浅谈数学解题教学的策略

数学概念、定理、法则等知识的内化，数学思想方法的有效渗透，学生数学思维能力的培养都离不开解题。作为数学教学的一个重要组成部分，解题教学的地位举足轻重。然而，当下的数学课堂中片面追求解题教学中“量”的多寡，忽视解题教学中“质”的思索的现象比比皆是，导致解题教学质量不高，从而严重影响了数学教学质量的提高。笔者认为，从思想方法的角度立意进行解题教学，在解题教学中引导学生学会分析问题、思考问题，是内化数学知识、渗透思想方法、提升思维能力的有效举措。

解题是学生数学学习中重要的一项工作，解题错误也往往会成为数学学习的

一个必然现象，因此教师对解题教学的正确把握就显得至关重要。波利亚的解题

模型已被广泛用于数学解题教学，教师在解题教学中往往更重视如何促进学生解

题效率与解题能力的提高，而忽视了深入探讨学生解题错误的重要性。本论文通

过深入分析波利亚解题模型，并将其细化到具体步骤，然后将其应用于高中数学

解题教学，尝试利用模型找出并分析学生解题错误。本论文的主要研究问题为：

(l)波利亚解题模型的内涵是什么？(2)如何利用波利亚解题模型找出学生解题错误？(3)如何利用波利亚解题模型分析学生解题错误？(4)在学生解题过程中如何利用波利亚解题模型引导学生克服解题障碍？

摘要：解决问题的教学是数学教学的核心。本文结合波利亚的“怎样解题表”进一步

论述了解题教学过程中的弄清问题、拟订计划、实现计划、解题回顾四个环节和教师所应该采用的相应的语言策略。并以“数列的综合运用”课堂解题教学的片段作为教学案例分析了解题教学策略的在教学实践中的运用及其作用。

本论文研究的问题是在两个背景下形成与提出的：

首先，数学解题教学在数学教学中占了很大的一部分，因此教师对解题教学

的正确把握将会与学生的学业成绩有着重要的联系。虽然随着教育观念的逐渐改

变，学生机械性的练习有所减少，但是为了应付高考，学生还是在不断为成绩而

强化练习，题海战术的现象依然普遍存在。但是，有个问题却依然值得我们思考，

那就是题海战术带来的效率到底有多高？更深入地，我常会思考这样两个问题：

(l)学生的解题情况真正反应出学生什么样的成绩水平？在平时给学生错题辅

导的过程中，每周学生都会有各种各样的错误，有时是计算，有时是方法，深入

接触后发现错误往往没有真正反应出学生的水平，那老师是如何知道学生真正的

错误？(2)教师如何面对学生的解题错误？同一个错题，学生遇到的解题障碍是不一样的，但是教师常会根据自己的经验来讲解题目，导致许多学生无法理解。

面对这样的问题，教师该如何把握题目把握学生呢？对上面的两个思考，我感受

到了在解题教学中如何正确对待学生解题错误的重要性。

其次，对于解题理论本人一直受波利亚解题思想启发很大，特别是他的解题模型和四大解题模式。波利亚的解题模型为我们提供了合适的解题步骤，也为教师的解题教学提供了很好的思路。但是，在我们一味地去提高解题效率、解题能力的时候却很少反思如何处理解题错误。既然波利亚解题模型可以帮助我们如何去解题，那我们能否利用模型去诊断学生的解题错误呢？

研究问题就在这样的背景下形成了，总的来说，本论文的研究问题为：如何利用波利亚解题模型来促进高中数学解题教学？具体的可分为以下子问题：(l)波利亚解题模型的内涵是什么？(2)如何利用波利亚解题模型来寻找学生解题错误？(3)如何利用波利亚解题模型来分析学生解题错误原因？(4)在学生解题过程中如何利用波利亚解题模型来引导学生克服解题障碍？

解题模型概述

解题属于问题解决中的一种，对于解题模型的研究主要还是参考问题解决模

型的研究。关于问题解决的研究一直是心理学的热点，因此产生了许多著名的问

题解决模式，以下简要介绍问题解决模式及数学问题解决模式研究的发展历程。

关于问题解决模式的研究，从早期桑代克的“试误说“及苛勒的“顿悟说，，，到以杜威为代表的阶段论，然后是信息加工论模式，以及现代认知学派的问题解决模式。桑代克的“试误说“通过对动物的实验得出学习的过程是一种渐近的尝试错误的过程，而学习的

