第二节 二次根式的运算-学而思培优

二、核心纲要

一 二次根式的乘除

(1)乘法：即两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．abab(a0,b0),

(2)除法：即两个二次根式相乘，被开方数相除，根指数不变．(3)乘法公式的推广：

aba(a0,b0), b①a(bc)abac(a0,b0,c0);

②(ab)(cd)acadbcbd(a0,b0,c0,d0); ③(ab)2ab2ab,(ab)(ab)ab;

④a1a2a3.ana1a2.a3....an(a10,a20,,an0).

2 (4)充分利用a(a)(a0);ab(ab)(ab)(a0,b0).

注：结果必须化为最简二次根式． 2.二次根式 的加减

(1)二次根式的加减的实质：先化简（化为最简二次根式），后合并（合并同类二次根式）． (2)二次根式的加减步骤

①一化：将每个二次根式化为最简二次根式； ②二找：找出同类二次根式； ③三合并：合并同类二次根式． 3.二次根式的混合运算 先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公武行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．

注：(1)原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，

(2)进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果必须是最简二次根式．另外，与根式相乘的因数若是带分数，必须写成假分数，例如：

172不能写成22

33 4．分母有理化

(1)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．

(2)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称两个代数式互为有

理化因式．

(3)常用的有理化因式a与a、ab与ab、ab与ab等互为有理化因式． (4)分母有理化步骤：先将二次根式化简，找分母最简有理化因式；然后将计算结果化为最简二次根式的形式．

5．比较二次根式的大小的常用方法

(1)被开方数法：当a≥0，b≥O时，若要比较形如aa与bb的两数大小，可先把根号外的非负因数 a与b平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较． (2)平方法：①如果a>b>0，则a②如果0ab,则ab;

b.

这种方法常用于比较无理数的大小．

(3)估算法：若一个非负数a介于另外两个非负数a1、a2之间，即0a1aa2

时，它的算术平方根也介于a1、a2之间，即：0.a1aa2.

(4)倒数法：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据

“当

111111时，a>b；当时，a=b；当时，aababab(5)作差法：在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①ab0ab;②ab0ab. (6)分母有理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较．☆(7)分子有理化法：通过分子有理化，

利用分母的大小来比较．本节重点讲解：一个方法，两个概念，两个运算，

三、全能突破

基础训练

1．下列计算正确的是( )．

A.232a1aa3a C.3a D.33a B.33333 2．计算(12)(23) 等于( )．

A.36 B.23226 C.3 D.23226

3．计算

112的结果是( )． 3A 7332 C.3 D.33 3 B.334．下列运算正确的是( )．

A.255 B.43271 C.1829 D.24.5．如果a36 223,b(23)1,那么a与b的关系为( )．

A．互为相反数 B．互为倒数 C．互为有理化因式 D．相等

6．与16相乘，结果为有理数的因式为( )．

A.6 B.16 C.61 D.61

7．计算：

11248 (1)4545842 (2)212315333(3)(548627415)3 (4)(743)(743)(351)2 (5)(12)2013(13)2(12)2013(13)2

（6）18936（32)0(12)2 2321x(7)x9xx236x.

34x3m23n23mna (8)32a2amn8．比较下列二次根式的大小：

(1)35与53 (2)26与37 (3)76与65 (4)72和53

(5)231与121

9．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答． 已知m为实数，化简：解：原式mmm.m3m1 m1m(m1)m. m 能 力 提 升

a5110.等式成立的条件是( )． a3.babA.a0,b0 B.a0,b0 C.a0,b0 D.a0,b0

11．(1)计算

abbb(aaa)的正确结果是( )． baba2

A. B. C.2 D.1

bba(2)若18x2x2x20,则x的值等于( )． 2xA.4 B.4 C.8 D.8

12.估计32120的运算结果应在( )． 2A.6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D.9到10之间 13.化简

132,甲，乙两同学的解法如下：

甲：

1323232.

(32)(32)乙：

1323232(32)(32)3232.

对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是( )．

A.甲，乙解法都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲，乙都不正确， D．乙正确，甲不正确 14．527的立方根是( )．

A.21 B.12 C.(21) D.21

15．若整数m满足条件(m1)2m1,且m25,则m的值是 16. -个等腰三角形的两边长分别是23和32则这个等腰三角形的周长为 17．(1)已知正数a和b，有下列命题：

①若ab2,则ab1;②若ab3,则ab3;③若ab6,则ab3; 2根据以上三个命题所提供的规律猜想：若ab9,则ab

221321421521,,,,,根据你发现的规律， (2)计算

21314151(n1)21n21判断P与Q,（n为大于1的整数）的值的大小关系为 n1(n1)118．不等式(13)x13的最大整数解为 19.已知xy72,且0xy,那么满足条件的整数对(x，y)有 组．

20．计算及化简：

(1)xyyxxyyxyxxyyxxy (2)ababba

(3)计算：

123246...n2n3n

151021020...n5n10n(4)75

211415.1021.已知a0,ab0,化简

22.先观察下列等式，再回答问题：

1（ab32)|ba3|2

①11111111; 22111212②11111111; 222216231111111;

33112324211的结果（直接写出结论）． 2245③1(1)根据上面三个等式，请猜想1(2)根据上面各等式反应的规律，试写出用含n（n为正整数）表示一般规律的等式，并加以验证．

(3)根据上述规律，解答问题： 设m111111111111,求不超过m的最2222222212.233420122013大整数[m]是多少？

中 考 链 接

23.（2011．湖北孝感）下列计算正确的是( )．

A.1822 B.235 C.23.6 D.824

24．（2012．上海）在下列各式中，二次根式ab的有理化因式是( )．

A.ab B.ab C.ab D.ab

25．（2011．上海）计算：(3)27|12|012

巅 峰 突 破

26.计算(30213)(3107)的值等于( )．

A.67 B.67 C.20367 D.20367

27.已知a21,b226,c62,那么a,b,c的大小关系是( )．

A.abc B.bac C.cba D.cab