算法必须在有限步骤操作之后停止 （3）算法的每一操作必须是明确的，不能有歧义或模糊（4）算法执行后一定产生确定的结果 解 由于算法具有可终止性，明确性和确定性，因而（2）（3）（4）正确，而解决某类问题的算法不一定是惟一的，从而（1）错.

例2.写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.

分析 本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，下面利用配方法，求根公式法写出这个问题的两个算法

算法一：

（1）移项，得x2-2x=3； ① （2）①两边同加1并配方，得(x-1)=4 ② （3）②式两边开方，得x-1=2; ③ （4）解③，得x=3或x=-1.

算法二：（1）计算方程的判别式，判断其符号：243160;

22

bb24ac,得x13,x21. （2）将a=1，b=-2,c= -3,代入求根公式，得x1,22a点评 比较两种算法，算法二更简单，步骤最少，由此可知，我们只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想，合理的算法.因此在寻求算法的过程中，首先是利用公式.下面我们设计一个求一般的一元二次方程的ax+bx+c=0根的算法如下：

2

bb24ac(1)计算b4ac（2）若0;（3）方程无实根;（4）若0;（5）方程根x1,2

2a2例3：一个人带三只狼和三只羚羊过河.只有一条船，同船可以容一个人和两只动物.没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊. （1）设计安全渡河的算法;

（2）思考每一步算法所遵循的相同原则是什么. 解析：（1）S1 人带两只狼过河.

S2 人自己返回.

S3 人带两只羚羊过河. S4 人带一只狼返回. S5 人带一只羚羊过河. S6 人自己返回. S7 人带两只狼过河.

（2）在人运送动物过河的过程中，人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊数目要大于狼的数目. 点评 这是一个实际问题，生活中解决任何问题都需要算法，我们要在处理实际问题的过程中理解算法的含义，体会算法设计的思想方法. 【反馈演练】：

1．下面对算法描述正确的一项是 C .

A．算法只能用伪代码来描述

B．算法只能用流程图来表示

D．同一问题不同的算法会得到不同的结果

C．同一问题可以有不同的算法

解析：自然语言、图形和伪代码都可以表示算法，只要是同一问题，不同的算法也应该有相同的结果. 2．计算下列各式中的S的值，能设计算法求解的是 ① ③ .

①S123100；②S123；③S123n(n2且nN) 解析：因为算法步骤具有“有限性”特点，故②不可用算法求解.

3．已知一个学生的语文成绩为，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：

第一步 取A＝，B＝96，C＝99; 第二步 ① ； 第三步 ② ； 第四步 输出D，E.

请将空格部分（两个）填上适当的内容

答案：①计算总分D＝A+B+C ②计算平均成绩E＝

D 34．写出1×2×3×4×5×6的一个算法. 答案：解析：按照逐一相乘的程序进行. 第一步 计算1×2，得到2；

第二步 将第一步中的运算结果2与3相乘，得到6； 第三步 将第二步中的运算结果6与4相乘，得到24； 第四步 将第三步中的运算结果24与5相乘，得到120； 第五步 将第四步中的运算结果120与6相乘，得到720； 第六步 输出结果.

5．已知一个三角形的三边边长分别为2、3、4，设计一个算法，求出它的面积. 答案：解析：可利用公式 S＝p(pa)(pb)(pc)求解. 第一步 取a＝2，b＝3，c＝4； 第二步 计算p＝

abc； 2第三步 计算三角形的面积S＝p(pa)(pb)(pc)；

第四步 输出S的值.

6. 求1734，816，1343的最大公约数.

分析：三个数的最大公约数分别是每个数的约数，因此也是任意两个数的最大公约数的约数，也就是说三个数的最大公约数是其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数. 解：用“辗转相除法”.

先求1734和816的最大公约数， 1734=816×2+102； 816=102×8；

所以1734与816的最大公约数为102. 再求102与1343的最大公约数， 1343=102×13+17；102=17×6.

所以1343与102的最大公约数为17，即1734，816，1343的最大公约数为17.

7. 写出用二分法求关于x的方程x2－2＝0的根（精确到0.005）的算法. 第一步 令f(x)=x2-2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2

第二步 令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若是，则m为所求，否则，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0.

第三步 若f(x1)·f(m) >0则令x1=m，否则x2=m.

第四步 判断|x1-x2|<0.005是否成立？若是则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似值；否则返回第二步.

点评 .区间二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步骤为 S1 取［a，b］的中点x0=（a+b）/2； S2 若f(x0)=0，则x0就是方程的根，否则

若f(a)f(x0)>0，则a←x0；否则b←x0；

S3 若|a－b|第2课 流程图

【考点导读】

了解常用流程图符号的意义，能用流程图表示顺序，选择，循环这三种基本结构，并能识别简单的流程图所描述的算法.高考要求对流程图有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.

【基础练习】

1.算法的三种基本结构是 顺序结构、选择结构、循环结构 . 2.流程图中表示判断框的是 菱形框 . 3．根据题意，完成流程图填空： 这是一个输入两个数，输出这两个数差的绝对值的一个算法. 请将空格部分填上适当的内容 Y 开始 输入a,b （1） a>b ；（2） b-a 【范例解析】

输出a-b 例1.已知梯形的上底、下底和高分别为5、8、9，写出求梯形的面积的算法，画出流程图. 解 算法如下

S1 a←5； S2 b←8；

结束 S3 h←9；

S4 S←（a+b）×h/2； S5 输出S. 流程图为 ：

点评 本题中用的是顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的基本结构. 例2 .设计求解不等式ax＋b＞0（a≠0）的一个算法，并用流程图表示. 解：第一步 输入a，b； 开始 第二步 x0① N 输出 ② （第3题） b a第三步 若a＞0，那么输出x>x0,否则输出x点评 解决此类不等式问题时，因涉及到对一次 项系数的讨论一般采用条件结构设计算法. 【反馈演练】

1．如图表示的算法结构是 顺序 结构． 2．下面的程序执行后的结果是 4，1 .

Y 输入a,b （第1题） a>0 N 输出xx0 a，这时a4，第四步，把a0值给b，这时b1.

