小升初数学衔接教材 第16讲：余角和补角 教师版

【教材精讲】

教学目标：

1、在具体情境中了解余角与补角，方位角的意义。

2、懂得等角的余角相等，等角的补角相等，并能运用这些性质解决一些简单的实际问题。 3、掌握方位角的判别与应用。

4、经历观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力。

教学重难点：

余角与补角的性质.方位角的判别与应用.

教学过程：

一、提出问题

用量角器量出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和.

说出一副三角尺中各个角的度数.

30°，60°，90°；45°，45°，90°；60°,60°,60°。 二、探究新知

1.余角与补角的概念

在一副三角尺中，每块都有一个角是90度，而其它两个角的和是90度.

一般情况下，如果两个角的和等于90度(直角)，我们就说这两个角互为 余角 ，即其中每一个角是另一个角的余角.例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.

同样，如果两个角的和等于180度(平角)，就说这两个角互为 补角 ，即其中一个角是另一个角的补角.

2.余角与补角的性质

问题1：如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，并且∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗?为什么? 问题2：如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，并且∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗?为什么? 学生分组讨论、交流，说出各自的理由，最后师生共同归纳余角与补角的性质： 余角性质：等角的余角相等；补角性质：等角的补角相等。 【答案】

（1）∠2与∠4相等 （2）∠2与∠4相等 【解析】

（1）∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余 ∴ ∠1 + ∠2 = 90° ∠3 + ∠4 = 90°

又 ∠1 = ∠3 ∴ ∠2 = ∠4

（2）∵∠1与∠2互补，∠3与∠4互补 ∴ ∠1 + ∠2 = 180° ∠3 + ∠4 = 180° 又 ∠1 = ∠3 ∴ ∠2 = ∠4 巩固新知

【例1】比一比，看谁填得快.

角α 5° 30° 42° 54° 62°23′ 78°23′8″ 【答案】

角α 5° 30° 42° 54° 62°23′ 78°23′8″ 【解析】

试题分析：根据余角、补角的定义直接计算。α的余角 = 90°- 角α；α的补角 = 180°- 角α。 【例2】已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角。 【答案】45° 【解析】

试题分析：根据该角的余角和补角的数量关系，列出等量关系式，即可取得该角的度数。 设这个角为α，180°- α =（90°- α) ×3，求出来α = 45°

3.方位角

α的余角 85° 60° 48° 36° 27°37′ 11°36′52″ α的补角 175° 150° 138° 126° 117°37′ 101°36′52″ α的余角 α的补角 在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到上述类似问题，即如何描述一个物体的方位.方位的表示通常用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示。“北偏东45度”、“北偏西45度”、“南偏东45度”、“南偏西45度”，分别称为“东北方向”、“西北方向”，“东南方向”、“西南方向”。

说明：用量角器画射线要注意两点：一是先从正南或正北方向作角的始边，二要分清东南西北，理解偏东、偏西的意义.

4.已知点O在点A的南偏东30°方向，那么，点A应在点O的( ) A.南偏东60°方向 B.北偏东30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏西30°方向 【答案】D 【解析】

试题分析：画出点O和点A的相对位置，不难发现点A应在点O的北偏西30°方向。 三、课堂小结：

这节课你学习了哪些知识？

【达标训练】

一、选择题（每题3分）

1．若∠A=°，则它的余角等于（ ） A．116° B．26° C．° D．50° 【答案】B 【解析】

试题分析：根据余角定义，列出等量关系式，直接计算求得。 余角 = 90° - ° = 26° 故选B。

考点：余角的定义。

2．甲看乙的方向是北偏东30°，那么乙看甲的方向是（ ） A．南偏东 60° B．南偏西 60° C．南偏东 30° D．南偏西 30° 【答案】D 【解析】

试题分析：这是方位角的问题。方法是：先以甲为中心，画十字，建立坐标。“乙的方向为北偏东30°”，画出乙的位置；然后以乙为中心，画十字，建立坐标去看甲就可以了。从而确定乙看甲的方向是南偏西 30°。 故选D。 考点：方位角。

3．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】B 【解析】

试题分析：根据题中的等量关系，验证每个式子是否为∠β的余角，即90°-∠β。 ∵ 90°-∠β表示∠β的余角，∴ ①正确； ∵∠α-90° = 180°-∠β-90° = 90°-∠β，∴②正确； ∵

11（∠α+∠β）= ·180°= 90°，∴ ③错误； 2211（∠α -∠β）=（180°-∠β -∠β）= 90°-∠β，∴ ④正确。 22∵

正确的式子有3个。 故选B。

考点：余角和补角的定义。

4．如图，南偏东15°和北偏东25°的两条射线组成的角（即∠AOB）等于（ ）度．

A．40° B．80° C．50° D．140° 【答案】D 【解析】

试题分析：根据方位角的定义，找到其与∠AOB的数量关系。 南偏东15°和北偏东25°的两条射线组成的角 = 180°- 15°- 25°= 140°。 故选D。 考点：方位角。

