２０１ ０年 第７－８期 ＼ Ｊｏｕｒｎａ１ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｅｄｕｃａｔｉ０ｎ Ｎ０．７—８ ２０１０ 田明泉（山东师范大学附属中学） 刘红升（山东省胶州Ｉ实验中学） 摘要：笔者通过考点扫描、真题再现、亮点一瞥、复习建议四 一、考点扫描 部分对集合与常用逻辑用语在高考中的定位、要求给出了明晰的论 述，对该部分试题的典型解法和错解陈述了原因，点评了一些较有 １．新课程考试大纲的考试内容与要求 （１）集合的含义与表示． 新意的试题，并针对集合与常用逻辑用语提出了具体的复习建议． 关键词：集合；常用逻辑用语；典型解法；复习建议 ①了解集合的含义、元素与集合的属于关系． ②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法） 描述不同的具体问题． （２）集合间的基本关系． 在（监通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》） 中“集合与常用逻辑用语”是这样描述的：“集合语言是现代数 些内容．正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素 质．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地 运用逻辑用语表达自己的思维．” ①理解集合之问的包含与相等的含义，能识别给定集合的 ②在具体睛境下，了解全集与空集的含义． （３）集合的基本运算． ①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合 学的基本语言．使用集合语言，可以间接、准确地表达数学的一 子集． 准》对于这部分的学习要求也很明确：高中数学课程只 的并集与交集． 将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语 生将在义务教育阶段的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑 用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数 ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子 ③能使用韦恩（Ｖｅｎｎ）图表达集合的关系及运算． （４）命题及其关系． ①理解命题的概念． 言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．学 集的补集． 学内容，更好地进行交流．不难看出“集合与常用逻辑用语”学 习的重要性、基础性、工具性和学科性的特点． ②了解“若Ｐ，则ｑ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆 ③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． （５）简单的逻辑联结词． 从新课程高考数学试卷来看， “集合与常用逻辑用语”部 否命题，会分析四种命题的相互关系． 分的考查，基本上是在两个层面命题．