第３４卷第２期 ２０１７年６月 阜阳师范学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｕｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒｌａ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏ１．３４．Ｎｏ．２ Ｊｕｎ．２０１７ Ｓ ×Ｒ中具有常平均曲率的超曲面研究 周俊东，黄映雪 （阜阳师范学院数学与统计学院，安徽阜阳２３６０３７） 摘要：研究了积空间Ｓ“×Ｒ中具有常平均曲率的完备超曲面，通过计算超曲面一些几何量的Ｌａｐｌａｃｅ，运用Ｏｍｏｒｉ— Ｙａｕ的一般｝生极值原理，得到一些刚性定理和一个不等式，给出完备超曲面的分类。 关键词：积空间；完备超曲面；常平均曲率 中图分类号：Ｏ１８６．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４．４３２９｛２０１７｝０２．００６—０３ ＤＯＩ：１０．１４０９６￣．ｅｎｉｄ．ｃｎ３４—１０６９／ｎ／１００４—４３２９（２０１７｝０２—００６—０３ Ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｓ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｍｅａｎ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｉｎ Ｓ ×Ｒ ＺＨＯＵ Ｊｕｎ－ｄｏｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｙｉｎｇ—ｙｕｅ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＦｕｙａｎｇＮｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＦｕｙａｎｇＡｎｈｕｉ ２３６０３７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｓ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｍｅａｎ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｉｎ Ｓ ×Ｒ ｗｅｒｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｂｙ Ｌａｐｌａｃｅ ｏｆ ｓｏｍｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｏｎ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｓ ｓｏｍｅ ｒｉｇｉｄｉｔｙ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｎｄ ａｎ ｉｎｅｑｕａｌｉｙ ｗｅｒｅ ｏｂｔｔａｉｎｅｄ ｗｉｈ Ｏｍｏｒｉｔ—Ｙａｕ’Ｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍａｘｉｍｕｍ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ａｎｄ ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｓ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｄｕｃｔ ｓｐａｃｅ；ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｓ；ｃｏｎｓｔａｎｔ ｍｅａｎ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ 积空间中的曲面被广泛研究。Ｓ ×Ｒ中定角 曲面 的完全分类研究很多。Ｂａｔｉｓｔａ给出Ｓ。×Ｒ 和Ｈ ×Ｒ中具有常平均曲率曲面【 上的一个ｓｉ— ｍｏｎｓ型方程。Ａｑｕｉｎｏ Ｃ Ｐ等研究了积空间中具 有常平均曲率完备超曲面的角 。关于积空间中 的子流形研究，参考文献【４．７】。 本文研究了Ｓ ×Ｒ中具有常平均曲率的完备 １预备知识 设 是Ｓ ×Ｒ中的超曲面。在Ｓ ×Ｒ上选 择局部标架场ｅ 一，ｅ ，当在 上时， ｅ 一，ｅ 是切于 和ｅ 是法于 。