3 输

开始 x1,x　入x的值，通过函数y=2x1 1x10,求出y的值， （第2题）结束 3x11 x10,出此算法流程图的一部分，请将空格部分填上适当的内容

Y 现给

① ② 1③

4 如其中

s=0,n=2,i=1 N x ≤x<10 3x－11

1111L的值的一个程序框图，24620判断框内应填入的条件是 i>20 .

s=s+1/n n=n+2 i=i+1 输出s 结束 图所示,给出的是计算

开始 输出a,b,c Y (第3题)

(第4题)

a>b 5. 给出以下一个算法的程序框图（如图所示）.该程序框图的功能是 求出a,b,c三数中的最小数 .

6.根据下面的算法画出相应的流程图.

算法：

S1 T←0； S2 I←2； S3 T←T+I； S4 I←I+2；

S5 如果I不大于200，转S3； S6 输出T .

答案：解：这是计算2+4+6+…+200的一个算法. 流程图如下：

第3课 算法语句A

【考点导读】

会用伪代码表述四种基本算法语句：输入输出语句，赋值语句，条件语句和循环语句(第6题) .会用上述基本语句描述简单问题的算法过程.高考要求对算法语句有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.

【基础练习】

1 .下列赋值语句中，正确的是 （1） .

2．条件语句表达的算法结构为 ② . ①．顺序结构 以

解析：条件语句典型的特点是先判断再执行，对应的是选择结构. 3．关于for循环说法错误的是 ④ . ①．在for循环中，循环表达式也称为循环体 ③．使用for循环时必须知道终值才可以进行

④．for循环中end控制结束一次循环，开始一次新循环 解析：for循环中end是指整个循环结束，而不是一次循环结束

②．在for循环中，步长为1，可以省略不写，若为其它值，则不可省略

②．选择结构

③．循环结构

④．以上都可

【范例解析】

x2-1(x<2)

例1．试写出解决求函数y=2的函数值这一问题的伪代码．

-x+1(x≥2)

解： Read x

If x<2 Then

y ← x2-1

Else

y ← -x2+1

End If Print y

点评 分段函数问题是考查If语句一个重要的载体，因此，我们要注意此类问题可以先根据语言叙说，让学生先列出函数关系式，再写出相应的伪代码．

例2.已知S＝5+10+15+…+1500，请用流程图描述求S的算法并用伪代码表示. 解 流程图如下图所示：

从流程图可以看出这是一个循环结构，我们可以运用循环语句来实现. S←5

For I from 10 to 1500 step 5 S←S+I

End For Print S

点评 在准确理解算法的基础上，学会循环语句的使用.循环语句包括for循环、While循环.解题时要根据需要灵活运用.

循环语句包括if…then，if…then…else，并且if…then…else可以嵌套，解题时要根据需要灵活运用. 例3. 青年歌手大奖赛有10名选手参加，并请了12名评委.为了减少极端分数的影响，通常去掉一个最高分和一个最低分后再求平均分.请用算法语句表示：输入12名评委所打的分数ai，用函数Max(a1,a2,…,a12)和Min (a1,a2,…,a12) 分别求出中ai(i=1,2,…,12)的最大值和最小值，最后输出该歌手的成绩. 解 S←0

For I from 1 to 12 Read ai S←S+ai End For

G←(S - Max(a1,a2,…,a12)- Min (a1,a2,…,a12))/10

I1 Print G

For n from 1 to 11 step 2 【反馈演练】

1.下图中程序执行后输出的结果是_____7___________. I2I+1

If I>20 Then II－20 End if End for 2.写出下面流程图所表述的算法的功能并用伪代码表示. 开始Print 输入两个不 I （第同的数2题） a,bY输出b判断a＞bN输出a结束(第2题)

答案：解：输出两个不同的数中小的一个数.用伪代码表示为 Read a，b If a>b then Print b Else Print a End if

第4课 算法语句B

【考点导读】

1.循环结构的算法用循环语句表示.

2理解“While循环”和“For循环”，前者是前测试的当当型循环，后者是在循环次数已知时使用的循环.

【基础练习】

1．下列伪代码中的循环次数为 9 ． s←0

For I from 1 to 25 step 3 s←s+I End for Print s

2.要使以下For循环执行20次，循环变量的初值应该是 14 .(For k From To -5 Step -1) 3.下面这段伪代码的功能 计算其中小于0数的个数 .

4．下面是一个是 2或6 . 解析：若【范例解析】 例1.设计算解 伪代码： s←1

For I from 2 to End for Print s

点评 本题是连乘求积的问题，自然想到用循环语句设计算法，算法的设计又带有灵活性和通用性，熟练地掌握这一类题的解法，对于解决与此相关的问题有很大帮助.

例3.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： （1）写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； （2）用伪代码写出计算10年以后该城市人口总数的算法； （3）用伪代码写出计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人. 解：（1）y=100×（1+0.012）x.

（2）10年后该城市人口总数为y=100×（1+0.012）10. 算法如下： y←100 t←1.012 For I from 1 to 10 y←y×t End for Print y End

（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100×（1+0.012）x=120. 算法如下： S←100 I←1.012 T←0 While S<120 S←S×I

n0 Read x1,x2…x10 For i from 1 to10 If xi<0 then nn+1 End if End for Print n (第3题) 100 法，求(1算法的伪代码．如果输出的Read y的值是 x 20，则输入的x的值If x≤5 Then x5，由10x20，则x2；若xx 5，由y←102.5x520，得x6. Else 1111)(1)(1End If )...(1)的值. 234Print y 100(第4题) y←2.5x+5 T←T+1 End while Print T End

【反馈演练】

1．如果执行下面的程序框图，那么输出的S

开始 开始  2550 . 开始 输入f0(x) ① n←1 3．下图是一个循环结构的算法，下列说法中：(1)①是循环变量的初始化，循环将要开始；(2)②为循i←0 环体；(3)③是判断是否继续循环的条件；(4)①可以省略不写．其中正确的的是 ① ② ③ ． a←15n 4．在如下程序框图中，输入f0(x)=cosx，则输出的是 cosx ． 5. 当 x=2 时 ，下面程序运行结果是 15 . 输出 a ②

i1 While i←i+1 fi (x)←f’i-1 (x) N i=2008 Y 输出fi(x) 结束 (第4题)

k≤50?是 否 N 输出S n←n+1 n>66 Y 结束 (第3题) i4 End while Print s ③ End (第5题)