一是简单的送分题，以考 查集合的概念、简单运算、全称量词、存在量词、命题和充要 条件为主，题量基本固定１－２个，题型为选择题或填空题；二 了解逻辑联结词“或”、 “且”、 “非”的含义． （６）全称量词与存在量词． ①理解全称量词与存在量词的意义． ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定． ２．考试内容与要求的分析 是综合性的能力题，以“集合与常用逻辑用语”部分的知识为 数学语言载体，突出鲜明的数学学科特点，综合其他数学知识 方法的全面考查，题量不定，题型通常为选择题、填空题的压 轴题或解答题．因此，“集合与常用逻辑用语”的复习要注意其具 有的基础性和普遍性，也要关注其广泛应用的工具性和学科性． 收稿日期：２０１０—０６—２６ 从《考试大纲》不难看出，对集合、四种命题和逻辑联结 作者简介：韩际清（１９６２一），男，山东济宁人，中学高级教师．山东省教学研究室中学数学教研员，山东师范大学教育硕士研究生导师．主要 从事数学教育与中学教学研究． １ ４ 词的概念只需考生了解即可，对于集合的包含、运算以及命题 般在高考中，常以选择题或填空题的简单题（送分题）的面Ｅ 和充要条件、量词要求理解，重在应用．会求两个简单集合 出现，这也容易造成人们忽视或不重视这部分内容的复习．作 的并集与交集和给定子集的补集，能使用韦恩图表达集合的 数学语言工具的“集合与常用逻辑用语”渗透在高中数学学乏 关系及运算．理解必要条件、充分条件与充要条件以及全称 的方方面面，可以说任何一部分数学内容的学习都离不开数掣 量词与存在量词的意义，能正确地解答含有一个量词的命题 语言的理解和应用，也就是“集合与常用逻辑用语”的应用． 的否定命题． 因为数学学习的过程就是数学语言的学习和应用的过程．区 我们注意到复习“集合与常用逻辑用语”内容的基础性和 此，除了单独复习“集合与常用逻辑用语”这个专题以外， 工具性．作为基础知识的“集合与常用逻辑用语”要求不高，一 其他专题复习的过程中，要深刻地领会其数学语言的作用．３．考点与分值分布 ＼＼ ＼卷别知识点 、＼ ＼＼ 集合的概念和运算 题量‘ 题全称存在量词命题及四种命题 题量 题型 分值 题量 充要条件 题型 分值 合计 题量 分值 型 分值 文 新课程全国卷 理 １ ２ Ｘ ｝５ ｘ／。 １０ １ Ｘ ５ １ １ １ Ｔ ４ ｌ Ｘ Ｘ Ｘ ５ ５ ５ ２ ３ １０ １５ 文 １ １ Ｘ Ｘ ５ ５ ２ ３ １０ １４ 山东卷 理 文 ２ ｌ Ｘ ● １０ ５ ｌ ｌ ５ ５ ３ ２ １５ １０ 广东卷 理 Ｘ 江苏卷 文 辽宁卷 理 ｌ ｌ ｌ Ｔ Ｘ Ｘ ５ ５ ５ １ １ Ｘ ５ １ Ｘ ５ ５ ｌＯ １０ ２ ２ 文 １ １ Ｘ Ｘ ５ ５ １ １ Ｘ Ｘ ５ ５ ２ ２ １０ １０ 天津卷 理 文 １ １ Ｘ Ｘ ５ ５ １ １ Ｘ Ｘ ５ ５ ２ ２ １０ １０ 安徽卷 理 文 ｌ ｌ Ｘ Ｘ ５ ５ １ １ Ｘ Ｘ ５ ５ ２ ２ １０ １０ 浙江卷 理 文 ２ １ Ｘ Ｘ ５ ５ １ Ｘ ５ ２ ２ １０ １０ 福建卷 理 文 ｌ １ Ｘ Ｘ ５ ５ １ Ｘ ５ ｌ ２ ５ １０ 北京卷 理 文 １ ｌ Ｘ Ｘ ５ ５ ｌ １ Ｘ Ｘ ５ ５ ２ ２ １０ １０ 陕西卷 理 文 ２ １ Ｔ Ｘ １０ ５ ｌ １ Ｘ Ｘ ５ ５ ３ ２ ｌ５ １０ 湖南卷 理 文 １ １ Ｔ Ｔ ４ ４ １ １ Ｘ Ｘ ５ ５ ２ ２ ９ ９ 上海卷 理 （注：表中符号含义ｘ——选择题， 卜填空题） 从以上表格可以看出， “集合与常用逻辑用语”是新课程 （Ａ）（０，２） （Ｃ）｛０，２｝ （Ｂ）［０，２］ （Ｄ）｛０，１，２｝ 高考数学必考内容，题量一般是２～３个，题型多为选择题或填 空题，分值大约在１０分左右，而且，文理科这部分试题相同或 略解：此题主要考查集合的概念及交集运算，要注意集合 相近．