全国三卷理科数学

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1. 已知集合A{1,0,1,2}，B{x|x21}，则AB

A. {-1,0,1}

B. {0,1}

C. {-1,1}

D. {0,1,2}

2. 设z(1i)2i，则z

A. 1i

3. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大 名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游 记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且 阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值 的估计值为

4. (1 + 2x2)(1 + x)4的展开式中x3的系数为

A. 12

B. 16

A. 0.5B. 0.6C. 0.7

D. 0.8

B. 1i

C. 1i

D. 1i

C. 20 D. 24

5. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a53a34a1，则a3

A. 16

B. 8

C. 4

D. 2

6. 已知曲线yaexxlnx在点(1,ae)处的切线方程为y2xb，则

A. ae，b1 C. ae-1，b1

B. ae，b1

D. ae-1，b1

2x37. 函数yx在[-6,6]的图像大致为

22x

A.

8. 如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为

正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段

B.

C.

D.

ED的中点，则

A. BMEN，且直线BM、EN是相交直线 B. BMEN，且直线BM、EN是相交直线

C. BMEN，且直线BM、EN是异面直线 D. BMEN，且直线BM、EN是异面直线

9. 执行右边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的s的值等于

A. 2B. 2C. 21 241 521 261 72D. 2x2y21的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标 10. 双曲线C:42原点。若|PO| = |PF|，则PFO的面积为

324

322

A.

B.

C. 22

D. 32

11. 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,)单调递减，则

312A. f(log3)f(2)f(23)

42313B. f(log3)f(2)f(22)

42

1C. f(2)f(2)f(log3)

43223

1D. f(2)f(2)f(log3)4

233212. 设函数f(x)sin(x)(0)，已知f (x)在[0,2]有且仅有5个零点。下述四个结论：

5① f (x)在(0,2)有且仅有3个极大值点 ③ f (x)在(0,A. ①④

② f (x)在(0,2)有且仅有2个极小值点

1229,) 51010)单调递增

④ 的取值范围是[

C. ①②③

B. ②③ D. ①③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知a、b为单位向量，且a·b = 0，若c2a5b，则cosa,c________。

S10_________。 S514. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a10，a23a1，则

x2y21的两个焦点，M为C上一点且在第一象限。若MF1F2为等腰三角15. 设F1、F2为椭圆C:3620 形，则M的坐标为__________。

16. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型。如图，该模型为长方体

ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的 中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，AB = BC = 6 cm，AA1 = 4 cm， 3D打印所用原料密度为cm3。不考虑打印损耗，制作该模型所需原料 的质量为_________ g。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17. （12分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两

组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液。每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比。根据试验数据分别得到如图所示直方图。

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到P(C)的估计值为。 （1）求乙离子残留百分比直方图中a、b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。

18. （12分）

ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知asin（1）求B；

ACbsinA。 2（2）若ABC为锐角三角形，且c = 1，求ABC面积的取值范围。

19. （12分）

图1是由矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB = 1，BE = BF = 2，FBC60。将其沿AB、BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2。 （1）证明：图2中的A、C、G、D四点共面，且平面ABC平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小。

20. （12分）

已知函数f(x)2x3ax2b。

（1）讨论f (x)的单调性；

（2）是否存在a、b，使得f (x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1若存在，求出a、b的所 有值；若不存在，说明理由。

21. （12分）

x21已知曲线C:y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A、B。

22（1）证明：直线AB过定点；

5（2）若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积。

2

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计

分。

22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

3如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,)，D(2,)，弧 所在圆的圆

44

(1,)、(1,)，曲线M1是弧 ，曲线M2是弧 ，曲线M3是弧 。 心分别是(1,0)、2（1）分别写出M1、M2、M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1、M2、M3构成，若点P在M上，且|OP|3，求P的极坐标。

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）

设x、y、zR，且xyz1。

（1）求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；

（2）若(x2)2(y1)2(za)213成立，证明：a3或a1。