6．依据不同条件，给出下面的流程图的运行结果： 结束 （1）当箭头a指向①时，输出S 6 ； （2）当箭头a指向②时，输出S 20 . ； 7.已知数列{an}中，a12，且annan1(n2)，求这个数列的第m项am的值(m2).现给出此算法流程图的一部分，请将空格部分（两个）填上适当的内容① 2 ② m+1

开始 开始 输入m a ① S←2，T← ① ② S←T+S T←T+1 N Y T≥ ② Y 输出m,S 输出S Y N 结束 结束 (第6题)

(第7题)

2012高中数学复习讲义 第十一章 统计与概率

【知识图解】

【方法点拨】 1、 准确理解公式和区分各种不同的概念 概率分布 统计 条件概率 总体 性 事件性 正确使用概率的加法公式与乘法公式、随机变量的数学期望与方差的计算公式.注意事件的性随机变量 必然事件数学期望抽样 分析 估计 与互斥性是两个不同的概念，古典概型与几何概型都是等可能事件，对立事件一定是互斥事件，数字特征 随机现象 方 差 概 反之却未必成立. 随机事件 率 2、 掌握抽象的方法 系简分样总样相总古典概型 相单抽象分为简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样统不可能事件 层本体本概 率 .系统抽样适用于总体较多情况，分层抽样适用于应关 用 体关随抽抽分特总体由几个差异明显的部分组成的情况. 分系特几何概型 系机样 样 布 布 征数 征数 3、 学会利用样本和样本的特征数去估计总体 抽数 概率 等可能事件数 会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自特点，特别注意样 互斥、对立事件 频率分布直方图的纵坐标为频率/组距；会计算样本数据平均数、方差（标准差），利用样本的平均数可以估计总体的平均数，利用样本的方差估计总体的稳定程度. 4、 关于线性回归方程的学习

在线性相关程度进行校验的基础上，建立线性回归分析的基本算法步骤.学会利用线性回归的方法和最小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程（不要求记忆系数公式）可用于预测和估计，为决策提供依据.

第1课 抽样方法

【考点导读】

1. 抽样方法分为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.

2 .系统抽样适用于总体个数较多情况，分层抽样适用于总体由几个差异明显的部分组成的情况. 【基础练习】

1．为了了解全校900名高一学生的身高情况，从中抽取90名学生进行测量，下列说法正确的是

④ .

①总体是900 ②个体是每个学生 ③样本是90名学生 ④样本容量是90

2．对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为 120 .

3．高三年级有12个班，每班50人按1—50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为18的同学留下进行交流，这里运用的是 系统 抽样法.

4．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生身体情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为 50

5.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为 0795 ． 【范例解析】

例1：某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

分析 简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法.

解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应的轴的直径.

解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00，01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所要抽取的样本.

点评 从以上两种方法可以看出，当总体个数较少时用两种方法都可以，当样本总数较多时，方法2优于方法1.

例2、某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.

分析 按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号.

解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，59组是编号为291～295的5名学生.采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L(L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13，……，288，293.

点评 系统抽样可按事先规定的规则抽取样本. 本题采用的规则是第一组随机抽取的学生编号为k，那么第m组抽取的学生编号为k+5(m-1).

例3：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程. 分析 采用分层抽样的方法.

解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：

（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层.

（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.

300×3/15=60（人），300×2/15=40（人），300×5/15=100（人），300×2/15=40（人），300×3/15=60（人），因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人. （3）将300人组到一起，即得到一个样本.

点评 分层抽样在日常生活中应用广泛，其抽取样本的步骤尤为重要，应牢记按照相应的比例去抽取. 【反馈演练】

1. 一个总体有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 0.1 .

2．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 2 个.

①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；

④样本容量为100；⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；⑥每个运动员被抽到的概率相等. 3．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为 ①②③④ .

①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，

不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性.

4．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 分层抽样法，简单随机抽样法 . 5.下列抽样中不是系统抽样的是 ③ .

①.从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i0，以后

i05，i010（超过15则从1再数起）号入样；

②.工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验；

③.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的人数为止； ④.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相同）座位号为14的观众留下座谈．

6．为了解初一学生的身体发育情况，打算在初一年级10个班的某两个班按男女生比例抽取样本，正确的

抽样方法是 ③ .

①随机抽样 ②分层抽样 ③先用抽签法，再用分层抽样 ④先用分层抽样，再用随机数表法 7．写出下列各题的抽样过程 (1)请从拥有500个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为30的样本.

(2)某车间有1名职工，现在要按1：21的比例选派质量检查员，采用系统抽样的方式进行.

(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下： 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2435 4567 3926 1072 打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？ 解：(1)①将总体的500个分数从001开始编号，一直到500号；

②从随机数表第1页第0行第2至第4列的758号开始使用该表；

③抄录入样号码如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402 ④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕 (2)采取系统抽样 1÷21＝9，所以将1人分成9组，每组21人，在每一组中随机抽取1人，这9人组成样本 (3)采取分层抽样 总人数为12000人，12000÷60＝200，

所以从很喜爱的人中剔除145人，再抽取11人；从喜爱的人中剔除167人，再抽取22人；从一般喜爱

的人中剔除126人，再抽取19人；从不喜爱的人中剔除72人，再抽取5人 第2课 总体分布的估计

【考点导读】

1．掌握频率分布直方图、折线图表与茎叶图的做法，体会它们各自的特点. 2．会用频率分布直方图、折线图表与茎叶图对总体分布规律进行估计. 【基础练习】

1．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为60，0.25，则n的值是

240

2．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是 ③

①总体容量越大，估计越精确 ②总体容量越小，估计越精确 ③样本容量越大，估计越精确 ④样本容量越小，估计越精确 3． 已知某工厂工人加工的零件个数的茎叶图如右图所示 （以零件个数的前两位为茎，后一位为叶），那么工人生产 零件的平均个数及生产的零件个数超过130的比例分别是 120.5与10％ . 4．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 10 11 78 12 0234 13 组号 1 2 3 4 频数 10 13 x 14 第三组的频数和频率分别是 14和0.14 . 5． 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率 分布直方图如图所示，则时速在车大约有 60 辆. 【范例解析】

0.1 例1．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）79.5~.5这一组的频数、频率分别是多少？

0

（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）. 解：（1）频率为：0.025100.25，频数：600.2515 40 50 60 70 80 时速 （2）0.015100.025100.03100.005100.75.

