北京市通州区2018-2019学年第一学期期末九年级数学试题(含答案)

通州区2018—2019学年度第一学期九年级期末数学试卷 2019年1月

一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项） 1．如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE=∠C；②使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）

ADEAEDEADAE；③. ABBCACAB BA．①② B．②③ C．①③ D．①②③

C

2. 如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点. 如果∠ACB=45°，那么AB的长为（ ）

COA A．π B．2π C．3π D．4π

3. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地. 如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（ ） A．1

B．

B1 2C．

1 4D．

1 54．如图，数轴上有A、B、C三点，点A、C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，如果点A、B、C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，那么原点O的位置应该在（ ）

A．点A与点B之间靠近A点 B．点A与点B之间靠近B点 C．点B与点C之间靠近B点 D．点B与点C之间靠近C点

5. 如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和点B为切点，AC是⊙O的直径. 已知∠P=50°，那么∠ACB的大小是（ ）

AAaBbCcOP A．65° B．60° C．55° D．50°

CB

6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为80米．如果设河的宽度为x米，那么下列关系式中正确的是（ ）

A A．

BαβC

x1 x802B．

x1 x80C．

x2 x8021

D．

x3 x803

7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛，要求每班选派10名队员参加．下面是一班和二班参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断： ①二班学生比一班学生的成绩稳定； ②两班学生成绩的中位数相同； ③两班学生成绩的众数相同.

上述说法中，正确的序号是（ ）

成绩/分1098765一班二班 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系

0123456710队员编号yax2bxca0．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到

最高点时，最接近的时刻x是（ ）

y(m)201814 A．4 B．4.5 C．5 D．6

O357x(s)

二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

9. 如图，线段BD、CE相交于点A，DE∥BC．如果AB=4，AD=2，DE=1.5， 那么BC的长为_________．

BAED

2C

10.在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx14的图象如图，将二次函数yx14的图象平移，使二次函数yx14的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：__________________________________________.

22y4O1x

2

11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为____cm.

12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表. 请你根据统计表中提供的信息，求出表中a、b的值：a= ，b= ．

13．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元. 设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是________________________.

14. 如图，直角三角形纸片ABC，ACB90，AC边长为10 cm. 现从下往上依次裁剪宽为4 cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长度是____cm．

A

215. 已知二次函数yaxbx1a0的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：

CBa =______，b =________.

16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线a和直线外一点P． 求作：直线a的垂线，使它经过P．

作法：如图2.

（1）在直线a上取一点A，连接PA； （2）分别以点A和点P为圆心，大于

1AP的长为半径作弧，两弧相交于B，C两点，连接BC交PA于2点D；

（3）以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于点E（异于点A），作直线PE． 所以直线PE就是所求作的垂线．

请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________．

3

三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17．计算：4cos30π3

18. 已知:如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC. 求证：点D平分BC.

CD0121.

AOB 19．如图，在□ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB=∠A．

（1）求证：△BDF∽△BCD； （2）如果BD35，BC9，求

AB的值． BEDFC

20. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形DECO是矩形；

（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB=30°，DE=2时，求AF的长度．

ABE

ADECO

4

B

21．如图，直线yx2与反比例函数yk，与y轴交于点B. k0，x0的图象交于点A（2，m）

x（1）求m、k的值；

（2）连接OA，将△AOB沿射线BA方向平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰

kk0的图象上时，求点O' 的坐标； x（3）设点P的坐标为（0，n）且0n4，过点P作平行于x轴的直线与直线yx2和反比例函数

kyk0的图象分别交于点C，D，当C、D间距离小于或等于4时，直接写出n的取值范围．

x好落在反比例函数yyAB

22．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD=O2x183，sinF=时，求OF的长． 55FECBOD

23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：

A学生选修课程扇形统计图1612αB20%C学生选修课程条形统计图人数1684ABCD科目40%D10%A840 （1）本次调查的学生共有_______人，扇形统计图中α的度数是_______； （2）请把条形统计图补充完整；

（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．

5

24．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CAB30，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方或左侧），连接EC．已知AB=6 cm，设A、D两点间的距离为x cm，C、D两点间的距离为y1 cm，E、C两点间的距离为y2cm． 小雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小雪的探究过程：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格

补充完整；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当ECD60时，AD的长度约为________cm．

225. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax4axma0与x轴的交点为A、B，（点A在点B的左侧），且AB=2.

（1）求抛物线的对称轴及m的值(用含字母a的代数式表示)；

（2）若抛物线yax4axma0与y轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，求a的取值范围；

2（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．

y4321-4-3-2-1O-1-2-3-41234x

6

26. 如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊥BC，且FE=FC（CE（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是___________________；

（2）将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC

上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF.

①在图2中，依据题意补全图形；

②求证:DF2FG.

AGBABFED

图1CD图2C

27. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P与圆心C不重合，给出如下定义：若在⊙C上存在一点M，使MPC30，则称点P为⊙C的特征点． （1）当⊙O的半径为1时，如图1.

①在点P1（-1，0），P2（1，3），P3（3，0）中，⊙O的特征点是______________． ②点P在直线y3xb上，若点P为⊙O的特征点，求b的取值范围．

（2）如图2，⊙C的圆心在x轴上，半径为2，点A（-2，0），B（0，23）．若线段AB上的所有点都

是⊙C的特征点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．

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通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测

数学试卷参及评分标准

一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 C 5 A 6 D 7 A 8 B 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 3 10. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一） 11. 3 12. 150，0.35 13. y300x1 14. 20 15. 1，2（答案不唯一） 16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线

三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=4231231， ………………… 4分 2 =231231，

=0. ………………… 6分

18． 证明：连接CB. ………………… 1分

∵AB为⊙O的直径，

CD∴ACB90. ………………… 3分

∵OD∥AC， ∴OD⊥CB，. ………………… 5分 AO∴点D平分BC. ………………… 6分 另证：可以连接OC或AD.

19. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AE，AC，AB=DC. ………………… 1分 ∵EDBA，

∴EDBC. ………………… 2分 ∵DBFCBD，

∴△BDF∽△BCD. ………………… 3分

（2）解：∵△BDF∽△BCD， D C

∴∴BBFBD. ………………… 4分

FBDBC35. 9A35EB∴BF5. ………………… 5分

∵DC∥AE，

∴△DFC∽△EFB.

BFCFDC. BFBEAB4. ………………… 6分 ∴BE5∴

20. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD. ……………… 1分 ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形DECO是平行四边形.

∴四边形DECO是矩形. ……………… 2分

（2）解： ∵四边形ABCD是菱形，

AD∴ AOOC. F∵四边形DECO是矩形，

E∴DEOC. O

8

BC

∴DEAO2. ……………… 3分 ∵DE∥AC，

∴OAFDEF. ∵AFOEFD，

∴△AFO≌△EFD.

∴OFDF. ……………… 4分 在Rt△ADO中，

tanADBOADO. ∴

2DO33. ∴DO23. ∴FO3. ∴AFAO2FO222327.

方法二：∴△AFO≌△EFD.

∴AF=FE. 在Rt△ACE中，AC=4，CE=OD=23. ∴AE=27. ∴AF=

12AE=7. 21. 解：（1）∵直线yx2过点A（2，m），

∴m224. ∴点A（2，4）. 把A（2，4）代入函数ykx中， ∴4k2. ∴k8. （2）∵△AOB沿射线BA方向平移，

∴直线OO' 的表达式为yx. yx,∴y8.

x解得x22（舍负）. ∴点O' 的坐标为（22，22）. （3）2≤n4. 22． （1）证明：连接OC.

∵CBCB，

∴BOC2BAC. ∵∠ABD=2∠BAC， ∴BOCABD.

∴BD∥OC. ∵CE⊥DB，

∴CE⊥OC. ∴CF是⊙O的切线. 9

……………… 5分

……………… 6分……………… 1分 ……………… 2分 ……………… 3分

……………… 4分 ……………… 5分 ……………… 6分

……………… 1分 ……………… 2分 ……………… 3分 FEBCOD

（2）解：连接AD.

∵AB为⊙O的直径， ∴BD⊥AD. ∵CE⊥DB， ∴AD∥CF.

∴FBAD. ……………… 4分 在Rt△ABD中，

∴sinF=sinBADBD3. AB5183∴5. AB5∴AB6. ……………… 5分 ∴OC3.

在Rt△COF中，

OC3. OF533∴. OF5∴OF5. ……………… 6分

∴sinF另解：过点O作OG⊥DB于点G.

23. 解：（1）40，108； ……………… 2分 （2）条形统计图补充正确； ……………… 4分 （3）列表法或画树状图正确： ……………… 5分

A B C D 第一项 第二项 A A B A C A D B A B B C B D C A C B C C D D A D B D C D ∴P（AC）=21. ……………… 6分 12624. 解：（1）3，3 ……………… 2分

（2） ……………… 4分 y/cm6（3）4.5 或6 ……………… 6分

4a25.解：（1）对称轴为直线x2. ……………… 1分

2a∵AB=2，点A在点B的左侧，

5432112y2∴A1,0，B3,0 把A（1，0）代入yax4axma0中，

22O3456x/cm∴m3a. ……………… 2分

（2）∵抛物线yax4ax3aa0与y轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，

∴a0. ……………… 3分

当抛物线yax4ax3aa0经过点（0，-1）时，可得a.

213 ∴a的取值范围是1a0. ……………… 4分 3（3）3a≤2或2≤a<3. ……………… 6分

10

26. （1）BF2FG． ……………… 1分 （2）①依据题意补全图形； ……………… 3分

②证明：如图，连接BF、GB.

∵四边形ABCD是正方形，

A∴AD=AB，ABCBAD90，AC平分BAD. G∴BACDAC45. 在△ADF和△ABF中，

BEADAB， DACBAC，AFAF，FDC∴△ADF≌△ABF. ……………… 4分 ∴DFBF.

∵EF⊥AC，ABC90，点G是AE的中点，

∴AGEGBGFG. ……………… 5分 ∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上.

∵BFBF，BAC45，

∴BGF2BAC90. ……………… 6分 ∴△BGF是等腰直角三角形. ∴BF2FG.

∴DF2FG. ……………… 7分

27. 解：（1） P1，P2．……………… 2分

②

当b0时，设直线y3xb与以2为半径的⊙O相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F.

3b，0），OC⊥EF. 33bOF33∴tanFEO. OEb3∴E（0，b），F（

∴FEO30. ……………… 3分 yE321-4-3-1O-1-2-31CF234OC1， ∵sinFEOOE221∴. b2x-4∴b4. ……………… 4分 当b0时，由对称性可知：b4. ……………… 5分 ∴b的取值范围是4≤b≤4． ……………… 6分 （2）∴m的取值范围为2m≤2. ……………… 7分

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