四川省成都石室中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分）

1.复数

1i（i为虚数单位）的虚部是（ ） 1iA．1 B．-1 C．i D．i 2.在极坐标系中，过点(2,2)且与极轴平行的直线方程是（ ）

A．2 B．2 C．sin2

2D．cos2

3.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程axbxc0(a0)有有理根，那么a，b，

c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）

A．假设a，b，c不都是偶数 B．假设a，b，c至多有两个是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c都不是偶数 4.已知点P为抛物线y4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线

2xy40的距离为d2，则d1d2的最小值是（ ）

A.

525 B． C.2 D．2

225.一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为（ ）

A．

(92)3(82)3(6)3 B． C.

666(8)3 6D．

6.若直线l的参数方程为x13t（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为（ ）

y24tA.3434 B． C. D． 5555，为两个不同的平面，7.已知m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的有（ ）

（1）m，n，m//，n//// （2）n//m，nm （3）//，m，nm//n （4）m，mnn// A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8.定积分A．210(1(x1)2x)dx（ ）

2 B．111 C. D． 24222exexsinx9.已知f(x)，其导函数记为f'(x)，则f(2017511)f'(2017511)

exexf(2017511)f'(2017511)（ ）

A．0 B．1 C. 2 D．2017511

x2y210.在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a，b，则方程221表示焦点在x轴上

ab且离心率小于3的椭圆的概率为（ ） 21151731 B． C. D． 23232322x11.一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y2(x0)的图象上，如图，则此矩

x1形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）

A．

 B． C. D． 2341lnx212.已知函数f(x)，若关于x的不等式f(x)af(x)0恰有两个整数解，则实

xA．

数a的取值范围是（ ）

1ln21ln31ln31ln2,] B．[,) 23321ln31ln21ln3 C.(] ,) D．(1,323A．(二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为s，内切圆半径为r，则

r2s.类比这个结论可知：四面体ABCD的四个面分别为s1、s2、s3、s4，内

abc切球半径为R，四面体ABCD的体积为V，则R ． 14.函数f(x)x1在区间[1,)上单调递减，则实数a的取值范围为 ． xax2y215设F1、F2分别为椭圆C1:221(a1b10)与双曲线

a1b1x2y2F1MF290，它们在第一象限内交于点M，C2:221(a2b20)的公共焦点，

a2b2若椭圆的离心率e1[,322]，则双曲线C2的离心率e2的取值范围为 ．

4316.如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：

①P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；

②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；

④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线. 其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）

三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）

17. 某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出

样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示

[2000,2500).

（1）求毕业大学生月收入在[4000,4500)的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

（3）为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[3500,4000)的这段应抽取多少人？

18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x4cos（为参数），以坐标原

y3sin点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为

6sin8cos0(0).

（1）化曲线C1的参数方程为普通方程，化曲线C2的极坐标方程为直角坐标方程；

x2t（2）直线l:（t为参数）过曲线C1与y轴负半轴的交点，求与直线l平行且与3yt2曲线C2相切的直线方程.

19.如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是3，D是AC的中点.

（1）求证：B1C平面A1BD； （2）求二面角A1BDA的大小；

（3）求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值. 20. 设函数f(x)1a2xaxlnx(aR). 2（1）当a1时，讨论函数f(x)的单调性；

(a21)mln2|f(x1)f(x2)|成（2）若对任意a(3,4)及任意x1，x2[1,2]，恒有

2立，求实数m的取值范围.

2x2y221. 已知椭圆E:221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e，点2abD(0,1)在椭圆E上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G(t,0)，求点G的横坐标的取值范围； （3）在第（2）问的条件下，求GAB面积的最大值.

x1212exmx,x(,0]f(x)22.已知函数，g(x)axbx(a0)（e为自然对22lnx,x(0,)数的底数）.

（1）若函数f(x)的图象在x1处的切线方程为y1xn，求m，n的值； e（2）若a2时，函数h(x)f(x)g(x)在(0,)内是增函数，求b的取值范围； （3）当x0时，设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

高2018届2016-2017学年下期半期（理科）

一、选择题

1-5:ACDBD 6-10:ABCCB 11、12：DA

二、填空题

13.

2143V,2) 16.① 14.(1,1) 15.[7S1S2S3S4③④

三、解答题（共6小题，17题10分，18题至22题均为12分，共70分）

17.解：（1）月收入在[4000,4500)的频率为：

1(0.00050.00040.00020.0001)(45004000)0.4；

（2）频率分布直方图知，中位数在[3000,3500)，设中位数为m，

则0.00025000.00045000.0005(x3000)0.5，解得x3400，

根据频率分布直方图估计样本数据的中位数为3400；

（3）居民月收入在[3500,4000)的频率为0.0005(40003500)0.25， 所以10000人中月收入在[3500,4000)的人数为0.25100002500（人）， 再从10000人用分层抽样方法抽出100人， 则月收入在[3500,4000)的这段应抽取100250025人.

1000018.解：（1）由曲线C1的参数方程为x4cos（为参数），

y3sinx2y21； 消去参数化为普通方程

169由曲线C2的极坐标方程为6sin8cos0(0)得

26sin8cos0，

化为直角坐标方程xy6y8x0可化为(x4)(y3)25.