由于“集合与常用逻辑用语”是数学语言的基础，其分布 中的元素．答案选Ｄ． 广泛，以上统计不包括那些作为数学语言的“集合与常用逻辑 例７（安徽卷・理２）若集合Ａ＝｛ ｌｌｏｇｌ ｘ≥ ｝，贝呃ＲＡ＝ 用语”表述问题的试题． 二、真题再现 １．集合的概念与基本运算 这类试题以考查集合的基本概念和运算为主，要求低。通 常作为试卷的入门题，起着稳定考生情绪的作用，因此，绝大 多数考生都能得分． （１）以考查集合的交、并、补运算为主． 例１ （山东卷・文１）已知全集Ｕ＝Ｒ，集合 ＝ ｚ一４≤０｝， 贝『Ｊｃ ＝（ ）． （Ａ）｛ ｌ一２＜ ＜２｝ （Ｂ）｛ ｆ一２≤ ≤２｝ （Ｃ）｛ ｌ ＜一２或 ＞２｝ （Ｄ）｛ Ｉ ≤一２或 ≥２｝ 略解：此题主要考查补集的基本概念与运算以及一元二次 不等式的解法．答案选Ｃ． 例２（山东卷・理１）已知全集Ｕ＝Ｒ，集合 ＝｛ Ｉ Ｉ 一１ Ｉ≤２｝， 贝呃 ＝（ ）． （Ａ）｛ ｌ一１＜ ＜３｝ （Ｂ）｛ ｌ一１≤ ≤３｝ （Ｃ）｛ Ｊ ＜一１或 ＞３｝ （Ｄ）｛ Ｉ ≤一１ ≥３｝ 略解：此题主要考查补集的概念与运算以及绝对值不等式 的概念．答案选ｃ． 例３（广东卷・文１）若集合Ａ＝｛０，１，２，３｝，Ｂ＝｛１，２，４｝， 则集合ＡＵＢ＝（ ）． （Ａ）｛０｝ （Ｂ）｛ｌ，２｝ （Ｃ）｛１，２，３，４｝ （Ｄ）｛０，１，２，３，４ｆ 略解：此题主要考查集合的基本概念及取并集运算．答案选Ｄ． 椤０４（广东卷・理１） 集合Ａ＝｛ ｌ－２＜ ＜１｝，Ｂ：｛ １０＜ ＜２｝， 则集合Ａｎ曰：（ ）． （Ａ）｛ Ｉ一１＜ ＜１｝ （Ｂ）｛ Ｉ一２＜ ＜１｝ （ｃ）｛ Ｉ一２＜ ＜２｝ （Ｄ）｛ １０＜ ＜１｝ 略解：此题主要考查集合的基本概念及取交集运算．答案选Ｄ． 例５（安徽卷・文１）若Ａ＝｛ Ｊ ＋１＞０｝，Ｂ＝｛ Ｊ 一３＜０｝， 则集合Ａｎ曰＝（ ）． （Ａ）（一１，＋ ） （Ｂ）（一。。，３） （Ｃ）（一１，３） （Ｄ）（１，３） 略解：此题主要考查集合的基本概念和交集运算．答案选Ｃ． 注意：以考查集合的交、并、补运算为主，问题求解难度 虽然不大，但是，在求补集时，要注意端点值的取舍． （２）在考查集合运算的同时，综合其他数学知识． 例６（新课程全国卷・理１）Ａ＝｛ Ｊ Ｉ ｌ≤２， ∈Ｒ｝，Ｂ＝ ｛ Ｊ ≤４， ∈Ｚ｝，贝４Ａ ｒ３Ｂ＝（）． １ ６ （ ）． （Ａ）（ ｏ￣ｏ（Ｃ一）（Ｂ）（孚一） （ｃ）（－ ＇０］ｕ［孚一）（Ｄ）［孚一） 略解：此题主要考查补集的运算、函数定义域和对数函数 的单调性．答案选Ａ． 注意：例６中集合Ｂ的元素是整数．例７求解时易忽略 ＞０． 但是，由于是选择题，学生可以利用选项意识到对数函数的定 义域．此题若作为填空题出错率会大大增加． ２．常用逻辑用语与充要条件 由于这类题目通常不可能存在，要依托其他数学知识 和方法，故此类题目有一定的综合性． （１）常用逻辑用语． 