【试卷】2020年江西省南昌市高考数学一模试卷文科Word版含解析

【关键字】试卷

2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={1，2，3，4}，那么（∁UA）∩B=（ ） A．{3，4}

B．{1，2，3}

C．{1，2}

D．{1，2，3，4}

2．+3i 若复数z=（a﹣1）（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（ ）A．1

B．2

C．5

D．6

3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（ ） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（ ） A．860 B．720 C．1020 D．1040

5．若双曲线C：x2﹣=1（b＞0）的离心率为2，则b=（ ） A．1

B． C． D．2

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为（ ） A． B． C．1

D．2

7．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ） A．6

B．2log23+1 C．2log23+3 D．log23+1

8．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1

D．2

9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱． A．28

B．32

C．56

D．70

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10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ） A． B． C．16

D．32

11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，则函数g（x）=f（x）﹣ex（e为自然对数的底数）的零点个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

12．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，

则∠AFB的最大值为（ ） A． B． C． D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若，则= ．

14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是 ．

15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为 ．

16．已知实数x，y满足，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ．

三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列{bn}的前2n项和T2n．

18．某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：

空气质量指数 空气质

（0，50]

（50，100]

（100，150]

（150，200]

（200，250]

（250，300]

1级优 2级良 3级轻度污4级中度污5级重度污6级严重污

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量等级 染 染 染 染

该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率．估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）．

空气质量指

数 （0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300]

频数 频率

x y 25 20 15 10

a b 0.25 0.2 0.15 0.1

（Ⅰ）求x，y，a，b的值；

（Ⅱ）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．

19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2DC=2，AC∩BD=F．且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD重心．

（Ⅰ）求证：GF∥平面PDC； （Ⅱ）求三棱锥G﹣PCD的体积．

20．已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

N两点，（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，已知直线A1M

与A2N相交于点G，求证：以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．

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21．已知函数f（x）=（2x﹣4）ex+a（x+2）2．（a∈R，e为自然对数的底） （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）当x≥0时，不等式f（x）≥4a﹣4恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为

（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立

极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0． （Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．

选修4-5：不等式选讲

23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．

（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．

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2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．B={1，2，3，4}，已知全集U=R，集合A={x|x＞2}，那么（∁UA）∩B=（ ）

A．{3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1，2，3，4} 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】由题意和补集的运算求出∁UA，由交集的运算求出（∁UA）∩B． 【解答】解：因为全集U=R，集合A={x|x＞2}， 所以CUA={x|x≤2}，

又B={1，2，3，4}，则（CUA）∩B={1，2}， 故选C．

2．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（ ） A．1

B．2

C．5

D．6

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．

【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，

可得3=a﹣1+2，解得a=2． 故选：B．

3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判

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断．

【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限， ∴当α=

+2π，β=

，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分

性不成立， 若当α=

，β=

+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，

故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件， 故选：D．

4．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（ ）

A．860 B．720 C．1020 【考点】分层抽样方法．

【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中高二被抽取的人数为30，求总体．

【解答】解：由已知条件抽样比为n=1040， 故选：D．

5．若双曲线C：x2﹣A．1

B．

C．

=1（b＞0）的离心率为2，则b=（ ） D．2

，从而

，解得

D．1040

【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由a=1，c=

，离心率为e==

=，解得：b=

．

，

【解答】解：双曲线C：x2﹣∴离心率为e==故选C．

=1（b＞0）焦点在x轴上，a=1，c=

，

=，解得：b=

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6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为（ ） A． B． C．1

D．2

【考点】正弦定理；二倍角的余弦．

【分析】由已知利用二倍角余弦函数公式可求sinA，利用三角形面积公式即可计算得解．

【解答】解：由cos2A=sinA，得：∴故选：A．

7．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ）

，

或﹣1（舍去），

A．6 B．2log23+1 C．2log23+3 D．log23+1

【考点】程序框图．

【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： S=3，i=1

满足条件i≤7，执行循环体，S=3+log2，i=2 满足条件i≤7，执行循环体，S=4+log2，i=3 …

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满足条件i≤7，执行循环体，

，i=8

此时，不满足条件i≤7，退出循环，输出S=log26=log23+1， 故选：D．

8．已知函数（α）=1，则A．﹣2 B．﹣1 C．1

=（ ） D．2

的周期为π，若f

【考点】正弦函数的图象．

【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为 T=

=π，∴ω=2，

）并求值．

∴f（x）=Asin（2x+φ）， 又f（α）=Asin（2α+φ）=1， ∴f（α+

）=Asin[2（α+

）+φ]