实质是刺激与反应的联结。苛勒的顿悟说同样是通过对动物的实验得出学习是一个顿悟的过程，而不是尝试错误式的。简单的说，苛勒的顿悟就是学习者在解决问题的过程中突然觉察到问题解决的办法。杜威在191“年提出了问题解决的五阶段模式，他指出问题解决的过程包括五个阶段：(l)开始意识到难题的存在；(2)识别出问题；(3)收集材料并对之分类整理，提出假设；(4)接受和拒绝试探性假设；(5)形成和评价结论。在191“年到195“年期间，

研究者们提出了许多问题解决的阶段论，如斯里夫与库克的五阶段论“，约翰逊

的三阶段论9等。信息加工论模式的代表当属纽厄尔和西蒙，他们把对整个问题

的解决过程看成是对问题空间的探索，而问题空间由原始状态!目标状态及一系

列中间状态，再加上一系列算子组成。现代认知学派的问题解决模式从人的认知

层面来研究问题解决过程，比如人的认知结构，表征等。格拉斯问题解决模式把

问题解决过程划分成为四个阶段.“：第一，对问题的进行初始表征，对问题空间进行编码，包括问题的初始条件!目标和算子。第二，制定计划，寻找问题解决方法相关信息，提取有用的或和问题相关的信息!。第三，再一次对问题进行表征，若第一次的问题表征不充分或不正确，就需要修正第一次表征或对问题进行重新表征。第四，执行计划和检验结果，实施策略，实现解题方案，最后对解题过程和结果进行评价或检验。奥苏伯尔同样把问题解决分为四个阶段-.：第一呈现问题情境命题，也即对问题进行初次表征。第二，明确问题目标与己知条，也即对问题进行深层次的表征。第三，填补空隙过程，这个过程其实包括两个方面，一个是制定解题方案，一个是执行解题方案。所谓填补空隙，也就是对

问题空间的填补，从问题的起点穿过问题空间到达问题的终点的过程，这也是奥苏泊尔问题解决模式的核心部分。这是设计解题计划并在个人意识的监控下执行解题计划的过程，也是解决问题过程的核心。第四，解答之后的检验，也即在问题解决之后再一次回顾填补空隙的过程是否有效，是否还有捷径等。

虽然数学中的解题也属于问题解决，但是数学有自身独特的学科特点，一般的问题解决模式并不一定能很好的适用于数学解题，因此在问题解决领域也出现了许多著名的数学问题解决理论或数学解题理论。其中，最经典的当属波利亚的解题理论。波利亚在其著作《怎样解题》中指出问题解决可以分四个阶段，“第一，我们必须理解题目，必须清楚地看到所要求的是什么。第二，我们必须知道各个项目是如何相关的，未知量和数据之间有什么关系，以得到解题的思路，拟定一个方案。第三，我们执行我们的方案。第四，我们回顾所完成的解答，检查和讨论它。总结起来就是理解问题，制定方案，执行方案，回顾四个阶段。除波利亚外，舍恩菲尔德的解题理论对我的启发也很大。总结起来，他把解题过程分为以下几个阶段：理解问题，制定解法，探索困难问题解法，以及对结果进行检验。在国内，关于数学问题解决的研究也有许多，其中喻平从认知心理学的角度阐述数学问题解决的一般模式。他指出“数学问题解决就是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过程。解题图式包括个体已有的与新问题有关的知识基础、解题策略和解题经验。“总结起来，他的模式包括“理解