5．如图，∠AOB 是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（ ）

A．52° B．38° C．° D．26° 【答案】C 【解析】

试题分析：先找到∠AOD的等量关系式，再确定未知角的度数，即可计算得出最终结果。 ∵ ∠AOD = ∠AOC + ∠DOC 又OD平分∠BOC，∠AOB 是直角 得∠DOC =

11∠BOC = （90° - ∠AOC） 2211（90° + ∠AOC）= （90° + 38°）= ° 22∴ ∠AOD = 故选C。

考点：角度的计算，角平分线，余角的定义。 6．下列说法中正确的个数是（ ） ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角；

③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等； ④锐角和钝角互补：

⑤如果互补的两个角相等，那么这两个角都是 90°． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】

试题分析：根据余角和钝角的概念，可以正面验证，也可以反面举例，来判断每条说法的正误。

锐角<90°，则锐角的补角=180°-锐角 > 90°，为钝角，说法①正确；钝角的补角为锐角，小于其本身，说法②错误；同角的补角相等，③正确；只有锐角+钝角=180°，二者才互补，④错误；α+β=180°，且α=β，得α=β= 90°，⑤正确。 正确的说法为①③⑤。 故选C。

考点：余角和钝角的概念。

7. 已知∠A=75°，则∠A的补角等于（） A．125° B．105° C．15° D．95°

【答案】B 【解析】

试题分析：根据钝角的概念，得∠A + ∠A的补角=180°，进而算出∠A的补角。 ∠A的补角=180°-∠A = 180°- 75° = 105° 考点：钝角的概念。

8．一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（ ） A．20° B．35° C．45° D．55° 【答案】D 【解析】

试题分析：求谁设谁，根据题目中的数量关系，列出等式，进行求解。 设这个角是α，则余角是90° -α ∵ 该角比其余角大20° ∴ α-(90° -α)=20° α-90° +α=20 2α = 90° +20° =110° ∴ α = 55° 故选D。

考点：角度的计算，余角的定义。

9．如果一个角的补角是 120°，那么这个角的余角是（ ） A．150° B．90° C．60° D．30° 【答案】D 【解析】

试题分析：根据补角和余角的概念，直接计算即可。 这个角为180°-120°=60° 这个角的余角为90°-60°=30° 故选D。

考点：余角和补角的概念。 二、填空题（每题3分）

10．∠1的余角是50°，∠2的补角是150°，则∠1与∠2的大小关系是__________． 【答案】∠1＞∠2 【解析】

试题分析：根据补角和余角的概念，求出∠1与∠2的度数，直接比较即可。 ∵∠1余角是50°，∠2的补角是150°

∴∠1=90°-50°=40° ∠2=180°-150°=30° ∴∠1＞∠2 故答案为∠1＞∠2。 考点：余角和补角的概念。

11．若一个角的余角比它的补角的还多1°，则这个角的大小是__________． 【答案】63° 【解析】

试题分析：求谁设谁，根据补角和余角的概念，列出所求角的等量关系式，直接计算即可。 设这个角为α，则它的余角为（90°﹣α），补角为（180°﹣α）， 根据题意得，

2900-α=（1800-α）+10

9解之得，α=63° 故答案为63°。

考点：余角和补角的概念，角度的计算。

12．一个角的余角是 54°38′，则这个角的补角是__________． 【答案】144°38′ 【解析】

试题分析：根据余角和补角的概念，确定所求角的等量关系式，直接计算即可。 由题，这个角的补角 = 180° - 这个角 又 这个角 = 90° - 这个角的余角

∴ 这个角的补角 = 180° - （90° - 这个角的余角）

= 180° - （90° - 54°38′） = 144°38′

故答案为144°38′。

考点：余角和补角的概念，角度的计算。

13．南偏东25°和北偏东35°的两条射线组成的角等于__________度． 【答案】120 【解析】

试题分析：根据题目中射线的角度关系，可以画出方位角的位置，直观求出两条射线组成的角度。 所求角的度数 = 180° -（25° + 35° ）= 120°。

故答案为120。

考点：方位角，补角的概念。

14．如果一个角的补角是142°，那么这个角的余角是__________． 【答案】52° 【解析】

试题分析：根据余角和补角的概念，确定所求角的等量关系式，直接计算即可。 由题，这个角的余角 = 90° - 这个角 又 这个角 = 180° - 这个角的补角

∴ 这个角的余角 = 90° - （180° - 这个角的补角）

= 90° - （180° - 142°） = 52°

故答案为52°。

考点：余角和补角的概念。 三、解答题（每题10分）

15．若一个角的余角与这个角的补角之比是 2：7，求这个角的邻补角． 【答案】126° 【解析】

试题分析：根据余角和补角的概念，确定所求角的等量关系式。需要说明的是邻补角是补角的一种，其定义为：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。直接按照补角的计算公式求解即可。