例2．在参加世界杯足球赛的32支球队中，随机抽取20名队员，调查其年龄为25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28.填写下面的频率分布表，据此估计全体队员在哪个年龄段的人数最多？占总数的百分之几？并画出频率分布直方图． 解： (1) (2) 分组 频数 频率 分组 频数 频率 （3）估计全体队员在

［20.5,22.5) 2 0.1 ［20.5,22.5) 24.5～26.5处人数最［22.5,24.5 ［24.5,26.5) ［26.5,28.5) ［28.5,30.5］ 合计 ［22.5,24.5) ［24.5,26.5) ［26.5,28.5) ［28.5,30.5］ 3 8 4 3 0.15 0.4 0.2 0.15 多，占总数的百分之四十.

5 15 频率 0.4 0.2

6 13 7 12 8 9 50,60的汽

①频率分布直方图与合计 20 1 ②频率分布直方图就③样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线

④如果样本容量无限增大,分组的组距无限的减小,那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线 2．在某餐厅内抽取100人,其中有30人在15岁以下,35人在16至25岁,25人在26至45岁,10人在46岁

以上,则数 0．35 是16到25岁人员占总体分布的 ②

① 概率 ②频率 ③ 累计频率 ④ 频数

【反馈演练】

1．对于样本频率直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是 ④

总体密度曲线无关 是总体密度曲线

3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15 ,17 , 14 , 10 , 15 , 17 ,17 , 16, 14 , 12． 设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则a, b, c的大小关系为 cba

4.已知样本：10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12则频率为0.3的范围是 ( 2 ) 5.已知10个数据如下：63，65，67，69，66，，66, , 65，68.根据这些数据制作频率直方图，其

中[.5, 66.5)这组所对应矩形的高为 0.2 6．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三有280人，以每人被抽取的频率为0.2，向该

中学抽取一个样本容量为n的样本，则n= 200

7. 一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下:

10,20,2; 20,30, 3 ; 30,40, 4 ;

40,50, 5 ; 50,60, 4 ; 60,70, 2 .则样本在区间 ,50上的频率为__ 0.7 ___

人数(人) 8．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000]的频率为 0.3 频率/组距 20 15 时间的数据，结果用右上面的条形图表示． 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时0 001 10 9．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用5 间为 0.9小时 10.从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：

0 0.5 1.0 1.5 2.0 时间(小时)

甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512； 0 乙：512， 520，516 ，530，510，，507，516，524，526，514. 2400 2700 5233000 ， 3300 3600 3900 ， 518体重 521，528，532(第9题) (1).画出上述数据茎叶图； (第8题)

(2).试比较分析甲、乙两台机器生产零件的情况. 8 50 7 解（1）用指标的两位数作茎，然后作茎叶图： 87632 51 024668 （2）从图中可以看出，甲机器生产零件的指标 52 013468 分布大致对称，指标平均在520左右，中位数

43 53 02

和众数均为522；乙机器生产零件的指标分布为 大致对称，指标平均在520左右，中位数和众数 分别为520和516，总的来看，甲机器生产的零 件的指标略大些..

点评 注意作茎叶图时，茎可以放两位数.

第3课 总体特征数的估计

【考点导读】

理解样本数据的方差、标准差的意义并且会计算数据的方差、标准差，使学生掌握通过合理抽样对总体稳定性作出科学的估计的思想. 【基础练习】

L，xn的平均数为x5，则数据3x17，3x27，…，3xn7的平均数为 1．已知数据x1，x2，22 .

2．若M个数的平均数是X, N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是

2

MXNYMN2

3．数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ，则数据2a1，2a2，2a3，…，2an的方差为 4σ .

4．已知同一总体的两个样本，甲的样本方差为

说法正确的是 ④ .

121，乙的样本方差为32，则下列①甲的样本容量小 ②乙的样本容量小 ③甲的波动较小 ④乙的波动较小 【范例解析】

例1.下面是一个班在一次测验时的成绩，分别计算男生和女生的成绩平均值、中位数以及众数.试分析一下该班级学习情况.

男生：55，55，61，65，68，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94；

女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97. 解：17名男生成绩的平均值是72.9分，中位数是73分，众数为55和68.

20名女生成绩的平均值是80.3分，中位数是82分，众数为73，80和82. 从上述情况来看，这个班女生成绩明显好于男生成绩.

例2.为了比较甲，乙两位射击运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了10次测验，测得他们的环数如下：

环数 10 9 甲（次） 3 2 乙（次） 2 2 试根据以上数据，判断他们谁更优秀.

228 1 2 7 2 2 6 0 2 5 2 0 解：x甲=8,x乙=8, S甲=3.4,S乙=2, 所以乙更优秀

例3．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品， 称其重量，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，103，98，99； 乙：110，115，90，85，75，115，110． （1）这种抽样方法是哪一种方法？

（2）计算甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：（1）采用的方法是：系统抽样； （2）x甲（10210199981039899）100；

171x乙（110115908575115110）100；

71S2甲（4114941）3.42857；

722∴ S甲S乙 故甲车间产品比较稳定．

点评 以样本估计总体，在生产生活经常用到，发现问题，解决问题，从而更好地指导实践. 【反馈演练】

1. 下列说法中，正确的是 ④ . ① 频率分布直方图中各小长方形的面积不等于相应各组的频率 ②一组数据的标准差是这组数据的方差的平方

③数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半

④一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大

2．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S1= 13.2，

2

S2=26．26，则 ① .

①甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐 ②乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐 ③甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐

④不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度 3 ．已知样本为101 ,98, 102, 100, 99，则样本标准差为

2

2 4 .某班45人，一次数学考试，班级均分72分.已知不及格人数为5人，他们的平均成绩是52分，则及格学生的平均分为 74 .5分 .

5．高三年级1000名学生进行数学其中测试.高三年级组随机调阅了100名学生的试卷（满分为150分），成绩记录如下： 成绩3 4 5 6 7 8 9 10 （分） 人数 6 8 10 15 15 35 8 3 求样本平均数和样本方差． 解：x638410515615735889310=6.77

1002222 15(7x)35(8x)8(9x)3(10x)]=3.1171

6．两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下： 机床甲 10 9.8 10 10.2 机床乙 10.1 10 9.9 10 如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求.

