生物统计学答案 第九章 两因素及多因素方差分析

9.1 双菊饮具有很好的治疗上呼吸道感染的功效，为便于饮用，制成泡袋剂。研究不同浸泡时间和不同的浸泡温度对浸泡效果的影响，设计了一个两因素交叉分组实验，实验结果(浸出率)见下表[52]：

浸泡温度

/℃ 60 80 95

浸泡时间/min

10 23.72 24.84 30.

15 25.42 28.32 31.58

20 23.58 29.55 32.21

对以上结果做方差分析及Duncan检验。该设计已经能充分说明问题了吗？是否还有更能说明问题的设计方案？

答：无重复二因素方差分析程序及结果如下：

options linesize=76 nodate; data hermed; do temp=1 to 3; do time=1 to 3; input effect @@; output; end; end; cards;

23.72 25.42 23.58 24.84 28.32 29.55 30. 31.58 32.21 ; run;

proc anova; class temp time;

model effect=temp time;

means temp time/duncan alpha=0.05; run;

The SAS System

Analysis of Variance Procedure Class Level Information

Class Levels Values

TEMP 3 1 2 3

TIME 3 1 2 3

Number of observations in data set = 9

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: EFFECT Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 4 87.0707778 21.7676944 12.56 0.0155

Error 4 6.9321778 1.7330444

Corrected Total 8 94.0029556

R-Square C.V. Root MSE EFFECT Mean

0.926256 4.741881 1.315 27.7622

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

TEMP 2 78.72028 39.3601444 22.71 0.0066 TIME 2 8.35048 4.1752444 2.41 0.2058

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Duncan's Multiple Range Test for variable: EFFECT

NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate

Alpha= 0.05 df= 4 MSE= 1.733044

Number of Means 2 3

Critical Range 2.984 3.050

Means with the same letter are not significantly different.

Duncan Grouping Mean N TEMP

A 31.477 3 3

B 27.570 3 2

C 24.240 3 1

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Duncan's Multiple Range Test for variable: EFFECT

NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate

Alpha= 0.05 df= 4 MSE= 1.733044

Number of Means 2 3

Critical Range 2.984 3.050

Means with the same letter are not significantly different.

Duncan Grouping Mean N TIME

A 28.447 3 3 A

A 28.440 3 2 A

A 26.400 3 1

从方差分析结果可以得知，温度是极显著的影响因素，时间是不显著因素。在Duncan检验中，温度的三个水平之间差异是显著的。时间的三个水平间差异不显著。

本实验是二因素固定模型设计，如果设置重复，会得到两个因素之间的交互作用（如果存在的话），其结果能更好地说明问题。

以上方差分析的结果可以归纳成下表：

变差来源 温度(temp)

平方和 78.720 288 9

自由度 2

均方 39.360 144 4

F 22.7

P 0.006 6

1

时间(time) 误差 总和

9.2 研究浙江蜡梅大苗移栽技术，处理方式包括移栽后的不同覆盖方式和做床方法，统计每100株移栽苗的成活率，结果见下表[53]：

8.350 488 9 6.932 177 8 94.002 955 6

2 4 8

4.175 244 4 1.733 044 4

1

2.40.205 8

做床方法

仅挖穴

精细作床

93％ 90％

覆盖方法

遮 阴 未遮阴

85％ 81％

根据以往经验在覆盖方法与作床方法之间不存在交互作用，对上述结果做方差分析。请注意，这里的结果是百分数。

答：本例需对数据做反正弦变换，程序和结果如下：

options linesize=76 nodate;

data plum;

do cover=1 to 2; do seedbed=1 to 2; input y @@;

surrate=arsin(sqrt(y/100))*180/3.14159265; output; end; end; cards; 93 85 90 81 ; run;

proc anova;

class cover seedbed;

model surrate=cover seedbed; run;

The SAS System

Analysis of Variance Procedure Class Level Information

Class Levels Values

COVER 2 1 2

SEEDBED 2 1 2

Number of observations in data set = 4

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: SURRATE Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 2 .5953445 32.2976722 90390.15 0.0024