例８（天津卷・理３）命题“若 （ ）是奇函数，则 （ ）是 奇函数”的否命题是（ ）． （Ａ）若厂（ ）是偶函数，则．厂（一）是偶函数 （Ｂ）若厂（ ）不是奇函数，则．厂（一）不是奇函数 （ｃ）若厂（ ）是奇函数，则．厂（ ）是奇函数 （Ｄ）若，（一 ）不是奇函数，则，（ ）不是奇函数 略解：此题主要考查否命题的知识，考查学生基础知识和 推理能力．答案选Ｂ． 例９（天津卷・文５）下列命题中，真命题的是（ ）． （Ａ）ｊｍ∈Ｒ，使函数ｆ（ｘ）＝ ＋ （ ＥＲ）是偶函数 （Ｂ）｜ｍ Ｒ，使函数ｆ（ ）： ｚ＋懈（ ∈Ｒ）是奇函数 （Ｃ）Ｖｍ∈Ｒ，函数ｆ（ｘ）＝ ｚ＋眦（ ＥＲ）．都是偶函数 （Ｄ）Ｖｍ∈Ｒ，函数ｆ（ｘ）＝ ：＋臌（ ∈Ｒ）都是奇函数 略解：此题主要考查全称命题和存在性命题、函数的奇偶 性及命题真假的判断．答案选Ａ． 例１０（湖南卷・理２）下列命题中的假命题是（ ）． （Ａ）Ｖ ∈Ｒ，２ 一 ＞０ （Ｂ）Ｖ ＥＮ ，（ 一１） ＞０ （Ｃ）ｊ ∈Ｒ，ｌｇｘ＜１ （Ｄ）了 ∈Ｒ，ｔａｎｘ＝２ 略解：此题主要考查全称命题与特称命题，以及指数函数、 二次函数、对数函数图象性质和正切函数求值．答案选Ｂ． 例１１ （新课程全国卷・理５）已知命题Ｐ ：＇，＝ 一２ 在Ｒ 为增函数；ｐ２：，，＝ ＋２ 在Ｒ为减函数，则在命题：ｑｌ：ＰｔＶｐ：， ｑ２：ｐ１Ａｐ２，ｑ３：（ ｐ ）Ｖｐ２，ｑ４：Ｐ１Ｖ（ ｐ２），真命题是（ ）． （Ａ）ｑｌ，ｑ３ （Ｂ）ｑｚ，ｇ３ 【Ｃ）ｑｌ，ｇ４ （Ｄ）ｇ２，ｇ４ 略解：此题主要考查命题、否定命题的概念、复合命题的 “首项大于零且公比大于１，或首项小于零且公比大于零小于１．” 判断，考查函数的奇偶性、单调性．由题设，Ｐ。显然是真命题， 同时请注意对比等差数列增减的充要条件，以及它们与函数增 因为Ｐ 对应的函数是不恒为零的偶函数，故其没有单调性，所 减性之间的关系．例１５难点在要注意到０＜ ＜ 时，ｓｉｎ ＜ｓｉｎｘ． 以Ｐ 是假命题．答案选ｃ． 二 注意：虽然此类题难度不大，但是考查知识面广，重点考 ３．作为数学语言基础的集合与常用逻辑用语 查学生有关命题的真假判断、全称和存在性命题等数学基础知 此类题目体现了“集合与常用逻辑用语”的工具作用，许 识和基本方法． 多试题求解前需要正确地审题和理解，需要常用逻辑的知识， （２）充要条件． 这正是 准》设置这部分学习内容的主要目的，也充分地体 例１２（山东卷・文７）设｛ ｝是首项大于零的等比数列，则 现数学学科特色．因此，这部分试题具有一定的灵活性和综合 “ ＜啦”是“数列｛ ｝是递增数列”的（ ）． 性，我们要像学习其他语言那样，在应用的过程中不断地巩固 （Ａ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 和加深对“集合与常用逻辑用语”的理解． （Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 例１６ （山东卷・理１４）若对任意 ＞０，—，＿一十—｝— ≤Ⅱ ｊ 十ｌ 略解：本题主要考查充要条件、等比数列和等比数列递增 恒成立，则ｎ的取值范围是． 的概念．若首项大于零的等比数列中，“Ⅱ。＜ ’，则ｑ＞１且ａｎ＞０， 略解：此题主要考查对于全称量词的理解，考查常量与变 ∈Ｎ＋），故％＜％＋。