解：设这个角为α，则这个角的余角为90°-α，这个角的补角为180°-α． 依照题意，

这两个角的比为：（90°-α）：（180°-α）=2：7．

即 360°-2α=630°-7α

5α=270° α=54°

∴ 这个角的邻补角为：180°-54° = 126° 故答案为126°。

考点：余角和补角的概念，角度的计算。

16．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD 平分∠BOC，OE平分∠AOC．

（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；

（2）试判断∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．并说明理由．

【答案】

（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE （2）∠COD与∠EOC互余，理由见解析 【解析】

（1）由题， ∠AOD + ∠BOD = 180°

∠BOE + ∠AOE = 180°

∴ ∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE。 （2）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC ∴∠COD=

11∠BOC，∠EOC=∠AOC 2211（∠BOC+∠AOC）= ×180°=90° 22又 ∠COD +∠EOC =

∴∠COD与∠EOC互余。 考点：余角和补角的概念

【闯关测验】

一、选择题（每题3分）

1．已知∠A=37°，则∠A的余角等于（ ） A．37° B．53° C．63° D．143° 【答案】B 【解析】

试题分析：根据余角的概念，直接计算即可。 ∠A的余角 = 90° - 37° = 53° 故选B。

考点：余角的概念。

2．若∠α=30°，则∠α的补角是（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】

试题分析：根据补角的概念，直接计算即可。 ∠α的补角 = 180° - 30° = 150° 故选D。

考点：补角的概念。

3．已知∠α的补角为 125°12′，则它的余角为（ ） A． 35°12′ B．35°48′ C．55°12′ D．55°48′ 【答案】A 【解析】

试题分析：根据余角和补角的概念，直接计算即可。 ∠α的补角为125°12′ 则∠α =180°-125°12′

∴∠α的余角的度数是90°-∠α = 90°-（180°-125°12′）= 35°12′ 故选A。

考点：余角和补角的概念。

4．若∠A，∠B互为补角，且∠A < ∠B，则∠A 的余角是（ ）

1111

BAABBA2222 A． B． C． D．

【答案】C 【解析】

试题分析：根据余角、补角的概念，找出题中已知各角的数量关系。 ∠A +∠B = 180

∠A 的余角 = 90 - ∠A = 故选C。

考点：余角和补角的概念。

5．若∠α与∠β互为余角，∠β是∠α的2倍，则∠α为( ) （A）20° （B）30° （C）40° （D）60°

11（∠A +∠B）- ∠A = （∠B -∠A） 22【答案】B 【解析】

试题分析：根据题意列方程的：∠β = 90°- ∠α = 2∠α ∴∠α = 30° 故选B。

考点：余角的概念，角度的计算。

6．如图，小明 A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）

A．右转 80° B．左转 80° C．右转 100° D．左转 100° 【答案】A 【解析】

试题分析：因为此时方向与出发方向相同，也就是要北偏东60度，而现在是北偏西20度，所以向右转80度就是北偏东60度了，也就和出发方向相等了，也就和AB平行了。 故选A。 考点：方位角。

7．在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（ ）

A．69° B．111° C．141° D．159° 【答案】C 【解析】

试题分析：根据方位角的概念、补角的概念，列出∠AOB的等量关系式，计算求出结果。 ∠AOB＝180°－ 54°+ 15°＝141° 故选C。

考点：方位角的概念、补角的概念。

8．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（ ）

A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【解析】

试题分析：根据互余、互补的定义结合图形判断即可。

图①：摆放的三角尺中有一个直角，所以∠α+∠β=90°，即∠α与∠β互余，符合题意； 图②：两个直角摆放在一起，则重合的角与∠α、∠β都互余，所以∠α=∠β，不选；

图③：∠α、∠β分别是等腰直角三角形的两个邻补角，因为等腰三角形的两个底角相等，所以∠α=∠β，不选；

图④：由图可以看出：∠α+∠β=180°，所以∠α与∠β互补，不选。 故选A。

考点：互余和互补的定义。 二、填空题（每题3分）

9．若∠1和∠2互为余角，且∠1＝40°，则∠2＝_____°． 【答案】50 【解析】

试题分析：根据互余的概念，和为90°的两个角互为余角，直接计算即可。 ∠2度数 = 90°- ∠1 = 90°- 40°= 50° 故答案为50。 考点：互余的定义。