Error 1 0.0003573 0.0003573

Corrected Total 3 .5957018

R-Square C.V. Root MSE SURRATE Mean

0.999994 0.027238 0.010 69.3987

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

COVER 1 9.4515512 9.4515512 251.66 0.0039

SEEDBED 1 55.1437933 55.1437933 99999.99 0.0001

从结果可以看出，覆盖方式和做床方式都是极显著因素。以上结果可以归纳成下表：

变差来源 覆盖方法(cover) 做床方法(seedbed) 误 差 总 和

9.3 为了研究不同NaCl质量浓度对小麦愈伤组织生长的影响。 配制质量浓度分别为0、0.1％、0.3％和0.5％的NaCl MS培养基，接种15天后，测定每块愈伤组织平均增重百分率，结果见下表[54]：

平方和 9.451 551 2

55.143 793 3 0.000 357 3 .595 701 8

自由度 1 1 1 3

均方 F P 0.003 9 0.000 1

9.451 551 2 26 451.66 55.143 793 3 99 999.99 0.000 357 3

材料名称

NaCl质量浓度 /％/ H8706－34/% G01/% 极早熟/% 中国春/%

0 0.1 0.3 0.5

103.80 99.31 52.26 18.38

63.70 56.27 45.01 15.37

67.32 52.24 24.17 20.40

67.10 52.30 34.30 13.22

对上述结果进行方差分析。作者已经给出四种实验材料都是盐敏感型小麦，但是不同的小麦品种必定对盐的抗性不同。也就是说，品种与盐浓度之间存在交互作用，更完善的实验应当怎样设计？

答：这是一个固定模型设计，程序不再给出，结果如下。

The SAS System

Analysis of Variance Procedure Class Level Information

Class Levels Values

CONCEN 4 1 2 3 4

MATERIAL 4 1 2 3 4

Number of observations in data set = 16

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: INCREASE Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 6 10411.9081 1735.3180 14.18 0.0004

Error 9 1101.6046 122.4005

Corrected Total 15 11513.5126

R-Square C.V. Root MSE INCREASE Mean

0.904321 22.54545 11.0635 49.0719

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

CONCEN 3 8374.15867 2791.38622 22.81 0.0002 MATERIAL 3 2037.74942 679.24981 5.55 0.0196

方差分析结果指出，盐浓度是极显著的影响因素，不同基因型的愈伤组织是显著影响因素。根据以往的研究工作的经验，盐浓度与基因型之间可能存在交互作用，最理想的设计应当设置重复，从总平方和中分离出交互作用平方和，问题可以说明得更确切。以上结果可以归纳成下表。

变差来源 浓度间

品系间 误 差 总 和

9.4 为了研究植物的光合作用，设计了一个实验。将烟草的两个变种种植在田间，利用CO2-depletion技术检测单位叶面积捕获CO2的比率。实验共涉及两个因素：一个是变种，选用了两个变种；另一个是抽样时期，在整个生长季共进行40次田间抽样。这是一个无重复两因素实验设计，方差分析表如下[55]：

变差来源 抽样时期 变 种 误 差 总 和 平方和 3.356 0.015 7 0.071 1 2.443

自由度 39 1 39 79

均方 0.060 4 0.015 7 0.001 82

F 33.25* 8.66*

平方和 8 374.158 7 2 037.749 4 1 101.604 6 11 513.512 7 自由度 3 3 9 15 均方 2 791.386 2 679.249 8 122.400 5

F 22.81 5.55 P 0.000 2 0.019 6 注：*P <0.01。 根据实验设计，该设计是一种什么模型？实验所涉及的两个因素属于哪一种类型的因素？为什么？

答：这是一个混合模型实验。变种是固定因素，抽样时期是随机因素。因为实验没有设置重复，在无重复的情况下，三种模型的检验统计量是一样的，不知作者为什么不考虑设置重复。两个变种是人为选定的，是固定因素。田间抽样是随机抽取的，是随机因素。

9.5 野生型C57BL/6及STAT－1-/-型小鼠胰岛，在移入四氧嘧啶糖尿病的BALB/c小鼠中之后的存活天数见下表[56]：

实验材料

养 生 处 理

野生型C57BL/6 STAT-1–/–型

未 处 理 6 11 11 11 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 17 11 12 13 13 13

IL－1ra* 10 14 10 14

IL－1ra+CsA 12 14 14 15 15 16 21 10 12 14 17 17 23

注：*IL-1ra：interleukin－1 receptor antagonist（白介素－1受体拮抗物）。 **CsA：cyclosporine A（环孢菌素A）。