；反之显然成立．答案选Ｃ． 量之间的关系． 例１３（山东卷・理９）设｛ ｝是等比数列，则“ｏ。＜啦＜ａ３” 是“数列ｔ％｝是递增数列”的（ ）． 因为对任意 ＞０， — —＿≤ａ等价于左边函数的最大 一十ｊ ＋１ ． （Ａ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 值小于或等于ｏ． （Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 略解：此题同例ｌ２是姊妹题．若在等比数列中，“吼＜ ＜ 由 ｝ ＝ ≤ １，可得答案［ ，＋。。） ｎ３”，则当ａｌ＞０时，可得ｑ＞１，故数列｛ ｝是递增数列；当Ⅱ。＜０ 时，可得０＜ｑ ＜ｑ＜１，故数列｛％｝是递增数列．反之显然成立． 例１７ （北京卷・理６）ａ、 为非零向量．“ａ上６”是“函数 ｆ（ｘ）＝（棚＋西）上（ｘｂ—ａ）为一次函数”的（ ）． 答案选Ｃ． 例１４ （福建卷・文８）若向量ａ＝（ ，３）（ ∈Ｒ），则 （Ａ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 “ ）． （Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 ＝４”是“ｌａ Ｉ＝５”的（（Ａ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 略解：此题主要考查充要条件的概念、向量的运算和一次 （Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 函数的定义． 略解：此题主要考查充要条件、向量模的运算．『ａ Ｉ＝５的 充分性：因为ｆ（ｘ）＝ ＋（ｂ 一ａＺ）ｘ—ａｂ，若 ＝０，则ｂ 一 充要条件是： ＝±４．答案选Ａ． ｎ２可能为０，故充分性不成立． 必要性：厂（ ）为一次函数，则必有ａｂ＝０，且６ 一 ≠０．故 例１５ （浙江卷・理４）设０＜ ＜ ＂ＩＴ，则“ｘｓｉｎ２ｘ＜１”是 必要性成立． “ｘｓｉｎ ＜１”的（ ）． 答案选Ｂ． （Ａ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 例１８（新课程全国卷・理８）设偶函数＿厂（ ）满足ｆ（ｘ）＝ 一 （Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 ８ ≥０），则｛ 【，（ 一２）＞０｝＝（ ）． 略解：此题主要考查充要条件和不等式性质，涉及三角函 （Ａ）｛ ＜一２或 ＞４｝ （Ｂ）｛ Ｉ ＜０或 ＞４｝ 数值的范围等问题．因为０＜ｓｉｎ ＜１，对于ｘｓｉｎ ＜１，则必有 （Ｃ）｛ ｌ ＜０或 ＞６｝ （Ｄ）｛ ｌ ＜一２或 ＞２｝ ｘｓｉｎ￣＜ｘｓｉｎ ＜１，故必要性成立．显然反之，即充要条件不一 略解：此题主要考查集合表示不等式的解集、偶函数的对 定成立．答案选Ｂ． 称性和函数图象平移．答案选Ｂ． 注意：对于充要条件问题的求解，只需双向验证即可．即由 例１９（辽宁卷・文４）已知０＞０，ｆ（ｘ）＝ ＋ ＋ｃ，若‰ 命题Ｐ可以推出命题ｑ，且命题ｑ不能推出命题Ｐ，则命题ｐ就 满足关于 的方程２ｏｘ＋ｂ＝０，则下列选项的命题中为假命题的 是命题ｑ的充分不必要条件，同时命题ｑ也是命题Ｐ必要不充 是（ ）． 