解：先考虑各自的平均数：设机床甲的平均数、方差分别为x1、s1；机床乙的平均数、方差分别为

2x2、s2.

2 x1109.81010.210.1109.91010，x210

442∴两者平均数相同，再考虑各自的方差： ∵s1s2，∴机床乙的零件质量更符合要求.

2第4课 案例分析

【考点导读】

1.会作两个有关联变量数据的散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 2.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

3.了解性检验的基本思想、方法及其初步应用，了解回归与分析的基本思想、方法及其初步应用. 【基础练习】

1．根据下表中的数据：可求出

x y -1 -1 0 0 1 1 2 1 与的线性回归方程是

的直线必经过的一个定点是

ˆ0.7x0.1 yˆbxa表示2．线性回归方程y(x,y)

3．设有一个直线回归方程为

$y21.5$x ,则变量x 增加一个单位时 ③ .

① y 平均增加 1.5 个单位 ② y 平均增加 2 个单位

③ y 平均减少 1.5 个单位 ④ y 平均减少 2 个单位 4．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是 ③ .

①都可以分析出两个变量的关系 ②都可以用一条直线近似地表示两者的关系 ③都可以作出散点图 ④都可以用确定的表达式表示两者的关系 5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是 ③ . ①|r|越大，相关程度越大

②|r|0,，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大

③|r|1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 【范例解析】

例1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．

（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系． 解：（1）2×2的列联表

性别 休闲方式 女 男 总计 （2）假设“休闲方式与性别无关” 看电视 43 21 运动 27 33 60 总计 70 54 124 124(43332721)2计算 6.201

7054602

2因为5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，

即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.

点评 对两个变量相关性的研究，可先计算的值，并根据临界表进行估计与判断.

例3. 一个车间为了为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，测得如下数据：

零件数x (个) 加工时间y(分) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 60 95 70 102 80 108 90 115 100 122 2(1) y与x是否具有线性相关关系？ (2) 如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程； (3) 据此估计加工200个零件所用时间为多少？

解：（1）r0.998.查表可得0.05和n-2相关系数临界r0.050.632， 由rr0.05知y与x具有线性相关关系. （2）回归直线方程为

$y0.668x54.96

（3）估计加工200个零件所用时间1分.

【反馈演练】

1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ④ .

①角度与它的余弦值 ②正方形的边长与面积 ③正n边形的边数和顶点角度之和 ④人的年龄与身高

2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自的做10次和15次试验，并且

利用线性回归方法，求得回归直线分布为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观察数据的平均值

恰好相等都为s，对变量y的观察数据的平均值恰好相等都为t,那么下列说法正确的是 ① . ①直线l1和l2有交点（s,t） ②直线l1和l2相交，但是交点未必是（s,t） ③ 直线l1和l2平行 ④ 直线l1和l2必定重合

3．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ④ .

①正方体的棱长和体积 ②单位圆中角的度数和所对弧长 ③单产为常数时，土地面积和总产量 ④日照时间与水稻的亩产量 4．对于回归方程y=4.75x+257,当x=28时,y的估计值为 390 .

5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

性别 专业 男 女 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据 非统计专业 13 7 统计专业 10 20 50(1320107)2表中的数据，得到4.844，因为23.841，所以判定主修统计专业与性别

232720302有关系，那么这种判断出错的可能性为 5% .

6.为了研究失重情况下男女飞行员晕飞船的情况，抽取了名被试者，他们的晕船情况汇总如下表，

根据性假设检验的方法， 不能 认为在失重情况下男性比女性更容易晕船（填能或不能）

晕机 不晕机 合计 23 32 55 男性 9 25 34 女性 32 57 合计 7.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？

患心脏病 未患心脏病 224 1355 1579 合计 254 1379 1633 30 每一晚都打鼾 24 不打鼾 54 合计 解：提出假设H0：打鼾与患心脏病无关，根据数据得

21633(30135524224)268.03. 当H0成立时，26.635的概率为1%，而这时

5415792541379268.036.635,所以我们有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.

第5课 古典概型

【考点导读】

1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别.

2.正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等. 【基础练习】

1. 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数n 击中靶心次数m 击中靶心的频率10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455 m n（1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？

分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率.

解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.，0.91.

（2）由于频率稳定在常数0.，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.. 点评 概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.

2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是 随机 事件 （必然、随机、不可能） 3．下列说法正确的是 ③ .

①任一事件的概率总在（0.1）内 ②不可能事件的概率不一定为0 ③必然事件的概率一定为1 ④以上均不对

4.一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是

3 85. 从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为

【范例解析】

2 5例1. 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件； （2）求这个试验的基本事件的总数；

（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?

解：（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），

（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；

（2）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）. 点评 一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件. 例2. 抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率；

（2）出现两个4点的概率.

解：作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集S={（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元

素一一对应.因为S中点的总数是6×6=36（个），所以基本事件总数n=36.

（1）记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=

61. 366（2）记“出现两个4点”的事件为B，则从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：（4，4）.

所以P（B）=

1. 36点评 在古典概型下求P（A），关键要找出A所包含的基本事件个数然后套用公式

P(A)事件A包含基本事件的个数m

基本事件的总数n变题 .在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： （1）他获得优秀的概率为多少；

（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；

点拨：这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.

解：设这5道题的题号分别为1,2，3，4，5，则从这5道题中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5）， （2，4，5），（3，4，5）共10个基本事件．

3． 109（2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的基本事件个数为9，故P(B)．

10（1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的基本事件个数为3，故P(A)点评：使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.

例3. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两

次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.

解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，

右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）] 事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）=【反馈演练】

1.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为 0.9 中10环的概率约为 0.2 .

分析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为

42= 639=0.9，所以中靶的概率约为0.9． 10解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．

2.一栋楼房有4个单元，甲乙两人被分配住进该楼，则他们同住一单元的概率是 0.25 . 3. 在第1,3,6,8,16路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客

等候第6

路或第16路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的

汽车的 概率等于

2 53 84.把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是

5.有5根细木棒，长度分别为1,3 ,5 ,7 ,9，从中任取三根，能搭成三角形的概率是

3 106. 从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字，

5 184（2）2个数字之和为偶数的概率为

9（1）2个数字都是奇数的概率为

7. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为

8. A、B、C、D、E排成一排，A在B的右边（A、B可以不相邻）的概率是

8 1512

9．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是

7 1010. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：

（1）3个矩形颜色都相同的概率；（2）3个矩形颜色都不同的概率.

