2017-2019高考文数真题分项解析-坐标系与参数方程

专题18 坐标系与参数方程

1t2x，21t（t为参数）．以

1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y4t1t2坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

2cos3sin110．

（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O为极点，点直线l过点（1）当

且与

垂直，垂足为P．

在曲线

上，

时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox中，

，

，

，

，弧

，

，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．

（1）分别写出（2）曲线由

，，

，，

的极坐标方程； 构成，若点在M上，且

，求P的极坐标．

4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离． 5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系

中，曲线的方程为

，直线l的方程为．

．以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的直角坐标方程； （2）若与

有且仅有三个公共点，求的方程．

中，曲线的参数方程为

．

6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系（为参数），

直线的参数方程为（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系过点

且倾斜角为的直线与

交于

，求的斜率． 中，

的参数方程为两点．

（为参数），

（1）求的取值范围； （2）求

中点的轨迹的参数方程．

，曲线C的方程为

，

8．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l的方程为

求直线l被曲线C截得的弦长．

9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为直线l的参数方程为（1）若

，求C与l的交点坐标；

，求． ．

（θ为参数），

（2）若C上的点到l距离的最大值为

10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线的极坐标方程为

．

，求点P的轨迹的直角坐

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足标方程；

（2）设点A的极坐标为

，点B在曲线上，求

面积的最大值．

（t为参数），直

11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为

线l2的参数方程为（1）写出C的普通方程；

．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设与C的交点，求M的极径．

12．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系

中，已知直线的参考方程为

，M为l3

（为参数），

曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．

221t4t2y1t21，且x1． 【解析】（1）因为11，所以C的直角坐标方程2221t221t1ty21(x1)． 为x4222l的直角坐标方程为2x3y110．

（2）由（1）可设C的参数方程为xcos,（为参数，ππ）．

y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为．

77当π2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．

33【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．

2．【解析】（1）因为

M0,0在C上，当

． 时，004sin2333由已知得|OP||OA|cos2． 3|OP|2， 3设Q(,)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中，cos经检验，点P(2,)在曲线cos32上． 3所以，l的极坐标方程为cos2． 3（2）设P(,)，在Rt△OAP中，|OP||OA|cos4cos, 即 4cos． 因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,．

42

所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,．

42【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 3．【解析】（1）由题设可得，弧»»,CD»所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，AB,BC2cos．

所以M1的极坐标方程为2cos0π3ππM，的极坐标方程为2sin2，M3

444的极坐标方程为2cos3ππ． 4（2）设P(,)，由题设及（1）知

ππ

，则2cos3，解得； 46

π3ππ2π若，则2sin3，解得或； 44333π5π若． π，则2cos3，解得46若0综上，P的极坐标为3,ππ2π5π3,3,3,或或或．

6336【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．

4．【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，4），B（2，2），

由余弦定理，得AB=32(2)2232cos(（2）因为直线l的方程为sin()3，

)5． 2443则直线l过点(32,)，倾斜角为．

243)2． 又B(2,)，所以点B到直线l的距离为(322)sin(242【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

22C2(x1)y4． xcosysin5．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为

（2）由（1）知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为

l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有

两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k综上，所求C1的方程为y|k2|2，故k4或k0．

3k214时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共3|k2|2，故k0或k4．

3k214时，l2与C2没有公共点． 34|x|2． 3x2y26．【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为1．

416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan， 当cos0时，l的直角坐标方程为x1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

(13cos2)t24(2cossin)t80．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20． 又由①得t1t24(2cossin)，故2cossin0，于是直线l的斜率ktan2． 213cos22xy1． eO7．【解析】（1）的直角坐标方程为

当当时，l与eO交于两点． 22|1，解时，记tank，则l的方程为ykx2．l与eO交于两点当且仅当|221k)． 2442综上，的取值范围是(,)．

44得k1或k1，即(,)或(,

xtcos,(t为参数，)． （2）l的参数方程为44y2tsin设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tPtAtB ，且tA，tB满足t222tsin10．

2xtPcos, 于是tAtB22sin，tP2sin．又点P的坐标(x,y)满足y2tPsin.2xsin2,2(为参数，)． 所以点P的轨迹的参数方程是44y22cos2228．【解析】因为曲线C的极坐标方程为=4cos， 所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．

π6π则直线l过A（4，0），倾斜角为，

6所以A为直线l与圆C的一个交点． 设另一个交点为B，则∠OAB=

因为直线l的极坐标方程为sin()2，

π． 6π， 2连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=所以AB4cosπ23． 6因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．

x2y21． 9．【解析】（1）曲线C的普通方程为9当a1时，直线l的普通方程为x4y30．

21x,x4y30,x3,25由x2解得或

224y0y.y1925从而C与l的交点坐标为(3,0)，(2124,)． 2525（2）直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为

d|3cos4sina4|．

17a9． 17当a4时，d的最大值为由题设得a917，所以a8； 17a1． 17当a4时，d的最大值为由题设得a117，所以a16． 17综上，a8或a16．

【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a的值． 10．【解析】（1）设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为(1,)(10)，

由题设知OP=,OM=1=4． cos由OMOP16得C2的极坐标方程4cos(0)． 因此C2的直角坐标方程为x2y24x0． （2）设点B的极坐标为B,B0，

由题设知OA2,B4cos，于是△OAB的面积

2

S13OABsinAOB4cos|sin()|2|sin(2)|23. 2332当时，S取得最大值23，所以△OAB面积的最大值为23． 12【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．

11．【解析】（1）消去参数t得l1的普通方程l1:ykx2；消去参数m得l2的普通方程l2:y1 x2．

kykx222设Px,y，由题设得，消去k得xy4y0． 1yx2k所以C的普通方程为xy4y0．

22（2）C的极坐标方程为2cos2sin2402π,π．

222cossin4,联立得cossin2cossin．

cossin20191故tan，从而cos2,sin2．

310102代入2cos2sin24得5，所以交点M的极径为5．

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程． 12．【解析】直线l的普通方程为x2y80．

因为点P在曲线C上，设P(2s2,22s)， 从而点P到直线l的的距离d|2s242s8|12(2)22(s2)24，

5当s2时，dmin45． 545． 5因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值

【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．