平方差和完全平方公式培优讲义
教师寄语：
. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。而人的知识，品德 和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反 复对照一下自己的行为。 【知识精要】:
1．乘法公式：
平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2， 完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
2．运用平方差公式应注意的问题：
（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；
（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式． 如（a＋b－c）（b －a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］ =b2 －（a－c）
3．运用完全平方公式应注意的问题：
（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；
（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“ 2”倍；
（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．
【典例评析】:
例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m2n2； （2）(a+b-c)(a-b+c)
例2、计算：(a-2) (a+2) (a2+4)(a4+16)
100例3、计算： (1)201×198 ; (2)
99101199
例4、逆用平方差公式巧算：
(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－1)(1－12)(1－1)(1－12)(1－1)
35224262
2
例5.．已知xya,zy10,则代数式x2y2z2xyyzzx的最小值等于多
少？
【课堂精练（一）】:
1、计算：
(1)(a2b+5)( a2b-5) (2)(5x-2y2)( -5x-2y2)
(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)
(5)(x4+y4)(x2+y2)(x+y)(x-y)
2、平方差公式的逆用与巧用
(1)20102-2009×2011 (2)
2011 2201120102012
(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A，则A= ；
(5) 计算：12-22+32-42+„+992-1002；
【培优拓展】:
1、如果x-y=6，x2-y2=24,那么x+y= ; 2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，„11×13=122-1„请用N的式子表示规律：-----------------。 3、试确定3(22+1)(24+1) (28+1)(216+1)(232+1)+1的末位数字。
4.x为何值时,|x－3|+|x+2|有最小值,并求出这个最小值. .
1 1 2x－5xy+2y
5.已知 --- + ---- =5,则 ---------- = _______. x y x+2xy+y
【课堂精练（二）】:
1、计算：
(1)(x+2y)(x-2y)(x2-4y2); (2)(1a-3b)2(1a+3b)2;
22
(3)(2x-3y+4)( 2x+3y-4)
2、（1）已知x-y=9，xy=5，求x+y的值。
(2)已知x2+2(m-1)xy+16y2是完全平方式,求m的值。
3、计算：
(1)(a+3b)2-2(a+3b)(a-3b)+(a-3b)2; (2) 1(x+y+z)2+1(x-y-z)(x-y+z)-z(x+y)
22
4、已知a2+b2+c2-2(a+b+c)+3=0,求a3+b3+c3-3abc的值.
5、(1)已知x2-4x+1=0，求x2+
141 x+4的值。 x2x
a2b2 (2)已知a(a-1)+(b-a)=8,求ab的值。
2
2
【培优拓展】:
1、不论a、b为任何有理数，a2+b2-4a+2b+7的值总是（ ） A、负数； B、零； C、整数； D、不大于2
2、已知x2+y2-2xy-6x+6y+9=0，求x-y的值。
3、在多项式4x2+1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 。
4、已知a=1x+20，b=1x+19，c=1x+21，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值。
202020 5、（探究题）如图l－1－5所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）2
（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中的系数：
（a＋b）1=a +b； （a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3 +3a2 b+3ab2+b3
则（a+b）4 =____a4+____a3 b+___ a2 b2+_____a b3 +______b3
【数学故事】:
动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。
真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。
【课堂小测验】:
1.设a﹣b=﹣2，求
2．已知（x+y）=49，（x﹣y）=1，求下列各式的值：
（1）x+y； （2）xy．
3．已知x+=4，求x﹣的值．
4．已知：x+y=3，xy=2，求x+y的值．
5．已知a+b=3，ab=2，求a+b，（a﹣b）的值．
2
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2
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2
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的值．
6．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x+xy+y的值．
7．x﹣11x+1=0，求x+
2
2
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的值．
【快乐作业】:
1. 若a﹣2a+1=0．求代数式
2
的值．
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2. 已知实数a、b满足（a+b）=1，（a﹣b）=25，求a+b+ab的值． 3.已
，求下列各式的值：
（1）
（2）．
