衡水金卷2019年高考模拟数学(文)试题(四)附答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

文数（四）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A．

A0,1,3，Bxx1x20，则AIB（ ）

0 B．0,1,3 C．0,1 D．0,1,2

z3i12i（i是虚数单位），则z4i（ ）

2．若复数A．26 B．10 C．2 D．4

3．若a,b,cR，且ab，则下列不等式一定成立的是（ ）

c2abcc02222A．ab B．ab C．ab D．c1c1 4．下列结论中正确的个数是（ ）

x①“1sinx22”的充分不必要条件； 3”是“②命题“xR,sinx1”的否定是“xR,sinx1”； ③函数fxxcosx在区间0,内有且仅有两个零点.

A．1 B．2 C．3 D．0

25．已知关于x的不等式kx6kxk80对任意的xR恒成立，若k的取值范围为区间D，在区间

1,3上随机取一个数k，则kD的概率是（ ）

1111A．2 B．3 C．4 D．5 6．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（ ）

A．SSi B．SS11SSi C．SS2i D．2i

7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

16163A．3 B．3 C． D．16

8．已知某函数在

,上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）

sinxycosxxylncosxysinxxy2A． B． C． D． 9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四

1EF∥AB2边形ABCD为正方形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，AB4，，若这个刍40甍的体积为3，则CF的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，acosBbcosA2ccosC，c7，且ABC的面积

33为2，则ABC的周长为（ ）

A．17 B．27 C．47 D．57 x2y2E:221ab0F1,F2Fab11．设分别是椭圆的左，右焦点，过点1的直线交椭圆E于A,B两点，若AF1F2BF1F2的面积是的三倍，cosAF2B35，则椭圆E的离心率为（ ）

3212A．2 B．3 C．2 D．2 0,fxfxfxsinxfxcosx012．已知定义在区间2上的函数，为其导函数，且恒成立，则

（ ）

f2f3f2f6 B．43 A．23fff12fsin163 D．6 C． 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为 ．

rrrrrrarr7,b4ab614．已知平面向量a,b，，且，则a在b方向上的投影是 ．

x2y221a0,b0x32ab15．若双曲线的渐近线与圆2y22相交，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．

AC1，BAC60，16．已知三棱锥PABC的各顶点都在同一球面上，且PA平面ABC，若AB2，

PA4，则球的体积为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

*ana11nannan1annN17． 已知数列满足，.

（1）求数列（2）若数列

an的通项公式；

bn的前n项和为Sn，Sn2bn3，求数列bnan的前n项和Tn.

ABCA1B1C1A1AB中，AD平面

18． 在直三棱柱

A1BC，其垂足D落在直线

A1B上.

（1）求证：BC平面

；

PA1BC（2）若AD3，ABBC2，P为AC的中点，求三棱锥的体积.

19． 某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.

（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数； （2）从乙地所得分数在数在

60,80间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分

75,80间的概率；

（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率. 20． 已知点

Mx0,y022O:xy4上运动，且存在一定点N6,0，点Px,y为线段MN的中点. 在圆

（1）求点P的轨迹C的方程； （2）过

A0,1且斜率为k的直线l与点P的轨迹C交于不同的两点E,F，是否存在实数k使得

uuuruuurOEOF12，并说明理由.

21． 已知函数（1）求函数

fxlnxaxaR的单调区间；

.

fx2fxmm2x1,x2x1x2x1x22a1（2）当时，方程有两个相异实根，且，证明：.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

x3cos,ysin在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（是参数），以原点O为极点，x轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin24. （1）将直线l的极坐标方程化为普通方程，并求出直线l的倾斜角； （2）求曲线C上的点到直线l的最大距离. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数fxx2xaa2，若fx7的解集是xx3或x4.

（1）求实数a的值； （2）若xR，不等式

3fxfm1恒成立，求实数m的取值范围.

文数（四）答案

一、选择题

1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11、12：DC

二、填空题

205131,33 13．1 14．8 15． 16．三、解答题

17．解：（1）∵

nannan1an，

an1n1an. ∴nan∴anan1aL2a1nn1L21nan1an2a1n1n21，

∴数列

an的通项公式为ann.

Sn2bn3，得

（2）由又∴即

b13，

，

Sn12bn13n2bnSnSn12bn2bn1，

bn2bn1n2,nN*，

∴数列∴∴∴

bn是以3为首项，2为公比的等比数列，

，

bn32n1nN*bnan3n2n1，

Tn3120221322Ln2n1，

2Tn3121222323Ln2n两式相减，得∴

，

，

nTn3202122L2n1n2n31n21Tn3n12n3.

