最新初中数学向量的线性运算经典测试题及答案解析

一、选择题

uuuruuuruuuruur1．化简OPQPPSSP的结果等于（ ）．

uuuruuuruurA．QP B．OQ C．SP

【答案】B 【解析】 【分析】

利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】

uuur

D．SQ

uuuruuuruuuruur解：原式=OP+PQPSSP uuur=OQ，

故选B. 【点睛】

本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.

2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①③A．0 【答案】C 【解析】 【分析】

直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若对于②，若对于③，若对于④，若

的方向相同，得到

所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.

，则，则，则

④错误. ，则

方向相同，①正确； 方向相反，②正确； 方向相反，但

的模不一定，③错误； 能推出

的方向相同，但

B．1

方向相同 ②有相等的模 ④

C．2

方向相反 方向相同 D．3

3．如果向量a与单位向量e方向相反，且长度为（ ）

rr1rr，那么向量a用单位向量e表示为21re 2【答案】C 【解析】

A．arB．a2e

rrC．ar1re 2D．a2e

rr由向量a与单位向量e方向相反，且长度为

rr1，根据向量的定义，即可求得答案． 21， 2解：∵向量a与单位向量e方向相反，且长度为

rr1re． 2故选C．

∴ar

4．下列判断正确的是( ) A．aa0

rrrrrrB．如果ab，那么ab

rrrrC．若向量a与b均为单位向量，那么ab

rrrrrD．对于非零向量b，如果akbk0，那么a//b

【答案】D 【解析】 【分析】

根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】

A. aa等于0向量，而不是等于0，所以A错误；

rrrrB. 如果ab，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B错误；

rrC. 若向量a与b均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C错

误；

rrrD. 对于非零向量b，如果akbk0，即可得到两个向量是共线向量，可得到rra//b，故D正确.

故答案为D. 【点睛】

本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.

uuurruuurruuurrr5．如图，YABCD中，E是BC的中点，设ABa,ADb，那么向量AE用向量a、b表示为（ ）

r1rr1rr1rA．a+b B．ab C．ab

222【答案】A 【解析】 【分析】

uuuruuuruuuruuur根据AEABBE，只要求出BE即可解决问题. 【详解】

解：Q四边形ABCD是平行四边形，

r1rD．ab

2uuuruuuruuuruuurrQAEABBE,ABa，

AD∥BC，AD＝BC， uuuruuurrBCADb， QBE＝CE， uuur1rBEb，

2uuurr1rAEab，

2故选：A. 【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.

6．下列判断不正确的是（ ）

uuuruuuruuuruuurA．如果AB=CD，那么AB=CD

B．+＝+

rrC．如果非零向量a=k坠b(kuuuruuurD．AB+BA=0

【答案】D 【解析】 【分析】

rr0)，那么a与b平行或共线

根据模的定义，可判断A正确；根据平面向量的交换律，可判断B正确；根据非零向量的

uuuruuurr知识，可确定C正确；又由AB+BA=0可判断D错误

【详解】

uuuvuuuvuuuruuurA、如果AB=CD，那么ABCD，故此选项正确；

B、abba，故本选项正确；

rrrrrrrrC、如果非零向量a=k坠b(k0)，那么a与b平行或共线，故此选项正确；

uuuruuurrD、AB+BA=0，故此选项错误；

故选：D． 【点睛】

此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键

7．已知a、b为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A．aabb C．如果a【答案】C 【解析】 【分析】

根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】

B．0a0

D．如果a2b，那么a2b或a2b

1b，那么a//b 2rrrr解：A、aabb，正确；

rrB、0a0，正确；

1b，那么a//b，错误，可能共线； 2rD、如果a2b，那么a2b或a2b，正确；

C、如果a故选C． 【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8．已知矩形的对角线AC、BD相交于点O，若BCa，DCb，则（ ）

uuurruuurruuur1rruuur1ab； A．BOB．BO22uuuruuur11rrC．BOba； D．BO22【答案】D 【解析】

uuur1uuuruuuruuuruuuruuuruuur在BCD中，BOBD,BDDCCB.CBBC2 uuur1rr所以BO(b-a)故选D2rrab；

rrba．



9．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是 （ ） A． 【答案】D 【解析】 【分析】

根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】

根据相等向量的定义，分析可得， A. B. C. D. 故选D. 【点睛】

此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.

方向不同，方向不同，方向相反，

错误， 错误， 错误，

B．

C．

D．

方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，正确；

10．已知在ABC中，ABAC，AD是角平分线，点D在边BC上，设BCa，

uuurruuurruuurrr，那么向量用向量、b表示为（ ） aADbAC1rr1rr1rrA．ab B．ab C．ab

222【答案】A 【解析】

1rr＝ab．故选A． 21rrD．ab

2试题分析：因为AB＝AC，AD为角平分线，所以，D为BC中点，

考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．

11．已知e是一个单位向量，a、b是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）

rrrvvvA．aea

【答案】B 【解析】 【分析】

vvvB．ebb

1vvC．vae

a1v1vD．vavb ab长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】

A. 由于单位向量只长度，不确定方向，故错误； B. 符合向量的长度及方向，正确；

C. 得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D. 左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

12．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．

rrrrrrm①对于实数和向量a、b，恒有mabmamb

②对于实数m、n和向量a ，恒有mnamana ③若mamb（m是实数）时，则有ab ④若mana（m、n是实数，a0），则有mn A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】