=Asin（2α+3π+φ） =﹣Asin（2α+φ） =﹣1． 故选：B．

9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱．

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A．28 B．32 C．56 D．70

【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．

【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．

【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，

则，

解得x=72，y=32，z=4．

∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱． 故选：B．

10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何

体的体积是（ ）

A． B． C．16 D．32

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．

【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于故选A．

，

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11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，则函数g（x）=f（x）﹣ex（e为自然对数的底数）的零点个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．

【分析】确定x=1时函数有极大值为f（1）=0，根据奇函数的对称性，作出其函数图象，根据图象，可得结论．

【解答】解：因为当x＞0时，函数f（x）=lnx﹣x+1有

所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 当x=1时函数有极大值为f（1）=0，

根据奇函数的对称性，作出其函数图象如图所示： 由函数图象可知y=ex和y=f（x）有两个不同交点， 故选C．

，

12．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=

|，

则∠AFB的最大值为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．

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【解答】解：因为

．

在△AFB=又

中，由余弦定理得：

，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以

．

．

所以，∴∠AFB的最大值为，

故选D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若

，则

=

．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】解：∵∴

故答案为：．

14．已知单位向量 ．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可． 【解答】解：单位向量则在

上的投影是：

的夹角为

，

，

的夹角为

，

，则在

上的投影是

，

．

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||cos＜，=2

﹣

•

＞==•=（2﹣）•

=2﹣1×1×1×cos=．

故答案为：．

15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为

．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．

【解答】解：由图中数据可得：1=2π，

所以几何体的表面积为故答案为：

． ．

．

，S

圆柱侧

=π×2×

16．已知实数x，y满足，在这两个实数x，y之间插入三个实数，

使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 9 ．

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【考点】简单线性规划；等差数列的通项公式．

【分析】利用数列的关系推出三项和关于x，y的表达式，画出约束条件的可行域，利用线性规划知识求解最值．

【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y， 因为等差数列的公差则

，

（另解：因为由等差数列的性质有x+y=a+c=2b， 所以

则等差数列后三项和为

=

=

．）．

．）

所以设z=x+3y，实数x，y满足，

作出约束条件所表示的可行域如图所示： 可知当经过点A（3，3）时，

目标函数z=x+3y有最大值12，此时b+c+y有最大值9． 故答案为：9．

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三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.

17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令

，求数列{bn}的前2n项和T2n．

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．

【分析】（Ⅰ）由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5，3（1+d）=1+4d，解得d=2，由等差数列的通项公式即可求得{an}的通项公式； （Ⅱ）

．T2n=1﹣3+5﹣7+…+•（2n﹣3）﹣（2n﹣1）=﹣2n．

【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， 由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5， 即3a2=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴3（1+d）=1+4d，解得d=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，

数列{an}的通项公式an=2n﹣1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

．

∴T2n=1﹣3+5﹣7+…+•（2n﹣3）﹣（2n﹣1）， =（﹣2）×n， =﹣2n，

数列{bn}的前2n项和T2n=﹣2n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣

18．某中学环保社团参照国家环境标准，制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）： 空气质量指数 空气质量等级

（0，50]

（50，100]

（100，150]

（150，200]

（200，250]

（250，300]

1级优 2级良 3级轻度污4级中度污5级重度污6级严重污

染

染

染

染

该社团将该校区在2016年连续100天的空气质量指数数据作为样本，绘制了如

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图的频率分布表，将频率视为概率．估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天（全年以365天计算）． 空气质量指