解：所有可能的基本事件共有27个，如图所示.

（1）记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有1×3=3个，故P（A）

=

31. 279（2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6个，故P（B）

=

62. 27911. 甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时 掷一次.

（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?

（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故

61. 366（2）两个玩具的数字之和共有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11种不同结果.从中可以共有6×1=6种不同的结果，即概率为看出，出现12的只有一种情况，概率为

1.出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），36（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为

5. 3612.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．

解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z）记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结

果有

10×10×10=10种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=8种，

3

3

83因此，P(A)= 3=0.512．

10（2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)=

3367． 72015第6课几何概型

【考点导读】

1．了解几何概型的基本特点. 2．会进行简单的几何概率的计算. 【基础练习】

1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是

0.004

2. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是 1 33. 在1万 km的海域中有40 km的架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面

的概率 1是 2504. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投

4点，则所投的点落入小正方形内的概率是 .

92

2

2cm3cm 5. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT(第4题)

1内的概率是 .

6【范例解析】

(第5题)

例1. 在等腰Rt△ABC中， (1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.

（2）过直角顶点C在ACB内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM解：(1)在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜AC）=ACACABABC22.

C B AMC'B

'A

M

(2)

180045067.503067.5 于是P（AM＜AC） (2) 在AB上截取AC′=AC,ACC02904点评 （1）对于几何概型中的背景相同的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的（2）

在利用几何概率公式计算概率时，必须注意d与D的测度单位的统一.

例2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A

的概率就是P

(1)

(r,a]的长度（A）=

[0,a]的长度ar=

a2a r M

例3.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概解：设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长

段的长度为lxy.

o 率.

度，则第3

则实验的全部结果可构成集合(x,y)0xl,0yl,0xyl，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第三段，故所求结果构成的集合

1llAx,yxy,y,x

222l 1lSA2122 所求的概率为P(A)lS4220 l 点评 用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域；

（3）把事件A转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算.

【反馈演练】

1. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是 2．若x可以在

1 3x13的条件下任意取值，则x是负数的概率是 2/3 .

3.在区间1,1上任取两实数a,b，则二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率1/2 . 4. 如下图，在一个边长为a,b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与

1a3131a，2b1a2高为b，向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为

512a

8．一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?

(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯

解：总的时间长度为3054075秒，设红灯为事件A，黄灯为事件B， （1）出现红灯的概率P(A)构成事件A的时间长度302

总的时间长度755构成事件B的时间长度51

总的时间长度7515（2）出现黄灯的概率P(B)（3）不是红灯的概率P(A)1P(A)123 559. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.

解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600（m2），阴影A的面积为30×20－26×16=184（m2） .∴P（A）=

18423. 60075第7课 互斥事件及其概率

【考点导读】

1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立. 2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率计算. 【基础练习】

1.两个事件互斥是这两个事件对立的 必要不充分 条件（充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充

分

也不必要）

2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ③ . ①至少有1个白球，都是红球

②至少有1个白球，至多有1个红球

③恰有1个白球，恰有2个白球

④至多有1个白球，都是红球

3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是 ④ . ①3个都是正品 ②至少有1个是次品 ③ 3个都是次品 ④至少有1个是正品 4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率是 0.38 .

5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 50% . 【范例解析】

例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件. （1）恰好有1件次品恰好有2件次品； （2）至少有1件次品和全是次品； （3）至少有1件正品和至少有1件次品； （4）至少有1件次品和全是正品.

解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件 点评 解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.

例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）少于7环的概率.

解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.

（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为

0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.

例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：

（1） 取出1球是红球或黑球的概率； （2） 取出1球是红球或黑球或白球的概率.

解：记事件A1={任取一球为红球}，A2={任取一球为黑球}，A3={任取一球为白球}， A4={任取一球为绿

5421,P(A2),P(A3),P(A4) 12121212543 （1）PA1A2P(A1)P(A2)1212411（2）PA1A2A3P(A1)P(A2)P(A3)

12111） （或PA1A2A31P(A4)11212球}，则P(A1)点评 （1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式

（2）要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用. 【反馈演练】

1. 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?

事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.

分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生. 解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生） 2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是

1 23．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 0.96 .

4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是

151，乙获胜的概率是，则是 ② .

362 ①乙获胜的概率 ②乙不输的概率 ③甲胜的概率 ④甲不输的概率

5．如果事件A，B互斥，那么 ② . ①AB是必然事件 ②AB是必然事件 ③ A与B互斥 ④A与B

6. 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是

2 37.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次实验，实验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是

7 88．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是

1， 7从中取出2粒都是白子的概率是

1217，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 35359.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张贺年卡.则至少一人拿到自己所写

贺年卡 的概率为

5 810.有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间，求： （1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）至少两个人分配到同一个房间的概率. 答案 （1）

51； （2）.

8161，311. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为得到黑

球或黄球的概率是

55，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概1212率各是

多少？

分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解． 解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、

155；P(C+D)=P(C)+P(D)=； 又P(A)=, P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1

31212111解得P(B)=,P(C)=,P(D)=

4111答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、.

4D，则有P(B+C)=P(B)+P(C)=

2012高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用

【知识图解】

基本初等函数导数公平均速度 瞬时速度 式、导数运算法则 平均变化率 瞬时变化率 导 数 微积分基本定理 定积分（理科） 割线斜率 切线斜率 导数和函数单调性的关系导数与极（最）值的关系

【方法点拨】

导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。

1．重视导数的实际背景。导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。

2．深刻理解导数概念。概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定决。在理解定义时，要注意“函数

f(x)在点x0处的导数f(x0)”与“函数f(x)在开区间(a,b)内的导数

f(x)”之间的区别与联系。

3．强化导数在函数问题中的应用意识。导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。

4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。

5．加强“导数”的实践应用。导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。

6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。

第1课 导数的概念及运算

【考点导读】

1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念; 3.熟记基本导数公式；

4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;

