八年级数学培优教程 实数

数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。

——德*摩根

有理数和无理数统称为实数。实数有下列重要性质：

1。有理数可以写成有限小数或无限循环小数的形式，都可以表示成分数

q的形式；无理数p是无限不循环小数，不能写成分数

q的形式。这里p、q是互质的整数，且p≠0. p2。有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数。

例题求解

例1 下面有3个结论：存在两个不同的无理数，它们的差是整数；存在两个不同的无理数，它们的积是整数；存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数。其中，正确的结论有（ ）个。

A.0 B。1 C。2 D。3 解析：看是否能构造出符合要求的数。

例2：[x]表示不大于x的最大整数，如[3.14]=3，[－2.6]=－3，[5]=5，求

［1　2］［23］［100220032004］ 的值。

解析：从估算n（n1)入手，注意到n²< n（n+1）<（n+1）²。

例3 若a、b满足3a+5|b|=7，则S=2a－3|b|的取值范围是多少？

解析：视S为常数，利用二元一次方程组求出a、|b|；注意到a、|b|均为非负数，由此求出S的范围。

例4 若实数a、b、c满足关系式

a199b·199ab=3a5b2c+2a3bc

试确定c的值。

解析：利用算术平方根的非负性，建立关于a、b、c的方程组，从而求解。

例5 已知a、b为有理数，x、y分别表示5-7的整数部分和小数部分，且满足

axy+by²=1，求a+b的值。

解析：利用实数的性质：若x、y都是有理数，m是无理数，则要使x+ym=0成立，必有x=y=0.

拓展练习

1.写出55的小数部分是________

2.已知x、y是实数，3x4+y²-6x+9=0，则x+y=________

3.一个数的平方根是a²+b²和4a-6b+13，那么这个数是________

4.代数式x1+x2+x2的最小值是________

5.已知实数a满足|2006-a|+a2007=a，那么a-2006²的值是________ 6.若

11-|m|=1，求+|m|的值。 mm