数 （0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300]

x y 25 20 15 10

a b 0.25 0.2 0.15 0.1

频数

频率

（Ⅰ）求x，y，a，b的值；

（Ⅱ）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．

【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．

【分析】（Ⅰ）由题意得：365b=73，a+b=0.3，由此能求出x，y，a，b的值． （Ⅱ）补全直方图，由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得：365b=73，解得b=0.2， 又a+b=0.3

∴a=0.1，∴x=100×0.1=10，y=100×0.2=20﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）补全直方图如图所示﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数为： 25×0.1+75×0.2+125×0.25+175×0.2+225×0.15+275×0.1=145．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2DC=2

，AC∩BD=F．且△PAD与△ABD均为正三角形，E

为AD的中点，G为△PAD重心． （Ⅰ）求证：GF∥平面PDC； （Ⅱ）求三棱锥G﹣PCD的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）法一：连AG交PD于H，连接CH．由重心性质推导出GF∥HC，由此能证明GF∥平面PDC．

法二：过G作GN∥AD，交PD于N，过F作FM∥AD，交CD于M，连接MN，推导出GNMF为平行四边形，从而GF∥MN，由此能证明GF∥面PDC． GF，法三：过G作GK∥PD交AD于K，连接KF，推导出平面GKF∥平面PDC，由此能证明GF∥面PDC．

（Ⅱ） 法一：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，由的体积．

，能求出三棱锥G﹣PCD

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法二：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，由的体积．

【解答】证明：（Ⅰ）证法一：连AG交PD于H，连接CH． 由梯形ABCD，AB∥CD，且AB=2DC，知

，能求出三棱锥G﹣PCD

又E为AD的中点，且PG：GE=2：1，G为△PAD的重心，∴﹣﹣﹣ 在△AFC中，

，故GF∥HC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣

又HC⊆平面PCD，GF⊄平面PCD，∴GF∥平面PDC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 证法二：过G作GN∥AD，交PD于N，过F作FM∥AD，交CD于M，连接MN，

∵E为AD的中点，且PG：GE=2：1， G为△PAD的重心，

=，∴GN=

，∴

，

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

又ABCD为梯形，AB∥CD，∵∴

，∴MF=

，∴GN=FM，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

又由所作GN∥AD，FM∥AD，得GN∥FM，∴GNMF为平行四边形． ∴GF∥MN，∵GF⊄面PCD，MN⊂面PCD， ∴GF∥面PDC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

证法三：过G作GK∥PD交AD于K，连接KF，GF，

由△PAD为正三角形，E为AD的中点，且PG：GE=2：1，G为△PAD的重心，

得，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

，即

﹣﹣﹣﹣﹣﹣

又由梯形ABCD，AB∥CD，且AD=2DC，知﹣

∴在△ADC中，KF∥CD，所以平面GKF∥平面PDC 又GF⊆平面GKF，∴GF∥面PDC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解：（Ⅱ） 解法一：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，

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E为AD的中点

∴PE⊥AD，BE⊥AD，得PE⊥平面ABCD，且PE=3 由（Ⅰ）知GF∥平面PDC，∴﹣﹣﹣

又由梯形ABCD，AB∥CD，且AD=2DC=2又

△

ABD

为

正

三

角

形

，

，知得

∠

﹣﹣﹣﹣

CDF=ABD=60°，∴

，﹣﹣

得

∴三棱锥G﹣PCD的体积为

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解法二：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点

∴PE⊥AD，BE⊥AD，得PE⊥平面ABCD，且PE=3 由而

又

，∴△

ABD

为

正

三

角

形

，

得

∠

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ EDC=120°，

得

．﹣﹣﹣﹣﹣

∴积为

．﹣﹣﹣﹣

，∴三棱锥G﹣PCD的体

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20．已知椭圆

的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点

分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

N两点，（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，已知直线A1M

与A2N相交于点G，求证：以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．

【考点】直线与椭圆的位置关系．

【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），推导出a=4﹣2c，由椭圆的离心率

，得a=2c，由此能求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）法一：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．只需证xG=1，联立方程组

，得：（3+4k2）x2﹣32k2x+k2﹣12=0，由此利用

根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．

法二：要证以G点为圆心，即证xG=1，设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，由B，M，N三点共线，得2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0．再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出x3=1，由此能证明以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．