对上述结果进行方差分析，判断两种类型小鼠的胰岛存活天数差异是否显著？不同养生处理对移植的胰岛存活天数的影响是否显著？不同养生处理与不同型小鼠之间是否存在交互作用？

答：这是一个重复数不等的两因素固定模型实验，所用程序及计算结果如下。

options linesize=76 nodate;

data mouse;

infile 'e:\\data\\exr9-5e.dat'; do treat=1 to 3; do type=1 to 2; input n @@; do repetit=1 to n; input days @@; output; end; end; end; run;

proc glm;

class treat type;

model days=treat type treat*type ; run;

The SAS System

General Linear Models Procedure Class Level Information

Class Levels Values

TREAT 3 1 2 3

TYPE 2 1 2

Number of observations in data set = 37

The SAS System

General Linear Models Procedure

Dependent Variable: DAYS Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 5 70.1272844 14.0254569 1.67 0.1724

Error 31 261.0619048 8.4213518

Corrected Total 36 331.112

R-Square C.V. Root MSE DAYS Mean

0.211744 21.43162 2.90196 13.5405

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 2 26.5151696 13.2575848 1.57 0.2233 TYPE 1 3.2191227 3.2191227 0.38 0.5409

TREAT*TYPE 2 40.3929921 20.19961 2.40 0.1075

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 2 10.5603197 5.2801598 0.63 0.5408 TYPE 1 0.00915 0.00915 0.00 0.9741

TREAT*TYPE 2 40.3929921 20.19961 2.40 0.1075

在方差分析表中我们选用I型可估函数，从F的显著性概率可以得出，不论是养生处理、小鼠类型还是两者的交互作用都是不显著因素。上述结果可以归纳成下表：

变差来源

平方和

自由度 2

1 2 31 36

均方 13.257 584 8 3.219 122 7 20.196 496 1 8.421 351 8

F

P

26.515 169 6 处理间

3.219 122 7 类型间

处理×类型 40.392 992 1

261.061 904 8 误 差 总 和

331.1 1 2

1.57 0.223 3

0.38 0.540 9 2.40 0.107 5

9.6 野生型C57BL/6及STAT-1-/-型小鼠胰岛，在移入自发糖尿病的NOD#小鼠中之后的

存活天数见下表[56]： 实验材料 野生型C57BL/6 STAT-1–/–型

养生处理

未处理

0 0 2 5 5 11 11 12 13 13 15 17 6 10 10 13

IL－1ra* 0 5 8 12 12 15 10 12

CsA** 8 8 8 10 10 11 18 5 13 14

IL－1ra+CsA 5 10 11 11 12 16 20 10 11 11 12 12 13

注：# NOD：nonobese diabetic（非肥胖糖尿病）。

* IL-1ra：interleukin－1 receptor antagonist（白介素－1受体拮抗物）。 ** CsA：cyclosporine A（环孢菌素 A）。

对上述结果进行方差分析，判断两种类型小鼠的胰岛存活天数差异是否显著？不同养生处理对移植的胰岛存活天数的影响是否显著？不同养生处理与不同型小鼠之间是否存在交互作用？

答：本题与第5题的程序基本一样，下面只给出计算的结果。

The SAS System

General Linear Models Procedure

Dependent Variable: DAYS Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 7 81.7459473 11.6779925 0.55 0.7939

Error 39 833.4880952 21.37146

Corrected Total 46 915.2340426

R-Square C.V. Root MSE DAYS Mean

0.0317 45.659 4.62293 10.1277

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 3 67.9880108 22.6626703 1.06 0.3770 TYPE 1 8.0410256 8.0410256 0.38 0.5432

TREAT*TYPE 3 5.7169109 1.9056370 0.09 0.9656

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

TREAT 3 60.48518 20.1617216 0.94 0.4290 TYPE 1 8.0762698 8.0762698 0.38 0.5423

TREAT*TYPE 3 5.7169109 1.9056370 0.09 0.9656

本题的两个主效应和它们的交互作用都是不显著因素。以上结果可以归纳成下表：

变差来源 处理间 类型间 处理×类型 误 差 总 和

9.7 一项音乐心理学研究，实验是这样设计的：为了避免熟悉的音乐环境，实验安排在两种非典型的音乐练习和演出环境中进行。一种环境是在剧场底层敞开的大厅中（环境A），另一种是在办公室中（环境B）。要求实验参与者学习并回忆所学习的练习曲。学习和回忆包括在相同环境中（AA，BB）和不同环境中（AB，BA），评判学习和回忆的得分，从而判断得分与环境之间的关系[57]。该实验是一个典型的两因素交叉分组实验设计，方差分析表如下：