5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】

1．设函数f（x）在x=x0处可导,则lim无关 。

h0f(x0h)f(x0)与x0,h的关系是 仅与x0有关而与hh2．已知f(x)xxf(1), 则f(2) 0 。

32''3．已知

ysinx2。 ,x(,),则当y'2时,x31cosxxa'4．已知f(x)ax,则f(1)alnaa。

5．已知两曲线yxax和yxbxc都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。

解：因为点P（1,2）在曲线yxax上，a3233221

2函数yxax和yxbxc的导数分别为y3xa和y2xb，且在点P处有公切数

312a21b，得b=2

又由2121c，得c1 【范例导析】

例1．下列函数的导数：

3x①y(x1)(2x23x1) ②y2x3xx1 ③f(x)e(cosxsinx)

xx分析：利用导数的四则运算求导数。

2解：①法一：y2x33x2x2x23x12x35x22x1 ∴ y6x10x2

法二：y(x1)(2x3x1)(x1)(2x3x1)=2x3x1+(x1)② y2x3x1232122222(4x3)

xx3132

5332∴ y3xx2xx2

22③f(x)e（cosx+sinx）+e（－sinx+cosx）2ecosx,

－x－x－x点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。

例2． 如果曲线yx3x10的某一切线与直线y4x3平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线yf(x)在给定点P(x0,f(x0))处的切线的斜率

kf(x0)，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。

解：切线与直线y4x3平行， 斜率为4

yxx0(x3x10)2∵ 3x014 ∴x01

又切线在点x0的斜率为∴xx023x01

x01x1 或0

y08y012∴切点为（1，-8）或（-1，-12）

切线方程为y84(x1)或y124(x1)即y4x12或y4x8

点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。 变题：求曲线y2xx的过点A(1,1)的切线方程。 答案：xy20,5x4y10

点评：本题中“过点A(1,1)的切线”与“在点A(1,1)的切线”的含义是不同的，后者是以只有一条切线，而前者不一定以坐标，再解决问题。

3A为切点，

A为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点

【反馈演练】

1．一物体做直线运动的方程为s1tt，s的单位是m,t的单位是s，该物体在3秒末的瞬时

速度是5m/s。

2x22．设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)8，则生产8个单位产品时，边际成本是

82 。

3．已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 （1） 。

2

（1）f（x）=（x－1）+3（x－1） （2）f（x）=2（x－1）

2

（3）f（x）=2（x－1） （4）f（x）=x－1 4．若曲线yx的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy30。

5．在函数yx8x的图象上，其切线的倾斜角小于3 。

6．过点（0，－4）与曲线y＝x＋x－2相切的直线方程是 y＝4x－4 ． 7． 求下列函数的导数：

2

(1)y=(2x-1)(3x+1) (2)yxsinx (3)y3

43的点中，坐标为整数的点的个数是 42ln(x1x2)

ex1xcosxcos2x (4)yx (5)y (6)y

e1xsinxsinxcosx22解：（１）y18x4x3, (2)y2xsinxxcosx;

2ex(3)y, (4)yx; 22(e1)1x1(5)yxcosxxsinxsinxcosx1, (6)ysinxcosx. 2(xsinx)28 已知直线l1为曲线yxx2在点(0,2)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2 （Ⅰ）求直线l2的方程；

（Ⅱ）求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积 解： 设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，

y'2x1，由题意得k1y'|x01,得直线l1的方程为yx2

令2x11,得x1,将x1代入yx2x2,得y2

l2与该曲线的切点坐标为A(1,2),由直线方程的点斜式得直线l2的方程为：yx3 （Ⅱ）由直线l1的方程为yx2,令y0得:x=2 由直线l2的方程为yx3，令y0得:x=3

由yx25得：y

2yx31525[2(3)] 224设由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积为S，则：s第2课 导数的应用A

【考点导读】

1． 通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；

会求某些简单函数的单调区间。

2． 结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的

极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。 【基础练习】

1．若函数f(x)mxn是R上的单调函数，则m,n应满足的条件是 m0,nR 。

2．函数y2x3x12x5在[0，3]上的最大值、最小值分别是 5，－15 。 3．用导数确定函数f(x)sinx(x[0,2])的单调减区间是[32322,]。

4．函数

1f(x)sinxx,(x[0,2])的最大值是，最小值是0。

22x5．函数f(x)xe的单调递增区间是 (-∞,-2)与(0,+ ∞) 。 【范例导析】

例1．f(x)x3x2在区间

321,1上的最大值是 2 。

解：当－1x0时，f(x)0，当0x1时，f(x)0， 所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。

点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数f(x)x。 例2． 求下列函数单调区间：

3x2112（1）yf(x)xx2x5 （2）y

x23k2x (k0) （4）y2x2lnx （3）yx解：（1）∵y3xx2 (3x2)(x1) ∴x(,2)(1,)时y0 3222x(,1) y0 ∴ (,)，(1,) (,1)

3332x21（2）y ∴ (,0)，(0,)

x2k2（3）y12 ∴ x(,k)(k,) y0， x(k,0)(0,k) y0

x∴ (,k)，(k,) (k,0)，(0,k)

14x2111（4）y4x定义域为(0,)x(0,) y0  x(,) y0

xx22

点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。

例3．设函数f(x)= 2x3(a1)x1,其中a1.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

32解：由已知得

f'(x)6xx(a1)，令f'(x)0，解得 x10,x2a1。

'2（Ⅰ）当a1时，f(x)6x，f(x)在(,)上单调递增；

' 当a1时，f(x)6xxa1，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：

' + 0 0 极大值 0 极小值 从上表可知，函数f(x)在(,0)上单调递增；在(0,a1)上单调递减；在(a1,)上单调递增。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a1时，函数f(x)没有极值；

当a1时，函数f(x)在x0处取得极大值，在xa1处取得极小值1(a1)。

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。 【反馈演练】

1．关于函数f(x)2x6x7，下列说法不正确的是 （4） 。 （1）在区间（，0）内，f(x)为增函数 （2）在区间（0，2）内，f(x)为减函数

（3）在区间（2，）内，f(x)为增函数 （4）在区间（，0）(2,)内，f(x)为增函数

2．对任意x，有f'(x)4x，f(1)1，则此函数为 f(x)x2 。 3．函数y=2x-3x-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。 4．下列函数中，x0是极值点的函数是 （2） 。