我们对各 类指标范围约定：ｌ≤ｉ４，ｋ，…≤ｎ，用ｔ表示Ｒ的 超曲面，通过活动标架法，首先计算了Ｉ 的Ｌａ． ｐｌａｃｅ，利用Ｏｍｏｒｉ．Ｙａｕ的一般性极值原理，得出此 类超曲面一定位于．ｓ 中，且是极小。其次计算了 第二基本形式模长平方 的Ｌａｐｌａｃｅ，利用Ｏｍｏｒｉ． 坐标，ａ ＝杀表示Ｒ方向的切向量场。ａ 可作如 下分解： ａ ＝∑ ｅｉ＋ ∑Ｔｉ２＋ ＝１。 因为ａ 在Ｓ ×Ｒ中是平行向量场，可得到 ： Ｔ，ｊ＝ 叼，叼． Ｙａｕ的一般性极值原理，得出此类超曲面关于 Ｒｉｃｃｉ曲率和截面曲率的刚性定理和一个不等式。 ＝一∑ ， （１） 在活动标架下，Ｓ ×Ｒ黎曼曲率分量可表示： 收稿日期：２０１７．０２．２５ 基金项目：安徽省高校自然科学研究重点项目（ＫＪ２０１７Ａ３４１）；阜阳师范学院青年人才重点项目（ｒｃｘｍ２０１７１４）；阜阳师 范学院科研项目（２０１６ＦＳＫＪ０４）资助。 作者简介：周俊东（１９８３一），男，硕士，讲师，研究方向：微分几何。 第２期 周俊东：ｓ“×Ｒ中具有常平均曲率的超曲面研究 ７ ＝ 一 ＋ｒｊｒ，￣ ＋ 一 一 ， ｓｕｐｌｒｔ 一 ＜Ｉ ｆ △Ｉ Ｉ ）＜ 当ｉ—ｏ。时，由式（８）及（９）得到 （９） （２） Ｒ ＋。 ＝叩（ ６ 一 ６ ） Ｖ （３） ０≤（ｎ一１）（１一ｓｕｐ Ｉｒｌ ）ｓｕｐ Ｉｒｌ ＋（１—２ ｓｕｐ ｌ ｌ ）ｎｉｌ ≤０。 设 ：∑ （ｃＪ ０）ｉ ｅ 是Ｍ 的第二基本 所以ｓｕｐ ｌｒｌ ＝０，Ｈ ０，即 是位于ｓ 中的 极小超曲面。 形式， ＝１Ｚｈ：，＋ｌｅｎ＋ｌ￣Ｈｅ川表示平均曲率向量， Ｓ＝∑（』 ：） 为 的第二基本形式模长平方， 定理２设 是Ｓ Ｘ Ｒ中的具有常平均曲率 的完备超曲面，若ｌ 是常数且 Ｉ７１ ｌ＝∑ 。Ｍ 的截面曲率，Ｒｉｃｃｉ曲率和数量曲率 Ｒｉｅ（ｇ ）≥ｎ一１一Ｉ ｌ ，则 是全脐超曲面，或者 分别为 Ｒ州＝１一 一 十 ：“ 一 （４） 尺 ＝（ｎ一１－Ｉｒｌ ） 一（ｎ一２） ＋∑ 。 ；“一∑＾：¨ （５） ｐ＝ｎ（ 一１）一２ 一１）Ｉ ｆ ＋ 一 。 由（２），（３）和Ｒｉｃｃｉ恒等式计算得 ∑ ＝∑ ＋∑ Ｒ哪＋ 尺 ） ＋∑ ；“（（ 一 ）叼）， ＋∑ ；“（（ 船一 ） （６） 引理１【８ ＿设 是Ｒｉｃｃｉ曲率有下界的完备黎 曼流形，Ｆ是 上Ｃ 类有界的函数，则对 ＞０， 都存在一点 ∈Ｍ ，使得 ｓｕｐＦ一 ＜Ｆ（ ，ＩＶＦ（ｘ）Ｉ＜ ，△，（ ＜占。 ２主要定理与证明 定理１设 是Ｓ ×Ｒ中的具有常平均曲率 的完备超曲面，若Ｉ ≤ １且Ｒｉｃｃｉ曲率有下界， 则Ｍ 是位于Ｉｓ 中的极小超曲面。 证明计算ｌ 的Ｌａｐｌａｃｉａｎ： ￣ＡＩｒｌ ＝一吉△ ２∑ ， ） 一∑矾 ＝一∑ ；“ ） 一∑ ；“ ） （７） ≥∑ｈ７ ７７＋ 一１）ｎ Ｉ ｌ ＋（１—２Ｉ ｆ）ｓ 由 是具有常平均曲率的超曲面，由（７）式和 定理条件ｌ ≤ １可得 ‘ △Ｉ Ｉ ≥（ｎ一１）．，７ Ｉｒｌ ＋（１—２ｌ ｌ ）ｎｉｌ （８） 由Ｍ“是完备的且Ｒｉｃｃｉ曲率有下界，Ｉ ７１ｌ 有 界，由引理ｌ可得：对任意的收敛于０的数列。 卜斗０， 一。。），则在Ｍ 上存在一组点列 ）， 使得 Ｍ ＝Ｎ 一 ×Ｒ。 证明 由ＩＴｌ 是常数和（１）式得到 “（ 一 ， ＋ “（ 瓯一 ｒ１０１ ＝ｎ（Ｓ—ｎＨ ）叼 选择适当的活动标架使得 ＝Ａ。 ，Ａ 是Ｍ 的主曲率。由式（６）和式（１０），计算 的第二基本 形式模长平方Ｓ的Ｌａｐｌａｃｉａｎ，得到如下不等式 １ＺＸＳ＞￣ 础 ＋圭－ …１，１ ｌ、 ＋ （５一 日 ）（１一ｌ ｌ ） 由（５）式得出沿ｅ 方向的Ｒｉｃｃｉ曲率为 Ｒｉｃ（ｅ ）＝凡一１一Ｉ Ｉ 一（ｎ一２）Ｕ＋凡肌。一Ａ （１２） 由定理条件Ｒｉｃ（Ｍ ）≥ｎ一１一ｌ ，和式（１２）得 到棚Ａ ≥ 一２） ＋Ａ ，即所有的Ａ 是同号的（包 括０），由式（４）得出 Ｒ ≥１一 一 ＋Ａ ≥１一Ｊｒｌ ＋Ａ Ａ ≥ｏ（１３） 对式ｎｍ ≥ 一２） ＋Ａ 关于ｉ求和得到 Ｈ 一 一２）ｌｒｌ ≥ｓ，所以ｓ有界。由引理１可得： 对任意的收敛于０的数列 ） ０， 一＋。ｏ），则在 上存在一组点列 ｝，使得 ｓｕｐＳ一 ＜５ ）＇△Ｓ ）＜ 。 （１４） 当ｉ一∞时，由式（１１）、（１３）、（１４）得到 ０≤ｎ（ｓｕｐＳ—ｎＨ ）（１一Ｉ ＜０，所以ｓｕｐＳ＝ 日 ，即 全脐超曲面；或者Ｉｒｌ １，ａ 是Ｍ 的切向量， Ｍ ＝Ｎ ～ＸＲ。 定理３设 是Ｓ Ｘ Ｒ中的具有常平均曲率 的完备超曲面，若ｌ 是常数且Ｒｉｃｃｉ曲率有下 界，则在 上有不等式 ｎ（ｓｕｐＳ—ｎＨ ）（２一ｌＴｆ一 １ ｓｕｐＳ）一Ｉｒｌ ｓｕｐｓ≤０。 