变差来源

平方和

自由度 1

1 1 6 9

均方 180.267 0.267 1 008.600 125.056

F 1.441 5.120 8.065

P 0.275 0.0 0.030

平方和 67.988 010 8 8.041 025 6 5.716 910 9 833.488 095 2 915.234 042 6

自由度 3 1 3 39 46

均方 22.662 670 3 8.041 025 6 1.905 637 0 21.371 4 6

F 1.06 0.38 0.09

P 0.337 0 0.543 2 0.965 6

180.267 学习环境

0.267 回忆环境

学习环境×回忆环境 1 008.600

750.333 误差 总和

2 579.467

问：（1）本实验共有几次重复？为什么？ （2）本实验属于哪一种模型？为什么？

（3）本实验的两个因素中哪些因素是显著因素？在本实验中显著因素的意义是什么？你可以得到什么结论？

答：(1) 因为本实验共有4种条件组合，df误差＝(组合1重复数－1)＋(组合2重复数－1)＋( 组合3重复数－1)＋( 组合4重复数－1)＝重复数－4＝6。因此，重复数＝6＋4＝10。

(2) 属固定模型。因为：①根据作者所用的检验统计量，②由①推断，环境的水平是人为选定的。

(3) 只有交互作用是显著的。说明音乐的学习是与环境的两种特定水平有关的。结论：音乐的学习属本例的两种特定环境依赖型记忆。

作者的结论是：音乐的学习属环境依赖型记忆。这样的叙述不够严格，只有随机模型才能够得到这样的结论，固定模型只能说“音乐的学习属本例的两种特定环境依赖型记忆”。

9.8 与上一实验类似，这次是记忆一段16小节的钢琴曲。在同一房间中放置两台钢琴，一台是平台式大钢琴（环境A），一台是播音室钢琴（环境B）。参与者在一台钢琴上学习这

段曲谱之后，在同一台钢琴上（AA，BB）或不同钢琴上（AB，BA），回忆这段曲子。根据回忆的正确性获得评分[57]。

变差来源

平方和

自由度 1

1 1 28 31

均方

F

P

22.791 学习环境

0.283 回忆环境

学习环境×回忆环境 1 188.159

979.396 误差 总和

2 190.637

问：（1）本实验共有几次重复？为什么？

22.798 0.652 0.426

0.283 0.008 0.929 1 188.159 33.968 0.000 34.978

（2）本实验与上一实验比较有什么不同，可以改变结论的性质吗？ 答：(1) 总的重复数为32次。

(2) 结论与上一实验结果类似，只能说不同钢琴的这一环境所产生的交互作用更显著。同样不能把这一结论推广到水平总体。

9.9 研究3~18岁健康个体尿中Adrenarche标记物的值。其中两性24小时尿样中DHEA*的平均含量**如下[58]：

年龄/a 3~4

5~6 7~8 9~10 11~12 13~14 15~16 17~18

性 别

男孩/（g ·d） 女孩/（g ·d-1）

-1

0.91

0.90 1.08 1.53 1.90 2.27 2.09 2.55

0.90 0.99 1.02 1.47 1.57 1.86 2.16 2.31

注：* DHEA：Dehydroepiandrosterone（脱氢表雄酮），是合成人体雌激素，

雄激素，以及其他一些人体激素的最基本物质。

**该值已经过对数变换。

用两因素方差分析判断不同年龄组和不同性别的DHEA差异是否显著？

答：结果如下表：

The SAS System

Analysis of Variance Procedure Class Level Information

Class Levels Values

AGE 8 1 2 3 4 5 6 7 8

SEX 2 1 2

Number of observations in data set = 16

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: DHEA Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 8 4.90295000 0.61286875 35.44 0.0001