分条件；若由命题Ｐ可以推出命题ｑ，且命题ｑ也能推出命题 （Ａ） ∈Ｒ，ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘｏ） Ｐ，则命题Ｐ就是命题ｑ的充分必要条件，同时命题ｑ也是命题 （Ｂ） ∈Ｒ，ｆ（ｘ）≥－厂（ ｏ） Ｐ充分必要条件，简称充要条件． （Ｃ）Ｖ ∈Ｒ，ｆ（ｘ）≤，（ ｏ） 其中，例１２考查的考点是一个等比数列递增的充要条件． （Ｄ）Ｖ ∈Ｒ，ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘｏ） １ ７ 略解：此题主要考查充要条件、命题真假的判断、全称命 ｆ。＝１， 题和存在性命题、二次函数图象性质・ ｛６ ＝１，时，６＋ｃ＋ 等于（ ）・ 对于ｌ，（ 其对称轴一 ， 卟 ） （Ｂ）一 （Ｃ）。 （Ｄ）ｉ 若２ａｘ０＋ｂ＝０，则‰＝一 ，必有对Ｖｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）≥，（ ｏ）； 反之，对Ｖｘ Ｒ，／（州＞－ｆ（ｘ。），则必有 。：一 ，故答案选Ｃ． 例２０（辽宁卷・理１１）已知ａ＞０，则‰满足关于 的方 程ＯＸ，＝ｂ的充要条件是（ （Ａ） ∈Ｒ， 略解：此题主要考查集合与集合元素的概念，简单的复数 运算，新定义概念——集合对运算的封闭性．构思新颖，有一定 的难度． 由集合的元素的互异性知：ｂ＝一１，ｃ＝＋ｉ． 若Ｃ＝ｉ，则由“Ｖ ，Ｙ∈Ｓ，ｘｙ∈Ｓ”可求得ｄ＝一ｉ； ）． 似 一ｂｘ≥ 眦 —ｂｘ０ 若ｃ＝一ｉ，则由“Ｖ ，Ｙ∈Ｓ，ｘｙＥＳ”可求得ｄ＝ｉ． 故答案选Ｂ． （Ｂ）ｊ ∈Ｒ，—１眦２一ｂ ≤ 一戳３一ｂ 。 （Ａ）Ｖ ∈Ｒ， ２一ｂ ≥ １似 —ｂ 。 例２２（广东卷・文１Ｏ）在集合｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝上定义两种运 算０和 如下： （Ａ）Ｖ ∈Ｒ， １麟２一ｂ ≤ １似 一６‰ 略解：此题主要考查充要条件、全称命题和存在性命题及 二次函数图象性质． 分析知：对于，（ ）＝ ∞ ｂｘ，其对称轴 ＝ ， 那么ｄ０（ｏ０ｃ）＝（ （Ａ）ａ （Ｂ）ｂ ）． （Ｃ）ｃ （Ｄ）ｄ 故，（ ）≥，（ ）恒成立． 若 。：ｂ，则 。＝ ，必有对Ｖｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）≥＿厂（ 。）； 反之，对Ｖ Ｒ，ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ。），则必有 。＝ ， 故答案选Ｃ． 注意：作为数学语言的“全称量词”在例ｌ６题设中起的作 略解：此题主要考查集合的概念、对新定义运算的理解． 因为ｄ （ｎ０ｃ）＝ｄ＠Ｃ＝ａ．答案选Ａ． 例２３（湖南卷・文ｌ５）若规定Ｅ＝｛ａ ，啦，…， ｝的子 集｛ａ／，，ａ６，…， ｝为Ｅ的第ｋ个子集，其中ｋ＝２ ’＋２ ＋…＋ ２ｉｏ～，则 （１）｛ａ ，劬｝是Ｅ的第个子集； ． 用，这类题目在高中数学中比较常见．请大家注意它与山东卷理 科第２２题第（２）问的区别．例１７以充要条件为载体，综合地考 查了平面向量运算、一次函数等多个知识点，难度适中．例ｌ９ 和例２０可能学生不能联系到二次函数图象．