问题，选择算子，应用算子及结果评价”。

1.波利亚解题模型

波利亚解题思想非常丰富，其经典著作有《怎样解题》、《数学的发现》、《数

学与猜想》等，其中在《怎样解题》中的解题表或解题模型集中地体现了他的数

学解题思想。模型中，他将解题过程分为四个基本阶段：理解问题，制定计划，

实施计划，回顾。第一，理解问题，也即要清楚已知条件是什么，问题是什么等。

第二，制定计划，也就是在面对条件和问题时，我们要理解条件中各个项目有什

么关联，未知量与己知数据有什么联系等等，以形成解题的思路，并形成解题计

划。第三，实施自己的解题计划。第四，回顾整个解题过程，包括自己是如何理

解问题，如何形成解题思路，如何实施计划，并对得到的问题答案进行检验。以

下详细分析波利亚数学解题模型的四个阶段。

1.1理解问题

理解问题，也就是要理解所给的题目的构成。波利亚指出，在理解问题时，

首先要理解该题目的语言陈述，具体的指要清楚“未知量是什么？已知数据是什

么？条件是什么？”。其次要深入理解题目，具体的指“要将题目的主要部分分离出来，弄清楚题目中的细节。总结起来，我觉得理解题目需要做到三个方面，

一是要将题目转化为数学题目，比如说应用题，首先应先将用数学语言将其描述

出来。二是要明确题目中所给出的条件和要求。条件包括已知、给定的原理、数

据等，要求指题目的问题，也即所要达到的目标。三是要对条件和要求的范围进

行定位。解题者在清楚条件和问题后，通过大脑搜索去判断条件和问题中涉及的

知识在什么模块，可能可以用什么方法或技能等。

实例1：（2“12广东省19题）设数列且a1,a25,a3成等差数列。

{an}的前n项和为sn，满足2snan12n11,nN*，

（I）求a1的值；

（II）求数列{an}的通项公式；

1113a1a2an2（III）证明：对一切正整数n，有。

(l)首先，本题目本身就是用数学语言来阐述的题目，因此不需要将其转化为数学问题。

(2)其次，条件有两个，一是数列

{an}的前n项和为sn，满足2snan12n11,nN*，二

是a1,a25,a3成等差数列。问题分为三个，一、求a1的值；二、求数列{an}的通项公式；三、证明：对一切正整数n，有系。

1113a1a2an2。这三个问题之间是逐层递进，逐步深入的关

(3)在明确条件和问题之后，开始判断它们的范围。一、由sn和an的关系以及a1,a25,a3成等差数列可以求出a1的值；二、题目中没有直接给出an和an1的递推关系式，所以需要根据条件中数列

{an}的前n项和为sn，满足2snan12n11,nN*，来确定得到an和an1的递推

关系式，才能够得到数列{an}的通项公式，

1.2制定计划

制定计划，简单的说，就是构思解题方案或形成解题思路。波利亚指出，“解

答一个题目的主要成就在于构思一个解题方案的思路”，由此可以看出此阶段为

解题的关键阶段，解题计划能否形成或解题计划是否良好将决定解题的成败。当

然，想要形成好的解题思路，解题者需要有一定的知识储备与经验储备，“好的

思路来源于过去的经验和以前获得的知识”。对于过去的经验，主要包括对模型

的积累与技能与思想方法的积累。当解题者面对一个新问题时，可以先尝试回忆

与此题相似的题型，并从其解题方法中获取解题思路。当然有时虽然不同题目之

间并不相似，但是所含的技能与思想方法却相通，解题者也应该尝试分析题目的

条件和问题，看是否可用一些技巧和方法来解决，以此形成解题思路。总的来说，

我觉得制定计划可以从三个方面入手，一为寻找模型，也即寻找与此题相类似的

问题，并从其解题方法中获得启发。二为寻找技能与思想方法，也即深入分析题

目的条件和问题，看是否有合适的技能与思想方法可以适用。三为将题目进行转

化。在面对一个较为复杂的问题时，若找不到相似的模型，也找不到合适的技能

与思想方法，可以将题目的条件或问题进行转化，转化成熟悉的模型，再进行解

题。

实例；

(1)寻找模型。观察式子，这是一个数列递推式，搜索模型，找到类似的模型

an13an2，用待定系数法构造新数列bnan1来解。

(2)模型转化。观察现有问题与已解决问题的联系，尝试是否能转化为已有问

题或用已有问题的解题思路来解。若用待定系数法，第三项应该为常数，因此应将两边同除以2，得到

n2an1an31,2n12n进而转化为2bn13bn1这种模型。

1.3实施计划

实施计划，也即将解题思路或方案付诸实践。在执行解题方案的时候，我们

要“尽可能详细进行你想起的以前可行的所有代数或几何运算。以形式推理或直

观的洞察，或者可能的话，同时采用这两种方式来确定每一步的正确性。由此可以看出，实施计划其实是在已形成的解题思路和解题方案的指引下，不断的去应用知识、原理甚至技能与思想方法来解决问题的阶段。

解；（I）a1,a25,a3成等差数列，2(a25)a1a3.