Error 7 0.12104375 0.01729196

Corrected Total 15 5.02399375

R-Square C.V. Root MSE DHEA Mean

0.975907 8.247678 0.13150 1.59438

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

AGE 7 4.84654375 0.69236339 40.04 0.0001 SEX 1 0.050625 0.050625 3.26 0.1139

从计算结果可以得知，年龄是极显著因素，性别是不显著因素。以上结果可以归纳成下表。

变差来源 年龄间 性别间 误 差 总 和

9.10 嗜乳酸杆菌在体内处于一种酸性环境，一项关于嗜乳酸杆菌(Lactobacillus acidophilus) Ind－I在体外模拟环境中，在不同pH和不同时间的活菌数（活菌数/mL）变化情况如下表[59]：

时间/ h

平方和 4.846 543 75 0.056 406 25 0.121 043 75 5.023 993 75

自由度 7 1 7 15

均方 0.692 363 39 0.056 406 25 0.017 291 96

F 40.0

4 3.26

P 0.000 1 0.113 9

4.5

9

3.5

8

pH

2.5

8

1.5

4

2

2.40×109 1.34×10

1.68×10 1.18×10 4.58×10

88

1.08×10 1.02×10 3.24×104

4

7.00×108

4.14×10

9

2.24×10 4.60×10 5.96×10

97

1.48×10 3.98×10 2.36×103

9

7

3

6

2.10×10 6.80×10 1.32×10 2.10×10

997

2.38×10 4.88×10 1.30×10 1.92×103

108

7

3

对表中的数据进行方差分析，数据是服从泊松分布的。

答：对于服从泊松分布的数据，应进行平方根变换。程序与结果如下：

options linesize=76 nodate;

data lacto;

infile 'E:\\data\\exr9-10e.dat'; do time=1 to 3; do pH=1 to 4; do n=1 to 2; input y @@; number=sqrt(y); output; end; end; end; run;

proc anova;

class time pH;

model number=time pH time*pH; run;

The SAS System

Analysis of Variance Procedure Class Level Information

Class Levels Values

TIME 3 1 2 3

PH 4 1 2 3 4

Number of observations in data set = 24

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: NUMBER Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 11 2.0166E+10 1.8333E+09 2.86 0.0424

Error 12 7.7030E+09 6.4191E+08

Corrected Total 23 2.7869E+10

R-Square C.V. Root MSE NUMBER Mean

0.723601 96.47277 25336.0 26262.3

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

TIME 2 1.7452E+09 8.7262E+08 1.36 0.2937 PH 3 1.5229E+10 5.0763E+09 7.91 0.0036

TIME*PH 6 3.1921E+09 5.3201E+08 0.83 0.5696

只有“pH”是极显著因素，“时间”和“时间×pH”都是不显著因素。以上结果可以归纳成下表。

变差来源 时 间

pH 时间×pH 误 差 总 和

9.11 布氏轮藻（Chara braunii Gm.）的托叶长度与生态环境的状况有密切关系。实验选择4种药物（A：Cd2+，B：Hg2+，C：Cr6+，D：敌枯双 ），每种药物（因素）选择4个水平，两次重复。加药培养5个月后，托叶的长度（m）如下[60]：

因 素

平方和 1.7452X109

1.5229X109 3.1921X109 7.7030X109 2.7869X1010

自由度 2 3 6 12 23

均方 8.7262X108 5.0763X109 5.3201X108 6.4191X108

F 1.36 7.91 0.83

P 0.2937 0.0036 0.5696

1

水 平 2 3

4

A

624 637 190 250

260 702 400 500

300 1 207 1 300 722

B

780 858

1 092 2 210

C

650 1 040

600 480

410 910

1 040 1 300

D

780 832

947 650 300 1 248 1 820 1 300

这是一个有重复的两因素交叉分组实验设计，对上述数据进行分析，并解释为什么会得到这样的结果？

答：结果如下：

The SAS System

Analysis of Variance Procedure Class Level Information

Class Levels Values

DRUG 4 1 2 3 4

LEVEL 4 1 2 3 4

Number of observations in data set = 32

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: LENGTH Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 15 3672745.22 244849.68 1.39 0.2613