当然，转化为代数 形式利用判别式也可以证明出来（如果知道答案是Ｃ，可能不 难证明），但对于如何确定选项就比较有难度．此题难点在把数 形结合思想上． 三、亮点一瞥 （２）Ｅ的第２１１个子集是 略解：此题主要考查子集概念，用２的方幂表示一个整数． （１）因为２ ＋２’ ＝５，所以｛ａ。，ａｚ｝是Ｅ的第５个子集； （２）因为１２８：２ ＜２１１＜２ｓ＝２５６，且２１１：２ ＋２ ＋２ ＋２＋２。， 所以Ｅ的第２１１个子集是｛ａ ，啦，毋，嘶，Ⅱ８｝． 注意：例２ｌ考查集合对于运算的封闭性，运算中要注意集 运算． ２．作为数学语言的逻辑用语 学符号语言和图形语言联系起来，难在建立二次函数模型及数 合元素的互异性；例２３实际上是从集合的角度考查“二进制” 在每年的高考试题中，总有一些试题的设计颇具新意，让 例２４（山东卷・理２２）已知函数ｆ（ｘ）＝Ｉｎｘ一似＋ （ａ∈Ｒ）． 一１ 人眼前一亮，给人启迪．它们常常在考查高中数学知识方法的同 时，在题型设计、素材选择和设问技巧等方面，给人耳目一新 的感觉，留下深刻印象．这类题目常以考查学生的创新意识和数 （１）当。≤ 时，讨论，（ ）的单调性； 学能力为主，具有较高的区分度．以下是几个有关集合与常用逻 辑用语方面的创新题． １．在集合上定义新的运算 （２）设ｇ（ ）： 一２ｂｘ＋４，当０＝｝时，若对任意的 －∈ （０，２），存在 ：∈［１，２］，使＿厂（ 。）≥ｇ（ｘ ），求实数ｂ的取值 例２１ （福建卷・理９）对于复数口，ｂ，ｃ，ｄ，若集合Ｓ＝ 范围． ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝具有性质：“ ，Ｙ∈Ｓ，则必有ｘｙ∈Ｓ”．则当 略解：（１）略． １ ８ （２）本题主要考查全称量词、存在量词的理解和应用，考查 的考查有易、难两个层面．容易题通常是对于集合基本概念的考 函数在区间上的最值问题、转化与化归的思想方法．由题意，对 查，基本是试卷中前３个题目，难度较低，多属于送分题；对 任意的 ．Ｅ（０，２），存在 ：∈［１，２］，使ｆ（ｘ。）≥ｇ（ ），则等 于集合的考查方向以集合的交、并、补、子集运算为主；知识 价于“ｇ（ ）在［１，２］上的最小值不大于，（ ）在（Ｏ，２）上的最 上多是集合与不等式交会，适当地涉及幂、指、对数函数单调 小值”． 性等其他知识，控制其难度． 常用逻辑用语的题目大都是与其他知识综合，如函数性质、 二次函数问题、不等式性质解法、数列单调性、方程零点等问 当Ⅱ＝｝时，由（１） 。＝１， ：＝３岳（０，２）， 所以当 当 （０，１）时，／ （ ）＜０，函数，（ ）单调递减； （１，２）时，／ （ ）＞０，函数，（ ）单调递增． 题与充要条件交会，这些交会题目个别难度较大，主要是难在 综合性及其他知识方法上，就逻辑本身的部分难度不大，但是 有些题目一旦是多个知识交会往往难度升高；命题的真假判断、 复合命题、全称命题与特称命题的否定等基本概念考查也较多； 纯粹考查逻辑用语的题目几乎没有，这不是我们中学学习和考 以上“集合与常用逻辑用语”的试题中，较有新意，值得 思考的题目有山东卷理科第９题充要条件与数列的单调性、辽 故／（ ）在（０，２）上存在最小值ｆ（１）＝一 ． 即ｇ（ ）一≤一 １．（ ） 解法１：因为ｇｘ）Ｘ２ ２ｂｘ＋４＝（ —ｂ） ＋４一ｂ ， ∈［１，２］， 查逻辑用语的方向．