22(a1a2)2S2a3321,2a2Sa21,112又

a22a13,a36a113

因此4a1167a113,从而a11.

（II）由题设条件知，n2时，

2Sn1an2n1,2Snan12n11.

2anan1an2n,于是

an13an2n(n2)而由（I）知，a22a1353a12,

an13an2n,n因此对一切正整数，有

所以

an12n13(an2n).

n1{a2}a23,n又1是以3为首项，3为公比的等比数列。

故

an2n3n,即

an3n2n.

（III）

an3n2n3•3n12(3n12n1)3n1,

11n1.an3

11111113n3.12n112a1a2an33313

11.4回顾

回顾，简单的说，就是在解决完一个问题时在回过头来检验自己的解答过程

以及得到的答案。回顾问题往往被学生与教师忽略掉，“假如你想要从解题中得

到最大的收获，你就应当在所做的题目中去找出它的特征，这些特征在你以后去

求解其他问题时能起到指引作用。“”，解题者不能只停留在对一个问题的解答，

而需要深入理解和斟酌自己是如何解答这个问题的，仔细思考是否还有更简单的

解题方法？解题过程中自己是否遇到障碍，又是如何克服障碍的？本问题中是否

隐含重要的思想方法等等。

(4)反思

a。题型的再认识。此题型为方程解集问题。

b。知识点再认识。此题的主要知识点为含参动态直线!含绝对值反比例函数的

图像，直线与曲线相切。

c。技能与思想方法再认识。此题的主要思想方法为数形结合，方程解集的问题

可以转化为方程两边两个函数图像的交点问题。

d。解题过程的回顾。此题的关键还是将方程的解集转化为函数图像的交点，然

后准确画出函数图像，动态的看含参直线的变化，找出临界条件。

在了解了数学解题经典模型之后，作为数学老师的我们必须能据此设计解题教学

解题是数学学习中的重要组成部分，而解题教学则是数学教学工作中的难点和重点，把题目讲清楚，看似容易，实则涉及到很多问题，教师必须要了解学生的解题心理，根据此设计解题教学，才能使学生容易接受与理解。下面我们同样以数列问题为例介绍一种经典的数学解题教学设计模式——认知建构模式：

认知建构解题教学模式，是以通过解题活动去促进学生建构良好的数学认知结构为主

要目的，以启发学生自主建构认知结构为主要策略，以师生互动、生生互动为重要学习环境的一种解题教学模式。

研究表明，个体的数学认知结构是解答数学问题的关键要素，它影响着问题的表征、问题的迁移，从而影响问题解决的效果，由此也就牵制着个体数学能力的发展。从广义知识观来看，认知结构主要指由陈述性知识形成的命题网络、表象和线性顺序，实际上，认知结构兼容了策略性知识，本质一种图式。显然，使学生通过学习良好的认知结构是解题教学的一项重要目的，因而应建立相应的教学模式。

认知建构解题教学模式的程序如图所示

教学步骤：

①解答问题。教师提出问题，让后引导学生分析问题寻求解答策略，师生共同讨论完成问题的解答。

②另解问题。回到问题，教师启发学生积极思考，寻求另外的解题途径。这个过程可由学生相互合作讨论去进行，另寻得的解题方案可以是多种的。

③变更问题。回到问题，对原问题进行变更。变更的途径有两种：一是将原问题进行等价变化，包括条件条件等价变化、结论等价变化、问题等价变化、图形等价变化等方法；二是对原问题进行半等价变化，例如加强或减弱原问题的条件，可得到原命题的强抽象命题，这就是一种半等价变化。

分析上述步骤，可以看出，第、第步是在建构学生的认知结构。事实上，采用多种方

法解决同一问题，必然会用到更多的概念、命题、规则，会对这些知识作新的搭配、组合，从而使原问题的命题系得以扩充和完善。对问题进行等价变化，是个体在建立问题的命题域，对问题进行半等价变化，又是个体在建构原问题的命题系。

运用认知建构模式进行解题教学，应注意3点。其一，所选的问题应是具有典型性的，即这一问题能采用多种方法解决，而且能作多方位拓广，这样才可能达到教学目标。其二，教师的作用在于诱导，学生才是解决问题和推广问题的主体，因而教学操作应体现学生的主体性。其三，教学形式是可以多样化，教学手段也可多样化，如采用合作学习形式，而对于图形变式，则可利用计算机辅助教学。