2222x2y21， （2）由曲线C1的方程

169令x0得y3，曲线C1与y轴负半轴的交点为(0,3)；

x2t02tt2直线l:（为参数）过点，，解得(0,3)t433，

yt3t224直线l的方程为3x4y120.

设与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x4ym0， 则圆心C2(4,3)到直线l的距离dr，即化为|m24|25，解得m1或49，

|344(3)m|34225，

与直线l平行且与曲线C2相切的直线方程为3x4y10或3x4y490.

19.解：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，

D为AC中点，PD//B1C.

又

PD平面A1BD，B1C平面A1BD

B1C//平面A1BD.

（2）又

正三棱柱ABCA1B1C1，AA1底面ABC.

BDAC，A1DBD，

A1DA就是二面角A1BDA的平面角.

AA1AC1，tanA1DA13. 2ADA1DA，即二面角A1BDA的大小是.

33AA1=3，AD（3）由（2）作AMA1D，M为垂足.

BDAC，平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，

BD平面A1ACC1，

AM平面A1ACC1，BDAM.

A1DBDD，连接MP，则APM就是直线A1B与平面A1BDAM平面A1DB，

所成的角.

AA13，AD1，在RtAA1D中，A1DAAM1sin6037，APAB1. 223，

321AMsinAPM2.

7AP72直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为21. 7

（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）

(1a)(x20.解：（1）f'(x)1)(x1)a1， x(x1)210，f(x)在(0,)上是减函数； 当1，即a2时，f'(x)xa111或x1；令f'(x)0，得1，即a2时，令f'(x)0，得0xa1a11x1； a111当；令f'(x)0，得1，即1a2时，令f'(x)0，得0x1或xa1a11； 1xa1当

综上，当a2时，f(x)在定义域上是减函数；

11)，(1,)上单调递减，在(,1)上单调递增； a1a111当1a2时，f(x)在(0,1)和(,)上单调递减，在(1,)上单调递增.

a1a1当a2时，f(x)在(0,（2）由（2）知，当a(3,4)时，f(x)在[1,2]上单调递减，

当x1时，f(x)有最大值，当x2时，f(x)有最小值，

|f(x1)f(x2)|f(1)f(2)a3ln2 22(a21)a3a3mln2ln2，m2对任意a(3,4)，恒有. 222a1(a3)28a3构造函数g(a)2，则g'(a)，

(a21)2a1(a3)280. a(3,4)，g'(a)22(a1)a3在(3,4)上单调增. a2111g(a)(0,)，m.

1515函数g(a)21. 解：（1）

点D(0,1)在且椭圆E上，b1，

221c2a2b2a2a22()e2a2a2， ，22a22aa2x2a2，a2，椭圆E的方程为y21.

22（2）设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，

x2y21，整理得(12k2)x24k2x2k220. 代入2直线AB过椭圆的右焦点F2，方程有两个不等实根. 记A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中点N(x0,y0)，

4k212k2kx(xx)则x1x1，，， yk(x1)012002k2122k212k211AB垂直平分线NG的方程为yy0(xx0).

k2k2k211令y0，得tx0ky0. 2222k12k124k2k0，0t（3）SGAB11.t的取值范围为(0,). 221|F2G||y1y2|， 2228(m21)而|y1y2|(y1y)4y1y2，

m22由t112，可得. m22m2t18(1)t8t(1t). 所以|y1y2|1t2又|F2G|1t，所以SMPQ32t(1t)3. 12所以MPQ的面积为2t(1t)(0t). 设f(t)t(1t)，则f'(t)(1t)(14t).

3211421127所以，当t时，f(t)有最大值f().

44所以，当t可知f(t)在区间(0,)单调递增，在区间(,)单调递减.

14361时，GAB的面积有最大值.

1x22.解：（1）当x0时，f(x)e12xmx，导数f'(x)exxm， 2f'(1)e11m，

即函数f(x)的图象在x1处的切线斜率为e1m，切点为(1,e函数f(x)的图象在x1处的切线方程为y111m)， 21xn， e111e11m，ne1m，

ee221m1，n；

e2（2）a2时，函数h(x)f(x)g(x)在(0,)的解析式是h(x)lnxxbx， 导数h'(x)212xb， x函数h(x)在(0,)内是增函数，

11h'(x)0即2xb0在(0,)内恒成立，b(2x)min，

xx11x0时，2x22x22. xxb22，故b的取值范围是(,22]；

（3）假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，

设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，0x1x2，

则由题意得点M、N的横坐标与中点R的横坐标相等，且为x0x1x2， 21，g'(x)axb， xa(x1x2)C1在点M处的切线斜率为k2ax0bb，

2x0时，f'(x)由于两切线平行，则k1k2， 即

a(x1x2)2b，则两边同乘以(x2x1)，得，

x1x222(x2x1)a2(x2x12)b(x2x1)，

x2x12xa2a(x2bx2)(x12bx1)y2y1lnx2lnx1，ln2x122x22(t1)，则lnt，t1①， x1t12(x21)x1，

x21x1设t14(t1)22(t1)令r(t)lnt，t1，则r'(t)， 22t(t1)t(t1)t1t1，r'(t)0，r(t)在(1,)上单调递增，

r(t)r(1)0，lnt2(t1)，这与①矛盾，假设不成立， t1故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.