10．已知一个角的补角是128°37′，那么这个角的余角是_______. 【答案】38°37′ 【解析】

试题分析：根据余角和补角的定义，可先求出该角，再求出其余角。也可以列出余角的等量关系式，直接求。 由题，这个角=180°-128°37′= 51°23′ ∴ 其余角为：90°-51°23′=38°37′ 故答案为38°37′。

考点：余角和补角的定义。

11．若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数为_______. 【答案】45° 【解析】

试题分析：求谁设谁，根据余角、补角的定义，列出所求角的等量关系式。 设这个角的度数是α， 由题，180°-α=3（90°-α） 解得α=45° 故答案为45°。

考点：余角和补角的定义。

12．已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的补角为_______度．

【答案】1307 【解析】

试题分析：根据余角、补角的定义，列出所求角的等量关系式。 ∵∠α与∠β互余，且∠α=40° ∴∠β=90-∠α=90°-40°=50° ∴∠β的补角 = 180°-50°=130° 故答案为130。

考点：余角和补角的定义。

13．若∠α的余角为72°，则∠α的补角大小为_______度。 【答案】162 【解析】

试题分析：根据余角、补角的定义，列出所求角的等量关系式。 由题，∠α的补角 = 180° - ∠α 又 ∠α = 90° - ∠α的余角 ∴ ∠α的补角 = 180° - ∠α = 180° - （90° - ∠α的余角） = 90° + 72° = 162° 故答案为162。

考点：余角和补角的定义。

14．若∠A=62°48′，则∠A的余角=_______。 【答案】27°12′ 【解析】

试题分析：根据余角定义，∠A的余角 =90°- ∠A = 90°- 62°48′=27°12′． 故答案为27°12′。 考点：余角定义。

15．已知点A在点B的北偏东62°，则点B在点A的_______． 【答案】南偏西62° 【解析】

试题分析：这是方位角的问题。方法是：先以B为中心，画十字，建立坐标。“A的方向为北偏东62°”，画出A的位置；然后以A为中心，画十字，建立坐标去看B就可以了。从而确定A看B的方向是南偏西62°。 故答案为南偏西62°。 考点：方位角。

16．一个角是67°35′50″，则它的补角是_______．

【答案】112°24′10″ 【解析】

这个角的补角 = 180° - 67°35′50″ = 179°59′60″ - 67°35′50″ = 112°24′10″ 故答案为112°24′10″。

考点：补角的概念，度分秒的换算。

17．如图，OA的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是_______．

【答案】北偏东70° 【解析】

∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40° ∴∠AOB=40°+ 15°=55° ∵∠AOC=∠AOB

∴OC的方向是北偏东15°+ 55°=70° 故答案为北偏东70°。 考点：方位角。

三、解答题（每题10分）

18．一个角的余角比这个角的多30°，请你计算出这个角的大小． 【答案】48° 【解析】

试题分析：求谁设谁。根据余角的定义，以及题目中给定的数量关系，确定所求角的等量关系式。 解：设所求角为α，由题知， 90° – α =

1α + 30° 4∴ α = 48°

故所求角的大小为48°。 考点：余角的定义，角度计算。

19．如图，∠AOB=35°，∠BOC=90°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．

【答案】27.5° 【解析】

试题分析：根据相关角度的数量关系，确定所求角的等量关系式，直接计算即可。注意用到角平分线这一条件。

∵∠AOB=35°,∠BOC=90°；

∴∠AOC =∠AOB+∠BOC = 35° + 90° = 125° 又∵OD是∠AOC的平分线, ∴∠AOD =

1∠AOC = 62.5° 2∴∠BOD =∠AOD-∠AOB = 6 2.5°- 35° = 27.5° 故∠BOD的度数为27.5°。 考点：角平分线，角度的计算。

20．如图，已知OB的方向是南偏东60°，OA、OC 分别平分∠NOB 和∠NOE， （1）请直接写出OA的方向是_______，OC的方向是_______． （2）求∠AOC的度数．

【答案】（1）北偏东60°，北偏东45° （2）∠AOC=15° 【解析】 试题分析：

解：（1）∵ OA、OC分别平分∠NOB和∠NOE，∠NOE=90° ∴ ∠NOC = 45° 由题，∠SOB = 60° ， 则∠BOE=90°- ∠SOB = 30° ∠NOB=90°+ ∠BOE = 120° ∴∠NOA = 60°

因此，OA的方向是北偏东60°，OC的方向是北偏东45°。 （2）∵OB的方向是南偏东60° 则∠BOE＝30°

∴∠NOB＝30°＋ 90°＝120° ∵OA平分∠NOB 则∠NOA＝

1∠NOB＝60° 2又OC分别平分∠NOE 则∠NOC＝

1∠NOE＝45° 2∴∠AOC＝∠NOA－∠NOC＝60°－45°＝15°

考点：方位角，角平分线，角度的计算。