雨滴下落的动力学分析及大小雨滴下落速度比较

假设雨滴从2000米的高度下落，根据自由落体公式 v2gh，得到v=200m/s，这样的速度接近于一般子弹速度的一半

通过查阅资料我们知道：

(v)kv，较小时 f1 2CAv，较大时(v)2

度的表达式，比较大小雨滴在近地面时的速度大小。

第一阶段

摘要：希望根据不同阶段主要阻力不同，分阶段得到雨滴速

雨滴仅受竖直向下的重力和向上的阻力作用，得到运动学方

程：

mgkvma

从中可知当达到平衡时，即雨滴开始做匀速运动

a0,vmax时， ，但是该最大值能否达到还不确定，也kmg许在达到该最大值前，该表达式已近不能很好的描述所受阻

力。

写成微分方程形式得：

dvmmgkvdt

解该方程，并带入初始条件： ，

得到：

t0,v0mg1vekkkt(lnmg)m想法：根据第一阶段速度表达式，我们可以估计雨滴在高空时的速度变化规律。如果我们知道第一阶段持续的高度，那么可以估算雨滴在第一阶段所经历的时间。

第二阶段

12fCAv2其中k是比例系数，v是速度，C是阻力系数，A是雨滴有效截面积， p是空气密度

假设雨滴在下落的过程中，保持球形的形态不变，则 ，其中C, p ，为定值 可转化为:

122Crv2此时雨滴受到重力和阻力的作用，得到动力学方程：

122mgCrvma22mg2Cr当a=0时，雨滴匀速运动，速度达到最大速度，我们近似认为接近地面时的速度为

vmax把 3 代入上面的式子，得到：

水

所以由上式我们知道，雨滴半径越大，其在接近地面时的速度越大，即大雨滴比小雨滴在近地面时下落更快。 以微分方程来表示得到：

通过数学软件求解得到

4mr3vmax8r水g3C1dv22mgCrvm2dt2rmgC(tc1)tanh()mgC2将 代入得

2mv Cr43mr水其中c1是由雨滴进入第二阶段的速度所确定的

36tanh(24v3r2gC水(tc1)rC)6rgC水通过

6rgC水(tc1)tanh()6rgC水我们可以了解雨滴在近地面时的下落情况 24rv我们可以通过测量估算出上面的c1，从而可以模拟雨滴近地面3C时下落情况 进一步分析

通过查阅资料，我知道：积雨云层的高度通常在300~500米之间，实际上，物体在空气中运动时受到阻力和物体本身的形状，大小，空气密度、特别是和物体的运动速率有关。大体来说，物体速率较小时，可认为空气阻力与物体速率的一次方成正比；当速率大于某一幅度并低于200m/s时，可认为空气阻力与物体运动速率的平方成正比；速率达到400~600m/s时，空气阻力和速率的三次方成正比；速率很大时，阻力速率很大时，阻力与速率更高次方成正比。物体运动的速率越小，抛体运动越接近于理想状态。 通过以上资料，我们可以更加准确的划分出受力分析过程当中两个过程的分界线，即我们可以得到阻力具体适用的高度，以此得到对应的速率的变化表达式。 这可以是以后的研究方向

在汽车工程、航天工程、导弹轨道

在物资救援中，空投已经成为一种十分重要且便利的方式，由于降落伞难以多次利用，所以如何减少墨投的成本（利用空气动力

2学原理） 。。。。。 总结：

1）得到两个公式：



vmg 1(ktlnmg)em,(v较小时)kk r2gC(tc1)tanh(来描述雨滴下落情况6 水)6rgC24r水v32）同时得出在近地面大雨滴下落更快的结论C ，（

v较大时）