行列式测试题（有答案）
第九讲
行列式单元测试题点评
一、填空题（每小题2分，满分20分）
1．全体3阶排列一共有6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列；
3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =；
4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零；
6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边；
7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变；
8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a
a a a a = 10.当 k= 2 2 ± 时，5 42 k k k =。
二、判断题（每小题3分，满分24分）
1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ππ则若 （∨） 的符号
的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 2211D ,.221 2222111211 = .)1()
(21n j j j π-是 （×）
3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×)
7.
11
1213132333 2122 23122223 3132 3311 21 31
a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分）
1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+ 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
（A ）k-1 (B) n-k-1 (C) k n C (D) 2 n C k -
2.设12n i i i 是奇排列，则121n n i i i i - 是（C ） （A ）奇排列； （B ） 偶排列；
（C ）奇偶性不能仅由n 的奇偶性确定的排列； （D ）奇偶性仅由n 的奇偶性确定的排列。
3．一个不等于0的n 阶行列式中非零元素个数至少为（D ）； 22 ()(1)
()()(1)()A n n B n C n D n -- 4．以下数集作成数环的是( C ) (1) S={}
Z ∈; (2) S={}0a a Q ≠∈;
(3) S={},a b Z +∈; （4） S={}
,a a b Q +∈.
（A ）（1）、（3） （B ）（2）、（4） （C ）（3）、（4） （D ）（1）、（4） 5．行列式000
00 a e b f g c h d
中元素f 的代数余子式是（ C ） () ()()() d e d e a e a e A B C g D g f g f h d h d - -
四、计算下列各题（每小题5分，满分20分） 1．计算(
)π (2k)1(2k-1)2(k+1)k ；
3．计算行列式
D=222333444345345345345的值。
222222223333333344 4 4 4 444 11
1112345634534563453456345345634532)42)52)62)43)53)63)
54))65==----------解（（（（（（（（（（
4．计算行列式 1 2 3 1 11000 0220 000011n n n n
--=--- n D 的值。 2
1 112311 10000 2200000 111 2310 10 00(1)0 02002 1(1)(1)!1(1)!1. 22
n n n n n n D n n n n n n n
n n n n ----== -----+--++=--=- 将第至列都加到第一列 解 （） （）
五、证明下列各题（满分16分）
1212,F F F F 1.设均为数域，证明也是数域。（5分）
2．已知a,b,c 均不为0，证明ay bx c cx az b bz cy a +=??
+=??+=?有唯一解。 （5分）
证明 因为方程组的系数行列式 020(,,00b a D c a abc a b c c b ==-≠ 均不为）
所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。 3．设a,b,c 是一个三角形的三边，证明000.00 a b c a c b b c a c b a
<（6分）证明
011000010101010101a b c a
b c a c b c b a c b b c b c a c a c a b a c c b a b a b a a b c
---==------（a+b+c)（a+b+c) .
====-a c-b b-c -a c-b b-c
（a+b+c)c-a -b a-c （a+b+c)c -c a-b b-a a-b -c b a-c -b -1 1
1=（a+b+c)(a-(b+c))c -c a-b b a-c -b -1 00（a+b+c)(a-(b+c))c 0a+c-b b a+b-c
（a+b+c)(a-(b+c))(a+b-c)(a+c-b)<0 （因为a,b,c 是三角形的三边）
本讲作业： （一）解答下列各题 1.计算行列式 123
1131211231 n x n D x n x +=++
110,(1)|.2),,[(1)]()2)[(1)]|1=2)[(1)] n n n n
n n n x D x D x x n D x i x j i j x x n D D x D x x n -==------≠------ 解当时，所以同理（均为的因式。又与各不相同，所以
（x-1)（ 但的展开式中最高次项的系数为，所以 （x-1)（
2.计算n 阶行列式
5100065100065000005100065 D = 121 1
1156560,5 A231,22319 4,93-2.
n n n n n n n n n D D D x A B D B n A B A B D ----++=--+=+=?=+=?
+=?=-=?=2解由于按第一列展开有 ，作特征方程 x 解此方程得二根2,3，令 ，令可得 解得
0121 1 012 12
1031 2 30 1
3.(1)()(),22(),cos sin . n n n n n n n n i
i i a a a a a a a a D a a a a f f f a a a a f x a x i n n εεππ ε--------=====+∑ 证明 其中0 1212 1101224 2(1) 210312(1) (1)(1)1 2 30111 1
111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a εεεεεε εεε------------???? ? ? ?
证明作矩阵乘积
2122112422(1)112(1)2(1)(1)121 242(1)12(1)(1)((1)()()()(1) () ()()
(1)()()()(1)()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε---------------?? ? ?
= ? =
11)(1)()()n f f f εε--??
两边取行列式即得所征。 22222 2222 2222 2 2 2
12312(1)(1)1(2)2341n n n n n n --- 说明:此行列式称为循环行列式，以后见到以下类型的行列式计算，可直接利用这一结果。
例如计算行列式 D=（二）阅读教材P49-60，并回答什么是矩阵、矩阵的相等？矩阵有哪些运算和性质？有哪些特殊矩阵和特殊性质？