Error 16 2823335.50 1758.47

Corrected Total 31 96080.72

R-Square C.V. Root MSE LENGTH Mean

0.565379 51.03545 420.070 823.094

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

DRUG 3 310025.34 103341.78 0.59 0.6331 LEVEL 3 1435384.09 478461.36 2.71 0.0796

DRUG*LEVEL 9 1927335.78 214148.42 1.21 0.3519

根据以往的经验，重金属和农药对植物的生长应当有影响。然而，实验结果却是药物、水平及药物×水平三个因素都是不显著因素。造成这种结果的原因是实验的误差平方和过大。我们知道，误差平方和是重复间的平方和。在原始数据中，有些重复的数据相差甚大，例如，A3和D4的两次重复间竟然相差4倍有余，相差2~3倍的也有不少。重复间存在如此之大的偏差，说明实验材料、实验环境（条件）或实验操作存在不一致性。重复间过大的偏差，造成过大的误差均方，使本来存在的效应被误差掩盖，而不能被检验出来。在设计实验时，除所研究的因素外，一定要保证各方面的均一性。这一点在设计实验和完成实验的过程中是至关重要的，一定要特别注意。人们在接受误差很大的背景下所得到的结论时，会持保留态度的。以上数据可以归纳成下表：

变差来源 药 物 水 平

平方和 310 025.34 1 435 384.09

自由度 3 3

均方 103 341.78 478 461.36

F 0.59 2.71

P 0.633 1 0.079 6

药物×水平 误 差 总 和

1 927 335.78 2 823 335.50 6 496 080.72

9 16 31

214 148.42 176 458.47

1.21

0.351 9

9.12 六味木香袋泡剂是一种中药新剂型。药物的浸出率与粒度的大小、浸泡时间、浸泡水温等因素有关。以下数据是不同粒度及不同水量的浸出率（％）[61]，对这些数据进行分析，推断因素的显著性。

10 41.83 40.14 41.18 37. 33.85 35.27

粒 度/目 20 30 39.10 38.21 40.30 38.08 32.90 31.03

40 34.88 32.66 34.40 32.05 34.27 31.36

100

34.93

35.79 35.33 34.68 27.23 31.00

加水量 150

/ mL

200

答：这里的因变量是浸出率，它不是二项分布数据，不需做变换。结果如下：

The SAS System

Analysis of Variance Procedure Class Level Information

Class Levels Values

WATER 3 1 2 3

GRANULE 4 1 2 3 4

Number of observations in data set = 24

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: PERCENT Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 11 278.901933 25.354721 10.28 0.0002

Error 12 29.604000 2.467000

Corrected Total 23 308.505933

R-Square C.V. Root MSE PERCENT Mean

0.904041 4.443402 1.57067 35.3483

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

WATER 2 126.373908 63.186954 25.61 0.0001 GRANULE 3 118.520600 39.506867 16.01 0.0002 WATER*GRANULE 6 34.007425 5.667904 2.30 0.1037

结果指出，加水量和粒度都是极显著因素，但两者的交互作用是不显著的。交互作用不显著的含义是，不是只有在特定的加水量和特定的粒度下才有最佳的浸出率。以上结果可以归纳成下表：

变差来源 加水量 粒 度 加水量×粒度

误 差

总 和

平方和 126.373 908 118.520 600 34.007 425 29.604 000 308.505 933

自由度 2 3 6 12 23

均方 63.186 954 39.506 867 5.667 904 2.467 000

F 25.61 16.01 2.30

P 0.000 1 0.000 2 0.103 7

9.13 长沙市2005年7月份不同地点、不同日期和每一天三个时间的空气温度测量结果列在下表中[62]：

地点

日期/日

温度/℃

8:00 14:00 20:00

长沙汽车西站

4 6 16 18 27 29

29.4 29.7 30.4 31.5 29.2 30.5

34.1 35.9 36.3 36.0 36.0 36.6

32.5 32.9 33.7 33.2 33.4 33.5 32.0 32.6 33.8 33.6 33.8 33.7

岳麓金峰小区

4 6 16 18 27 29

29.0 30.3 30.5 32.1 29.8 31.2

39.2 35.8 36.9 37.1 36.8 37.0

五一中路袁家岭

4 6 16 18 27 29

30.5 30.6 31.0 30.9 29.8 30.6

37.5 37.4 38.6 39.1 37.8 38.8

32.8 33.1 34.2 34.8 34.2 34.6

中路浏城桥

4 6 16 18 27 29

30.4 30.5 30.8 30.7 29.5 30.4

37.4 37.2 38.5 39.0 37.6 38.5

32.4 31.9 34.0 34.6 34.0 34.2

马坡岭

4 6 16 18 27 29

30.2 30.3 30.4 30.7 29.2 30.0

35.8 35.9 37.1 37.5 36.5 37.4

32.3 32.7 33.7 34.0 33.6 34.2

首先判断这是一个什么模型，然后对上述记录结果，做无重复三因素交叉分组方差分析。 答：程序和结果如下：

options linesize=76 nodate; data changsha;

infile 'e:\\data\\exr9-13e.dat'; do place=1 to 5; do date=1 to 6; do time=1 to 3;

input temp @@; output; end; end; end; run;

proc anova;

class place date time;

model temp=place date time; run;