My1）Ny2）法三：设l的方程为y=k（x﹣4），（x1，，（x2，．由

得（3+4k2）

x2﹣32k2x+k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、三点共线，结合已知条件，能证明以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．

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【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：a=4﹣2c①

又因为椭圆的离心率

，即a=2c②

，即

联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3 所以椭圆C的方程为

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

证明：（Ⅱ）证法一：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切． 只需证GF2⊥x轴，即证xG=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+k2﹣12=0，△＞0． 由韦达定理可得：

，

（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

因为直线，

即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2）．

即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 将（*）代入上式可得

此式明显成立，原命题得证．

所以以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 证法二：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切． 只需证GF2⊥x轴，即证xG=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等， 因

为

B

，

M

，

N

三

点

共

线

，

所

以

．

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，

整理得2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又A1，M，G三点共线，有：

①

又A2，N，G三点共线，有：①

与

②

两

式

②

相

除

得

：

即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即

解得x3=4（舍去）或x3=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

代入得，

所以GF2⊥x轴，即以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

证法三：由题意l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）． 由

得（3+4k2）x2﹣32k2x+k2﹣12=0，△＞0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等， 则

﹣﹣﹣﹣﹣

由A1，M，G三点共线，有：

①

，

，

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由A2，N，G三点共线，有：①

与

②

两

式

②，

相

除

得

：．﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣

解得x3=4（舍去）或x3=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以GF2⊥x轴，即以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

21．已知函数f（x）=（2x﹣4）ex+a（x+2）2．（a∈R，e为自然对数的底） （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）当x≥0时，不等式f（x）≥4a﹣4恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；

（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，有f（x）=（2x﹣4）ex+（x+2）2， 则f'（x）=（2x﹣2）ex+2x+4⇒f'（0）=﹣2+4=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又因为f（0）=﹣4+4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣0），即y=2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅱ）因为f'（x）=（2x﹣2）ex+2a（x+2），令g（x）=f'（x）=（2x﹣2）ex+2a（x+2）

有g'（x）=2x•ex+2a（x≥0）且函数y=g'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当2a≥0时，有g'（x）≥0，此时函数y=f'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，则f'（x）≥f'（0）=4a﹣2 （ⅰ）若4a﹣2≥0即

时，有函数y=f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，

则f（x）min=f（0）=4a﹣4恒成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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（ⅱ）若4a﹣2＜0即时，则在x∈[0，+∞）存在f'（x0）=0，

此时函数y=f（x）在x∈（0，x0）上单调递减，x∈（x0，+∞）上单调递增且f（0）=4a﹣4，

所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当2a＜0时，有g'（0）=2a＜0，则在x∈[0，+∞）存在g'（x1）=0， 此时x∈（0，x1）上单调递减，x∈（x1，+∞）上单调递增， 所以函数y=f'（x）在x∈[0，+∞）上先减后增．

又f'（0）=﹣2+4a＜0，则函数y=f（x）在x∈[0，+∞）上先减后增且f（0）=4a﹣4．

所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 综上所述，实数a的取值范围为

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为

（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立

极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0． （Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0

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，∴其普通方程x﹣y﹣

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∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ B两点所对应参数分别为t1，t2，（Ⅱ）设A、联解

得

要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有

根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，

又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=﹣﹣﹣﹣

当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=﹣﹣﹣﹣﹣

综上所述，实数a的值为

选修4-5：不等式选讲

23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．

（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值． 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知≤2﹣|x﹣1|有解，可得（Ⅱ）当a＜2时，（x）在

，由不等式f（x）

或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ，t1t2=﹣2t22=

，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣

，t1t2=2t22=

，∴a=

＞0，符合题意．﹣﹣﹣

，即可求实数a的取值范围； 单调递减，在

单调递增，利用函

数f（x）的最小值为3，求实数a的值．

【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为而由绝对值的几何意义知

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

．

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由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

，即0≤a≤4．∴实数a的取值

（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，

∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣

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2017年3月15日

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