B．2个

C．3个

D．4个

rrrrrrrrrrrrrrrrrr①对于实数m和向量a、b，恒有mabmamb，正确；

rrrr②对于实数m、n和向量a ，恒有mnamana，正确；

rrrr③若mamb（m是实数）时，则有ab，错误，当m=0时不成立； rrrr④若mana（m、n是实数，a0），则有mn，正确；

故选C. 【点睛】

本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．

uuurruuurrrr13．如图，在平行四边形ABCD中，如果ABa，ADb，那么ab等于（ ）

uuurA．BD

uuurB．AC

uuurC．DB

D．CA

uuur【答案】B 【解析】 【分析】

uuurr由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，则可得BCb，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，

uuurr∵ADb，

uuurr∴BCb， uuurr∵ABa，

故选B．

ruuurruuurruuu∴ab=AB+BC=AC．

rrrrrr14．已知a，b为非零向量，如果b＝﹣5a，那么向量a与b的方向关系是（ ）

rrrrrrrrA．a∥b，并且a和b方向一致 B．a∥b，并且a和b方向相反

rrrrC．a和b方向互相垂直 D．a和b之间夹角的正切值为5

【答案】B 【解析】 【分析】

根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】

rrrr∵已知a，b为非零向量，如果b＝﹣5a， rrrr∴a∥b，a与b的方向相反，

故选：B． 【点睛】

本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．

rrrrrrrr15．如果abc，ab3c，且c0，下列结论正确的是

rrrrA．a=b B．a2b0

rrC．a与b方向相同

【答案】D

rrD．a与b方向相反

【解析】 【分析】

根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】

rrrrrr解：将abc代入ab3c，

rr计算得：a-2b（方向相反）.

故选：D 【点睛】

本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.

rr16．设e为单位向量，a2，则下列各式中正确的是（ ）

rrrarrreA．a2e B．r C．a2e a【答案】C 【解析】 【分析】

1rD．a1

2rr根据e为单位向量，可知e1,逐项进行比较即可解题.

【详解】

解：∵e为单位向量，

rr∴e1,

A中忽视了向量的方向性,错误 B中忽视了向量的方向性,错误

rrC中,∵a2,e1, rra2e,正确, ∴

故选C. 【点睛】

D中忽视了向量的方向性,错误

本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.

17．如图，在△ABC中，点D是在边BC上，且BD＝2CD，（ ）

＝，

＝，那么

等于

A．＝＋ B．＝＋ C．＝－ D．＝＋

【答案】D 【解析】 【分析】

利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得

＝

,

＋ .

故选D. 【点睛】

本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.

18．规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量OP可以用点P的坐标表示为：OP＝（m，n）．已知OA＝（x1，y1），OB＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么OA与OB互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A．OC＝（3，20190），OD＝（﹣3﹣1，1） B．OE＝（2﹣1，1），OF＝（2+1，1）

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur13C．OG＝（8,），OH＝（（﹣2）2，8）

2uuuuruuurD．OM＝（5+2，2），ON＝（5﹣2，

【答案】A 【解析】 【分析】

根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】

2） 2A、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC与OD互相垂直，故本选项符合题意． B、由于（2﹣1）（2+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE与OF不垂直，故本选项不符合题意．

C、由于38×（﹣2）2+

uuuruuuruuuruuuruuuruuur1×8＝4+4＝8≠0，则OG与OH不垂直，故本选项不符合题意． 2uuuuruuur2＝5﹣4+1＝2≠0，则OM与ON不垂直，故本选2D、由于（5+2）（5﹣2）+2×项不符合题意． 故选：A．

【点睛】

本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.

19．已知向量a和b都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）

rrrrA．ab

【答案】D 【解析】 【分析】

rrB．ab2 rrC．ab0

rrD．ab

rrrr根据向量a和b都是单位向量，，可知|a|＝|b|＝1，由此即可判断．

【详解】

解：A、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则ab不一定成立，故本选项错误．

B、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则ab2不一定成立，故本选项错误．

rrrrrrrrrrrrC、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则ab0不一定成立，故本选项错

误．

D、向量a和b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】

本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键

rrrr

ruuurrrruuuruuurrr20．已知ABa5b，BC2a8b，CD3ab，则（ ）．

A．A、B、D三点共线 C．B、C、D三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】

根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】

B．A、B、C三点共线 D．A、C、D三点共线

ruuuruuurrruuurrrrCD3ab解：∵BC2a8b，，ABa5b

uuuruuuruuurrrrrrr∴BDBCCD2a8b3aba5b， uuuruuur∴AB、BD是共线向量

∴A、B、D三点共线，故A正确； uuurrrruuurr∵ABa5b，BC2a8b

uuuruuurruuuruuu∴不存在实数，使ABBC，即AB、BC不是共线向量

∴A、B、C三点共线，故B错误；

ruuurruuurrr∵BC2a8b，CD3ab

ruuuruuuruuuruuu∴不存在实数，使BCCD，即BC、CD不是共线向量

∴B、C、D三点共线，故C错误；

ruuurrrruuuruuurrrCD3ab， ∵ABa5b，BC2a8b，

uuuruuuruuurrrrrrr∴ACABBCa5b2a8ba13b

ruuuruuuruuuruuu∴不存在实数，使ACCD，即AC、CD不是共线向量

∴A、C、D三点共线，故D错误； 故选A. 【点睛】

此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.