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2018全国卷Ⅰ高考压轴卷
理科数学
本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A．
B．
，
C．
D．
，则
等于
2. 设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3. 为得到的图象,只需把函数的图象上所有的点 ( )
A、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B、向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C、向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)
D、向右平移4. A．
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)
展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（ ）
B． C． D． ，若
（
、
、
互不相等），
5. 已知函数且A．0
的取值范围为
，则实数m的值为（ ）．
C．1
D．2
B．－1
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6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7. 设函数域为
，若存在区间
，则的取值范围是（ ）
，使在上的值
A． B．
C. D．
，则输出的所有的值的和为
8. 执行如图所示的程序，若输入的
A．243 B．363 C．729 D．1092
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9. 已知抛物线于
两点，交抛物线
，圆于
两点，且满足
.过点的直线交圆
的直线恰有三条，则的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
10. 函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． 11. 若等于
D．
且函数在处有极值，则的最大值
A．121 B．144 C．72 D．80
12. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直
线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A. B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 若直线
的平分线过线段
与圆的中点，则实数
，若M为△ABC边上相交于
两点，若
14. 边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足
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的点，点P满足
，则|MP|的最大值为 .
15. 设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆
存在公共点，则的最大值的取值范围为 .
16．为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表： 男 女 总计 理科 13 7 20 文科 10 20 30 总计 23 27 50 已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025． 根据表中数据，得到K2=系出错的可能性约为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17.（12分） 已知数列（1）求数列
的前项和为
，向量
，
满足条件⊥
≈4.844，则认为选修文理科与性别有关
的通项公式；
（2）设
，求数列的前项和.
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18.（12分）
某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在
内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布
表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图. 表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 [95,100) 频数 1 [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125] 4 19 20 5 1 图1：乙套设备的样本的频率分布直方图
（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； 合格品 不合格品 合计 甲套设备 乙套设备 合计 （Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；
（Ⅲ）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为附：
P(K≥k0) k0 2，求的期望.
0.15 2.072 0.10 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 . 技术资料 . 专业整理.
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.
19.（12分）
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形， CD=平面EDCF⊥平面ABCD． （1）求证：DF∥平面ABE．
（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．
，
（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为求出线段BP的长．
，若存在，
20.（12分）
已知椭圆的动点，
为
的左焦点. 的方程； 在
轴的右侧，以
的短轴长为，离心率为，点，是上
（Ⅰ）求椭圆（Ⅱ）若点
为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形
面积的最小值.
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21.（12分） 已知函数（1）当（2）当
时，判断函数有两个极值点时，
．
的单调性；
① 求a的取值范围； ② 若
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）
的极大值小于整数m，求m的最小值．
在直角坐标系中点为极点，
中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为（1）设
是曲线
上的一个动点，当
时，求点
.
到直线的距离的最大值；
（2）若曲线
上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数（1）求不等式
，
的解集；
.
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（2）若方程
参
1.【Ks5u答案】D 2.【Ks5u答案】C 【Ks5u解析】当
，当
有三个实数根，求实数的取值范围.
时，
时，
，当ab一正一负时，
，所以
，故选C．
3.【Ks5u答案】C
4.【Ks5u答案】B
【Ks5u解析】解：由题意可得二项展开式的通项
=根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r=3，
9共有2项，而r的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12个,所求的概率为
5【Ks5u答案】C 【Ks5u解析】作出关于直线由于
代入函数解析式，得
的图象，如图所示，可令
，又
、
、
，则有图知点，所以
，，
的坐标为
，
对称，所以
（
互不相等），结合图象可知点
．故选
．
，解得
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6【Ks5u答案】A 7【Ks5u答案】C 【Ks5u解析】因为
因此
，所以
在
上有两个不同的
零点，由得 ，所以 令
，则
所以当
时
，当
时
，所以 ，又，
，要使方程有两个不同的零点，需
，选C.
8【Ks5u答案】D
9【Ks5u答案】C 10【Ks5u答案】C 11【Ks5u答案】C 12【Ks5u答案】D 13【Ks5u答案】14【Ks5u答案】15【Ks5u答案】16【Ks5u答案】5%
【Ks5u解析】根据题意，K=≈4.844，又由5.024＞4.844＞3.841，
22
而P（K≥3.841）≈0.05，P（K≥5.024）≈0.025，故选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%，故答案为：5% 17. 【Ks5u答案】（1）∵⊥,∴当
时，
满足上式，∴
, 当
时，
，
2
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（2）
两边同乘
，
得，两式相减得：
，
．
18. 【Ks5u答案】（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表 合格品 不合格品 合计
将列联表中的数据代入公式计算得
甲套设备 48 2 50 乙套设备 43 7 50 合计 91 9 100
∵
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
（Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格
品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设
备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备
（Ⅲ）由题知，
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∴
为原点，
所在直线为轴，
19. 【Ks5u答案】解：（1）证明：取
所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则∴设平面∴又∴∴又∵∴
， 平面平面
， ．
，
，
，
，
，
，的法向量为
不妨设，
， ，
，， ，
，
，
（2）解：∵设平面∴
的法向量为
不妨设
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为
，
．
，
（3）解：设∴∴又∵平面∴∴∴
或
， ， ，
，
的法向量为
，
，
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∴当∴当∴综上
时，， 时，， ．
，
，
20.【Ks5u答案】（Ⅰ）依题意得解得
∴椭圆（Ⅱ）设
的方程是
设线段由
中点为是以
∵ ∴中点
，直线斜率为
为底边的等腰三角形∴
∴直线的垂直平分线方程为
令 得 ∵ ∴
由 ∴四边形面积
当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.
21. 【Ks5u答案】（1）由题
．
方法1：由于
，
，
，
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又于是
，所以
为(0,＋∞)上的减函数．
，从而，
方法2：令当故则于是（2）令当
时，
时，
，
在时，
，
，则为增函数；当
时，
，
，
为减函数．
时取得极大值，也即为最大值．
．由于
为(0,＋∞)上的减函数．
，则为增函数；当
．
有两不等实根，
有两不等实数根
解得
．
（
）．
时，
，
，
为减函数．
，所以
，
当x趋近于由于即则
趋近于
有两个极值点，所以
可知，由于，则．
而，即（#）
所以，于是，（*）
令，则（*）可变为，
可得，而，则有，
下面再说明对于任意又由（#）得所以当故
时，
为
，，．
，
，把它代入（*）得
恒成立，
的减函数，所以
．
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所以满足题意的整数m的最小值为3.
22. 【Ks5u答案】(1)由，得，化
成直角坐标方程，得
，则
，即直线的方程为
到直线的距离
，依题意，设
，当
，即
为
.
时，，故点到直线的距离的最大值
(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，
即（其中
，故取值范围为
）恒成立，.
，又，解得
23. 【Ks5u答案】（1）原不等式等价于或或，
得或
∴不等式的解集为.
（2）由方程可变形为，
令，作出图象如下：
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于是由题意可得
.
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