（1）yx （2）ycosx （3）ytanxx （4）y5．下列说法正确的是 （4） 。

（1）函数的极大值就是函数的最大值 （3）函数的最值一定是极值

32323

2

33234

1

x

（2）函数的极小值就是函数的最小值 （4）在闭区间上的连续函数一定存在最值

6．函数f(x)x3x5的单调减区间是 [0，2] 。

7．求满足条件的a的范围： （1）使ysinxax为R上增函数；

（2）使yxaxa为R上的增函数； （3）使f(x)axxx5为R上的增函数。 解：（1）∵ycosxa 由题意可知：y0对xR都成立 ∴ a1 又当a1时 ysinxx也符合条件 ∴ a[1,)

332（2）同上 a[0,) （3）同上 a[441,) 38．已知函数f(x)axlnxbxc(x>0)在x = 1处取得极值3c，其中a,b,c为常数。 （1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间。

解：（I）由题意知f(1)3c，因此bc3c，从而b3． 又对f(x)求导得

f'x4ax3lnxax414bx3x3(4alnxa4b)． x由题意f(1)0，因此a4b0，解得a12．

（II）由（I）知f(x)48xlnx（x0），令f(x)0，解得x1．

当0x1时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x1时，f(x)0，此时f(x)为增函数． 因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，而f(x)的单调递增区间为(1，∞)．

3第3课 导数的应用B

【考点导读】

1． 深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。

2． 利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索

问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。 【基础练习】

1．若f(x)是在l,l内的可导的偶函数，且f(x)不恒为零，则关于f(x)下列说法正确的是（4） 。

（1）必定是l,l内的偶函数 （2）必定是l,l内的奇函数 （3）必定是l,l内的非奇非偶函数 （4）可能是奇函数，也可能是偶函数 2．f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是（4） 。 （1） （2） （3） （4）

3．若tR，曲线yx与直线y3xt在x[0,1]上的不同交点的个数有 至多1个 。 4．把长为60cm的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为 15cm ，宽为 15cm。 【范例导析】

3例1．函数f(x)x3ax2bxc，过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y3x1 （1）若yf(x)在x2时有极值，求f (x)的表达式； （2）在（1）的条件下，求yf(x)在[3,1]上最大值； （3）若函数yf(x)在区间[2,1]上单调递增，求b的取值范围 解：（1）

22（2）f(x)3x2axb3x4x4(3x2)(x2)

x

+ －2 0 极大 － 0 极小 +

f(1)13214154 f(x)在[3,1]上最大值为13 （3）yf(x)在区间[2,1]上单调递增

22 又f(x)3x2axb,由(1)知2ab0 f(x)3xbxb

2依题意f(x)在[2,1]上恒有f(x)0,即3xbxb0在[2,1]上恒成立.

b1时,f(x)小f(1)3bb0b6 6b②在x2时,f(x)小f(2)122bb0 b

6b12bb20则0b6. ③在21时,f(x)小612①在x 综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。

点评：本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。

例2．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设OO1的长度会比较简便。

解：设OO1x(m),则由题设可得正六棱锥底面边长为

32(x1)282xx2（单位：m）。

于是底面正六边形的面积为（单位：m）：

2

32(x1)26g333g(82xx2)2(82xx2)。 423

帐篷的体积为（单位：m）： 求导数，得V(x)3(123x2)； 2令V(x)0解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。

当1答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。 【反馈演练】

1．设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 图4 。

y 2y y y 2．已知二次函数f(x)axbxc的导数为f'(x)，f'(0)0，对于任意实数x都有f(x)0，则3．若0f(1)3的最小值为 。 O f'(0)x 2O x O x O 图4

(4)sinxx π图2 （3） . 图3 x图1 ，则下列命题正确的是2223（1）sinxx （2）sinxx （3）sinxx

πππ4．函数f(x)xlnx(x0)的单调递增区间是,．

3x π1e5．已知函数f(x)xbxcxd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6xy70．

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．

解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2， 所以f(x)x3bx2cx2, f(x)3x22bxc.

由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6xy70， 知6f(1)70,即f(1)1,f(1)6. 故所求的解析式是 f(x)x33x23x2. （Ⅱ）f(x)3x26x3.令3x26x30,

32即x22x10. 解得 x112,x212.

当x12,或x12时,f(x)0; 当12x12时,f(x)0.

故f(x)在(,12)内是增函数，在(12,12)内是减函数，在(12,)内是增函数．

点评：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 6．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD2x，梯形面积为S．

（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积S的最大值．

解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy（如图），

x2y21(y≥0)， 则点C的横坐标为x．点C的纵坐标y满足方程22r4r解得

y2r2x2(0xr)

所以S

1(2x2r)g2r2x2 22(xr)gr2x2，其定义域为x0xr．

22220xr， 则f(x)8(xr)(r2x)． （II）记f(x)4(xr)(rx)，1rrr．因为当0x时，f(x)0；当xr时，f(x)0， 222rr所以f(x)在(0,)上是单调递增函数，在(,r)上是单调递减函数，

22令f(x)0，得x所以f1r是f(x)的最大值． 2因此，当x1r时，S也取得最大值，最大值为2332r． 221332frr．

22即梯形面积S的最大值为

27．设函数f(x)tx2txt1(xR，t0)． （Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；

（Ⅱ）若h(t)2tm对t(0，2)恒成立，求实数m的取值范围． 解：（Ⅰ）Qf(x)t(xt)tt1(xR，t0)，

23当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1．

（Ⅱ）令g(t)h(t)(2tm)t3t1m， 由g(t)3t30得t231，t1（不合题意，舍去）．

当t变化时g(t)，g(t)的变化情况如下表：

递增 极大值 递减 1m g(t)在(0，2)内有最大值g(1)1m．

h(t)2tm在(0，2)内恒成立等价于g(t)0在(0，2)内恒成立，

即等价于1m0，所以m的取值范围为m1．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．

8．设函数f(x)ln(xa)x,若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性. 解：

2f(x)132x，依题意有f(1)0，故a．

2xa2x23x1(2x1)(x1)3∞， 从而f(x)．f(x)的定义域为，332xx22当311x1时，f(x)0；当1x时，f(x)0；当x时，f(x)0．

22232121单调减少． 2，1，∞单调增加，在区间1从而，f(x)分别在区间，，