所以 ①当ｂ＜１时，ｇ（ ） ＝ｇ（１）＝５—２ｂ＞０，不满足（｝）； ②当１≤ｂ≤２时，ｇ（ ） ＝ ｂ）＝４一ｂ ≥０，不满足（ ）； 宁卷文科第４题和理科第１ １题全称命题与存在性命题和二次函 ③当６＞２时，ｇｘ）～＝ｇ（２）＝８—４６≤一 １，解得６≥ １７． 数性质、新课程全国卷理科第５题命题运算与函数性质、浙江 卷理科第４题充要条件与三角函数、北京卷理科第６题充要条 综上，６≥ １７． 件与平面向量、福建卷理科第９题集合对运算的封闭性、山东 卷理科第２２题第（２）问题全称量词和存在量词的理解应用等．它 们在考查集合与逻辑用语的同时，综合其他高中数学知识，巧 妙设计解题思路，深刻全面地考查高中数学的思想方法． ２．贯穿复习过程，重视灵活应用 解法２：因为 ∈［１，２］存在，使ｇ（ ）＝ 一２ｂｘ＋４≤一 １， 所以存在 ［１，２３，６≥争＋ ． 又 ∈［１，２］时，＾（ ）： ＋— 单调递减， 所以 （ ） ＝＾（２）＝ 因此６≥ ． 根据以上分析，在中学数学教学和高三复习中，应该准 确地给学生定位．要根据《标准》和《标准》下的《考试大 ， ［１，２］ ＿纲》及《考试说明》的要求，抓住本专题的基础性和工具性 两个特点，在两个不同层面上，对高中数学知识进行系统、 全面地复习． 是对“集合与常用逻辑用语”的专题复习．平日练习难度 解法３：原命题的否定命题是：对于任意的 ［１，２３，ｇｘ）≥ ，（ ）一＝一 １． 一无需过大，其中涉及到的基本概念要清晰准确，基本方法要明 确熟练．如命题否定与否命题的区别、四种命题的关系、全称命 即对于任意的 ∈［１，２］，ｇ（ ）一＞一 １． 题与特称命题及其否定、复合命题的真假判断等．突出基础性和 普遍性；二是以“集合与常用逻辑用语”为数学语言载体的应 用．在复习高中数学内容的同时，注意“集合与常用逻辑用语” ￣）ｆｔ２￣ ｂ＜争＋ ， ∈［１，２３，日９６＜ ，因此６≥ ． 典型错误：对抽象的数学语言理解不到位．在（２）中，没有 起到的数学语言作用，尤其是全称命题与特称命题、反证法和 正确理解“对任意的 。∈（０，２），存在 ： ［１，２］，使＿厂（ ，）≥ 充要条件的证明等，抓住其工具性和学科性的特点，加强灵活 ：）”的含义，错误地按照“对任意的 ［１，２］，使 ）一≤ 及综合应用，把对“集合与常用逻辑用语”的复习贯穿于整个 高考复习过程之中． 参考文献： ＿厂（ ） ”求解． 注意：这个题目对考生抽象数学语言的要求较高，题干中 “任意”和“存在”这两个“全称”和“存在”性量词的正确理 解，对于解题起到关键作用，这也是当前中学数学教学和高考 ［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实 验）［Ｓ］．北京：人民教育出版社。２００３ 复习的一个盲点．这个问题许多考生理解不到位，极易与山东卷 理科第ｌ４题的解法相混． 四、复习建议 ［２］徐山洪，高建彪．２００９年高考数学试题分类解析（一） 集合与常用逻辑用语［Ｊ］．中国数学教育（高中 版），２ＯＯ９（７，８） １．加强概念理解，熟悉数学语言 总体看，新课程地区的高考题对于“集合与常用逻辑用语” ［３］王连笑．２００８年高考数学试题分类解析（一）一一集合 与函数［Ｊ］．中国数学教育（高中版），２ＯＯ８（７／８） １ ９
