四川省成都石室中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学(理)试题含答案

数学试题（理科） 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1.下列各图形，一定为平面图形的是（）

A.两两相交的三条直线 B.两两平行的三条直线 C.梯形 D.空间四边形

2.若m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（） A.若 ∥，m⊥，则m⊥ B.若 m∥n，m⊥，则n⊥ C.若 m∥， m⊥，则⊥

D.若∩=m，且n与、所成的角相等，则m⊥n 3.某几何的三视图如图所示，则它的体积是（）

2 B. 8 332C. 82 D.

3A.84.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（）

5.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点， O是EF的中点，现在沿DE、DF及EF把这个正方形折成 一个四面体，使A、B、C三点重合，重合后的点记为G， 则四面体D-EFG中必有（）

A.DG⊥△EFG所在平面 B.DO⊥△EFG所在平面 C.DF⊥△DEF所在平面 D.GO⊥△DEF所在平面 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点， 则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）

A.①④ B. ②③ C. ②④ D. ①②

7.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（） A.60 B.90

00

C.105 D.75

8.A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，在下列 条件中，使点M与点A、B、C不共面的是（）

0

0

111OMOAOBOC A.

236B. MA2MBMCC. OMD. OM0

OAAB2AC OAOBOC0

9.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（） A.8 B.62 C.10 D. 82

10.阅读如图所示的程序框图（见第3页），运行相应的程序，输出的i与s的和为（） A.142 B.147 C.38 D.34

0

11.已知平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，AB=4，AD=3，AA’=5，∠BAD=90，∠BAA’=∠DAA’=600，则AC’等于（）

A.85 B. 85 C. 52 D.50

12.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD体积的最大值为（）

A.

234383 B. C. 23 D. 333第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（共4小题，每题4分，共16分）

13.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体的体积是____。

x2,x014.已知函数y2，如图，表示的是给定的x的值，求其对应函数值y的3xx,x02程序框图，则（1）处应填______。

15.一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_____。 16.如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出下列四个命题：

①点P在直线上BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；

②点P在直线上BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③点P在直线上BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；

④点M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是过 点D1的直线。

其中真命题的编号是____。（写出所有真命题的编号） 三、解答题（共6小题，共74分） 17.（本题满分12分）

已知函数f(x)sin(34x)2sin2(2x12)1

（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间

（2）△ABC中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8，求f(x)的值。

18. （本题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点。 （1）求证：MN⊥平面A1BC；

（2）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小。

19. （本题满分12分） 已知，某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形。

（1）证明：BN⊥平面C1NB1；（2）求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值。

20. （本题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-A’B’C’中,∠BAC=90,AB=AC=2，AA’=1，点M、N分别为A’B和B’C’

0

的中点。

(1)证明：MN∥平面A’ACC’； （2）求三棱锥A’-MNC的体积。

21. （本题满分12分）

如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，AB=2，它沿对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置。 （1）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；

（2）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A-BD-C的大 小。

22. （本题满分14分）

设数列an的前n项和Sn满足Sn1a2Sna1，其中a2≠0. （1）求a1；

（2）求an的通项公式（用a2表示）； （3）若a2＞-1，求证：Sn

n(a1an)，并给出等号成立的条件。 22014级期中考试数学理科答案

1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.A 7.B 8.D 9.C 10.B 11.B 12.B 13. 6 14.x＞0 15.3 16.①③④ 17.解：（1）f(x)sin(4x)cos(4x)2sin(4x) ……4分

363711k,kkZ ……8分

242242T2，单调减区间为：（2）由sinA:sinB:sinC=5:7:8得a:b:c=5:7:8 ∴cosB1,B ……10分 23 ∴f(B)3 ……12分 18.解：

解法一：（1）证明：由已知BC⊥AC，BC⊥CC1， 所以BC⊥平面ACC1A1。

连接AC1，则BC⊥AC1. ……2分 由已知，侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1

又BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC。 ……6分

因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1， 则点M是AB1的中点，

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线 所以MN∥AC1

故MN⊥平面A1BC ……7分

（2）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D， 连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角 ……9分 设AC=BC=CC1=a，则C1D2a,BC12a 2C1D1， BC12在Rt△BDC1中，sin∠C1BD=

0

所以∠C1BD=30 ……11分

0

故直线BC1和平面A1BC所成的角为30 ……12分 解法二：（1）证明：据题意，CA、CB、CC1两两垂直。以 C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，如图。……2分

B（0，a，0），B1（0，a，a），A（a，0，0），C（0，0，0）， C1（0，0，a），A1（a，0，a），M（

aaaa，，），N（0，，a）。 ……4分 2222aa所以BA1(a,a,a),CA1(a,0,a),MN(,0,) ……5分

22于是MNBA10,MNCA10

即MN⊥BA1，MN⊥CA1 ……6分 又BA1∩CA1=A1，故MN⊥平面A1BC ……7分 （2）因为MN⊥平面A1BC，则MN为平面A1BC的法向量， 又BC1(0,a,a) ……9分