The SAS System

Analysis of Variance Procedure Class Level Information

Class Levels Values

PLACE 5 1 2 3 4 5

DATE 6 1 2 3 4 5 6

TIME 3 1 2 3

Number of observations in data set = 90

The SAS System

Analysis of Variance Procedure

Dependent Variable: TEMP Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F

Model 11 741.251556 67.386505 148.38 0.0001

Error 78 35.424444 0.454160

Corrected Total 776.676000

R-Square C.V. Root MSE TEMP Mean

0.954390 2.002120 0.67391 33.6600

Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F

PLACE 4 15.761556 3.9403 8.68 0.0001 DATE 5 22.024000 4.404800 9.70 0.0001

TIME 2 703.466000 351.733000 774.47 0.0001

从结果来看，地点、日期和时间都是极显著因素。以上结果可以归纳成下表：

变差来源 地 点 日 期 时 间 误 差 总 和

9.14 已知一个有重复二因素固定模型方差分析表如下：

变差来源 A因素

平方和 114

自由度 3

均方 38

F 4.75*

平方和 15.761 556 22.024 000 703.466 000 35.424 444 776.676 000

自由度 4 5 2 78

均方 3.940 3 4.404 800 351.733 000 0.454 160

F 8.68 9.70 774.47

P 0.000 1 0.000 1 0.000 1

B因素 A×B 误 差 总 和

注：*α=0.05。**α=0.01。

108 378 128 728 3 9 16 31 36 42 8 4.50* 5.25**

若由于实验者缺乏足够的生物统计学知识，错误地使用了重复平均数做无重复的方差分析，上述方差分析表中的各项值有何变化？说明什么问题？

答：如果用重复的平均数计算，将得到以下方差分析表：

变差来源 A因素 B因素 误 差 总 和

平方和 57 54 1 300

自由度 3 3 9 15

均方 19 18 21

F 0.91 0.86

这样计算会产生以下后果：若两因素间存在交互作用而不设置重复，这时作为误差的残余项包含着A、B因素间的交互作用，其结果①交互作用不能检出，结果②若交互作用是显著的话，会降低检验主效应的F值，检验效率降低。本来显著的两个主效应，有可能检验不出来，正像本例那样。

另一个后果是，如果实验设置了n次重复，说明实验者投入了n倍的经费、时间和人力。目的就是为了检验交互作用，如果利用平均数做方差分析，其后果事倍功半。

9.15 在一个两因素无重复交叉分组实验中已知：

2sx1.0,i1,2,3;i2sx220,j2j1,2,,10;sx207ij。

根据以上数据列出方差分析表。

答：变差分别为： SSA＝1×2×10＝20

SSB＝220×9×3＝5 940 SST＝207×29＝6 003

变差来源 A因素 B因素 误差 总和

平方和 20 5940 43 6003

自由度 2 9 18 29

均方 10 660 2.4

*

275** F 4.17

注：*α=0.05。**α=0.01。

9.16 已知一个三因素实验的统计模型为：

i1,2,,aj1,2,,byijklijkijikijklk1,2,,cl1,2,,n

其中，A，C为固定因素，B为随机因素。写出各因素及交互作用的均方期望并给出它们的

检验统计量。

答：各因素的均方期望：

因素

F a i

R b j

F c k

R n l

均方期望 σ2+cnσ2αβ+bcnη2α σ2+acnσ2β σ2+abnη2γ σ2+cnσ2αβ σ2+bnη2αγ σ2

αi βj γk (αβ)ij (αγ)ik ε(ijk)l

0 a a 0 0 1

b 1 b 1 b 1

c c 0 c 0 1

n n n n n 1

检验统计量分别为：

FAMSABFMSACMSAFMSBFMSCFACBCMSE MSEMSEABMSEMSAB

9.17 为了检测三种肥料A1、A2、A3在不同类型土壤中的肥效，随机选择了三种不同的土壤B1、B2、B3，设计一交叉分组试验。以小麦为指示植物，统计盆栽产量。所得方差分析表如下：