18．解：（1）∵三棱柱∴

ABCA1B1C1为直三棱柱，

A1A平面ABC.

又BC平面ABC，∴∵AD平面

A1ABC.

A1BC，且BC平面

A1BC，

∴ADBC. 又

A1A平面

A1ABA1AB，AD平面.

A1AB，

A1AIADA，

∴BC平面

（2）在直三棱柱∵AD平面∴

ABCA1B1C1中，

A1AABA1B.

A1BC，其垂足D落在直线

上，

ADA1B.

在RtABD中，AD3，ABBC2，

sinABD∴AD3AB2，

即ABD60， 在

RtABA1中，A1AABtan6023. A1AB，AB平面

由（1）知，BC平面从而BCAB，

A1AB，

∴SABC11ABBC22222. ∵F为AC的中点，

∴SBCF1SABC12. 1231VPA1BCVA1PBCSBCFAA112333. 3∴177788385808892979986.81019．解：（1）由题得，甲地得分的平均数为， 1657275798280848696918110乙地得分的平均数为， 8280812乙地得分的中位数为. （2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在

60,80间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有：

65,72，65,75，65,79，72,75，72,79，75,79，共6种，其中至少有一份分数在70,80间

的情况有：

65,75，65,79，72,75，72,79，75,79，共5种.

P56. 故所求概率（3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为A,B,C，乙地中的两份分别为

a,b.

随机抽取其中2份，所有情况如下：

A,B，A,C，B,C，a,b，A,a，A,b，B,a，B,b，

C,a，C,b，一共10种.

其中两份成绩都来自甲地的有3种情况：

A,B，A,C，B,C，.

p故所求概率310. x06x2yy0220．解：（1）由中点坐标公式，得 即

fx，

fx.

∵点∴

Mx0,y022xy4上运动， 在圆

22x0y04，

22x62y即

x3整理，得

224， .

2y21x3∴点P的轨迹C的方程为

（2）设

y21.

2Ex1,y122，

Fx2,y2x3，直线l的方程是ykx1，代入圆

，

y21.

1kx可得

23kx903k02由32k24k0，得4，

且x1x223k9xx121k2，1k2，

2243k2k3k9k29k2y1y2kx11kx21kx1x2kx1x2112221k1k1k1k2. ∴uuuruuur8k26k10ABABx1x2y1y21221k∴，

k解得12或1，不满足0.

k12使得OF.

fx11axax0xx. ∴不存在实数21．解：（1）由题得，当a0时，由于x0，可得1ax0， 即

fx0.

∴

fx在区间

0,内单调递增，

fx0x0x，得当a0时，由

1a，

由

fx0，得1a，

11,0,fxaa内单调递减. ∴在区间内单调递增，在区间（2）由（1）可设，方程且即

fxmm2的两个相异实根

x1,x2，满足lnxxm0，

0x11，

x21，

.

，

lnx1x1mlnx2x2m0由题意，可知

lnx1x1m2ln22又由（1）可知，令

fxlnxx，

在区间

1,内单调递减，故x22.

gxlnxxm22gx1g2x123lnx1ln2x1x1则. htt23lntln2t2t2，

2令则htt2t1t2. ht0ht当t2时，，是减函数，

hth22ln2302. ∴2gx1g20x2x2∴当2时，， 2gx1g2x1. 即∵

gxx1在区间

0,1内单调递增，

∴22x2，

故

2x1x22.

22．解；（1）由sin24，

得sincos2，

xcosysin代入上式，化简，得yx2. 将所以直线l的倾斜角为4. （2）在曲线C上任取一点A3cos,sin，

，

则点A到直线l的距离当

d3cossin22sin601时，d取得最大值，且最大值是22. 23．解：（1）∵a2，

∴

2xa2,x2,fxa2,2xa,2x2a,xa.

作出函数

fx的图象，如图所示：

由

fx7的解集为xx3或x4及函数图象，

6a27,82a7, 可得解得a3.

（2）由题知，xR，不等式

3fxfm1恒成立，

3x2x3m3m2恒成立， 即xR，不等式由（1）可知，∴x2x35，

（当且仅当2x3时取等号），

m3m235当m3时，m3m215， ∴m8， ∴8m3，

当3m2时，m3m215，成立； 当m2时，m3m215， ∴m7， ∴2m7，

综上所述，实数m的取值范围为

8,7.