则

cosBC1,MNBC1MNBC1MN0

a2222aa212

所以BC1,MN60. ……11分

故直线BC1和平面A1BC所成的角为30 ……12分 19.解：（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直。

以BA，BB1，BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图。 ……2分 则B(0,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4). ∴BNNB1(4,4,0)(4,4,0)16160, BNB1C1(4,4,0)(0,0,4)0 ……4分 ∴NB⊥NB1，BN⊥B1C1. 又NB1与B1C1相交于，

∴BN⊥平面C1NB1. ……6分 （2）∵BN⊥平面C1NB1，

∴BN是平面C1NB1的的一个法向量n(4,4,0)，……8分 设n2(x,y,z)为平面NCB1的一个法向量

0

(x,y,z)(4,4,4)0xyz0n2CN0则

(x,y,z)(4,4,0)0xy0n2NB10所以可取n2(1,1,2) ……10分

则cosn1,n2n1n2n1n2441616114133 3∴所求二面角C-NB1-C1的余弦值为20.（1）解法1，连接AB,AC

''3 ……12分 3

'''''在三角形ABC中，MN//AC，AC平面ACCA，MN平面ACCA

'''MN//平面A'C'CA ……4分

解法2：

P为A’B’的中点，连接PN和PM，由中位线定理知PN∥A’C’，PM∥B’B∥AA’，

即PN∥平面ACCA，PM∥平面ACCA，PN∩PM=P 平面PNM∥平面ACCA NM平面PNM NM∥平面ACCA ……4分 （2）法一：∵CN⊥AN，CN⊥MN

'''''''''CN⊥平面A'MN ……8分

VA'MNCVCA'MN法二：连接BN，

1121SA'MNCN2 ……12分 3346∵M为AB的中点，AN⊥平面BNC ……6分 ∴VA'MNCVCA'MN21.解：

（1）证明：因为AD=BC0=BD=1,AB=C0D=2，

所以∠DBC0=90，∠ADB=90。

0

因为折叠过程中，∠DBC=∠DBC0=90，

所以DB⊥BC，又DB⊥BC0，故DB⊥平面CBC0 ……2分

0

0

''11111VNA'BCVA'BNCSBNCAN 22236又DB平面ABC0D，所以平面ABC0D⊥平面CBC0 ……4分 （2）解法一：

如图，延长C0B到E，使BE=C0B，连接AE，CE

0

因为AD=BE，BE=1，DB=1，∠DBE=90，所以AEBD为正方形，AE=1. 由于AE，DB都与平面CBC0垂直，所以AE⊥CE，可知AC＞1. 因此只有AC=AB=2时，△ABC为等腰三角形……8分 在Rt△AEC中，CEAC2AE21，又BC=1，

0

所以△CEB为等边三角形，∠CBE=60，……10分

由（1）可知，所以∠CBE为二面角A-BD-C的平面角，

0

即二面角A-BD-C的得大小为60，……12分

解法二：以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和 Y轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系D-xyz，则 A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,0,0)……6分 由（1）可设点C的坐标为（x,1,z），其中z＞0，则有

x2z21 ①

因为△ABC为等腰三角形，所以AC=1,或AC=2。 若AC=1，则有(x1)1z1 则此得x=1,z=0，不合题意。

若AC=2，则有(x1)1z1 ②

2222联立①和②得x1313,z。故点C的坐标为（,1,）……8分

2222由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以DA与BC夹角的大小等于二面角A-BD-C的大小……10分

13os又DA=（1,0,0），BC=（,0,），c220

1DA,BC

DABC20

DABC所以DA,BC60，即二面角A-BD-C的大小为60

……12分

22.（1）证明：由S2a2S1a1，得a1a2a1a2a1，即a2a1a2。 因a20，故a11 ……2分 （2）因

a2a2 ……3分 a1又由题设条件知Sn2a2Sn1a1，Sn1a2Sna1

两式相减得Sn2Sn1a2(Sn1Sn)，即an2a2an1 由a20，知an10，因此

an2a2……5分 an1综上，

an2a2对所有nN*成立， an1n1从而an是首项为1，公比为a2的等比数列，ana2……6分 （3）当n=1或2时，显然Snn(a1an)，符号成立……7分 2n1设n≥3, a2＞-1且a20，由（1）知a11，ana2，所以要证的不等式化为

nn1(1a2)(n3) 2n12n1n即证：1a2a2a2(1a2)(n2)

22n11a2a2a2当a2=1时，上面不等式的等号成立。 当-1＜a2＜1时，a21与a2当a2＞1时，a21与a2rnrrnr1，（r=1,2,3，…，n-1）同为负；

1，（r=1,2,3，…，n-1）同为正；

rnr因此当a2＞-1且a21时，总有(a21)(a21)0，即

rnrna2a21a2，（r=1,2,3，…，n-1）……10分

上面不等式对r从1到n-1求和得，2(a2a2a2)(n1)(1a2)

2nrnn1n(1a2)……13分 2n综上，当a2＞-1且a20时，有Sn(a1an)

2由此得1a2a2a22n当且仅当n=1,2或a2=1时等号成立。……14分