变差来源

肥 料 土 壤 肥料×土壤 误 差 总 和

平方和 179.45 3.96 19.17 16.70 219.28

自由度 2 2 4 18 26

均方 .73 1.98 4.79 0.93

F 96.48 2.13 5.15

以上方差分析表存在严重错误，在方差分析表的空白处，予以纠正，并相加解释。 答：对于混合模型，固定因素是用交互作用检验的，即F肥＝18.73。而本题却按固定模型检验的，这是一个严重的错误。

9.18 一个两因素混合模型实验（A固定，B随机），因素A、B间存在交互作用，但设计者没有设置重复，问该结果对结论会有什么影响？请用检验统计量及均方期望解释。

答：有重复混合模型的均方期望分别为： E(MSA)=σ2+nσ2αβ+bnη2α E(MSB)=σ2+anσ2β E(MSAB)=σ2+nσ2αβ

E(MSE)=σ2 则

当无重复时：则

FAMSAMSABFBMSBMSEFABMSABMSE

1．A、B间交互作用无法检验。因无重复，无法得到真实的MSE。在无重复的实验中，残余项中不仅包含误差，还包含交互作用。

2．FA是用MSAB 检验的，MSAB是残余项，即用残余项检验A因素。在无重复的实验中，因素A是用MSE检验的，这时的MSE即残余项，与有重复时是一样的。因此，对因素A的结论影响不大。

3．B因素是用MSE检验的。在不设置重复时，B因素是用残余项（MSAB）检验的，若MSAB是一个显著因素，就有可能使本来显著的B因素，其显著性不能被检验出来。

9.19 已知大白鼠品系与雌激素注射量之间不存在交互作用。选择4个大白鼠品系和三个雌激素注射量，构成一无重复交叉分组实验设计，记录子宫重量，原始数据减去80以后构成下表：

1 品 系 2 3 4 0.2 26 -38 -10 -38 -60 ij剂 量 0.4 36 -12 31 -17 38 1 444 26 903 0.8 65 35 53 -13 140 19 600 8 428 yiij yiji 2yi2il 127 -15 74 -68 118 24 4 14 782 16 129 225 5 476 4 624 6 197 2 813 3 870 1 902 yj26 454 14 782 2yijj 3 600 3 6 yj2il 得到以下方差分析表：

F 变差来源 平方和 自由度 均方

品 系 5 000.57 3 1 666. 10.38 剂 量 7 657.67 2 3 828.84 23.85 误 差 963.33 6 160.56 总 和 13 621.67 11

以上结果正确吗？为什么？

答：品系和剂量的平方和颠倒了，以至于后来的结果都错了。正确的结果如下：

F 变差来源 平方和 自由度 均方 品 系 7 657.67 3 2 552.56 15.90 剂 量 5 000.57 2 2 500.33 15.57 误 差 963.33 6 160.56 总 和 13 621.67 11

9.20 下面给出一个试验结果（死虫数）及其方差分析表[63]：

药 剂

浓 度 200倍液 600倍液 800倍液 1 600倍液 3 200倍液 21.44 19.78 17. 11.78 4. 绿宇

19.22 17.67 15.33 11.44 3.56 卵螨同除

17.78 16.78 13.56 11.00 2.33 灭扫利

文中所给出的方差分析表如下：

变异来源

药剂间 浓度间 机误 总变异 df 4 2 8 14 ss 20.79 490.58 3.82 515.19 MS 5.2 245.29 0.48 F 10.90 514.28 F0.05 3.84 9.55 F0.01 7.01 30.82 请同学们分析一下，方差分析表中存在什么错误？

答：药剂间的自由度应为“2”，而不是“4”；浓度间的自由度应为“4”而不是“2”。由于

自由度搞错了，造成F的临界值也查错了。即使按错误的自由度查临界值，其结果也不对。药剂间的临界值是“对”的，但浓度间的临界值出现明显错误。“正确”的应当是：F2,8,0.05＝4.459，F2,8,0.01＝8.9。