【资料1】“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)

【问题背景】

“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

【知识储备】

线段最值问题常用原理：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

【模型初探】

（一）点P在直线上运动

“胡不归”问题

如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，，本题得解。 即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3）

图1-1-1 图1-1-2图1-1-3

思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？

提取系数k即可哦！！！

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原，而忽视了走折线虽理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示）

然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

【模型初探】

（二）点P在圆上运动

“阿氏圆”问题

如图所示2-1-1，⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ BAAPPPAOBCOBCO图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2-1-2）在线段OB上截取OC使OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。

【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=kPB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

“阿氏圆”一般解题步骤：

第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；

第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度； 第三步：计算这两条线段长度的比第四步：在OB上取点C，使得

OPk； OBOCOPOPOB；

第五步：连接AC，与圆O交点即为点P．

【模型类比】

①“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数

起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题

②“阿氏圆”构造共边共角型相似

构造△PAB∽△CAP推出PA2ABAC即：半径的平方=原有线段构造线段