证明计算 的第二基本形式模长平方的 Ｌａｐｌａｃｉａｎ： ８ 阜阳师范学院学报（自然科学版） 第３４卷 一 △．ｓ≥∑ ） ＋ｎ —ｎＨ ）（１一ｆ ｒ１ ５、 Ｒ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｎｎ ｉｎｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ（Ｇｒｅｎｏｂｌｅ）， ２０１１，６１：１２９９—１３２２． ＋ｓ 一Ｉｒｌ ）一 日 一Ｓ ＋ｎ日∑Ａ 参照文献［１０］方法计算得出 ｍａ Ｅ Ａ．Ｏｎ ｔｈｅ ａｎｇｌｅ ｏｆ ［３］ Ａｑｕｉｎｏ Ｃ ｄｅ Ｌｉｍａ Ｈ Ｌｉｃｏｍｐｌｅｔｅ ＣＭＣ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｓ ｉｎ Ｒｉｅｍａｎｎｉａｎ ｐｒｏｄｕｃｔ ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０１４，３３：１３９—１４８． 棚 ≥ ｓ一（ ｉ一１）Ｓ （１ ６） 由于 的Ｒｉｃｃｉ曲率有下界，不妨设 Ｒｉｃ ）＞ｇ。由式（１２）得出 （ —１）（凡一２ｌ ｌ ）＋凡 Ｈ 一ｎｑ＞Ｓ， 即 有上界，由引理１得出：对任意的收敛于０的 数列 ｝一０， ｏ０），则在 上存在一组点列 ｝，使得 ｓｕｐ Ｓ— ＜Ｓ（ｘｆ），ＡＳ（ｘ ）＜ （１７） 当 一∞时，由式（１５）、（１６）、（１７）得到 ｎ（ｓｕｐ．ｓ—ｎＨ ）（２一Ｉｒｌ 一 ｓｕｐＳ）一Ｉｒｌ ｓｕｐＳ￣＜Ｏ。 参考文献： Ｄｉｌｌｅｎ Ｆａｓｔｅｎａｋｅｌｓ Ｊ，Ｖａｎ Ｄｅｒ Ｖｅｋｅｎ Ｊ，ｅｔ ａｔ．Ｃｏｎ— ｓｔａｎｔ ａｎｇｌｅ ｓｕｒｆａｃｅｓ ｉｎ Ｓ ×Ｒ［Ｊ］．Ｍｏｎａｔｓｈｅｆｔｅ Ｆａｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋ，２００７，１５２（２）：８９－９６． 【２】 Ｂａｔｉｓｔａ Ｍ．Ｓｉｍｏｎｓ ｔｙｐｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ Ｓ ２ ｘ Ｒ ａｎｄ Ｈ ２ ［４］ Ｃｈｅｎ Ｑ，Ｃｕｉ Ｑ．Ｎｏｒｍａｌ ｓｃａｌａｒ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ａｎｄ ａ ｐｉｎｃｈ— ｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ Ｓ ×Ｒ ａｎｄ Ｈ ×Ｒ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｃｈｉｎａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１１，５４（９）：１９７７—１９８４． ［５】 Ｃｈｅｎ Ｈ，Ｃｈｅｎ Ｇ Ｌｉ Ｈ Ｚ．Ｓｏｍｅ ｐｉｎｃｈｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆｏｒ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｉｎ Ｓｍ（１）×Ｒ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｃｈｉ— ａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１３，５６（８）：１６７９—１６８８． ［６】 Ｆｅｔｃｕ Ｄ，Ｏｎｉｃｉｕｃ Ｃ，Ｒｏｓｅｎｂｅｒｇ Ｈ．Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ ｓｕｂ— ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｗｉｈｔ ｐａｒａｌｌｅｌ ｍｅａｎ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｉｎ Ｓ ×Ｒ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１３，２３（４）：２１５８－ ２１７６． ［７］ 周俊东．关于中具有平行平均曲率向量场子流形的 一个刚性定理［Ｊ］．中国科学技术大学学报，２０１６ （０８）：６２５．６２８． ［８】 Ｏｍｏｒ Ｈ．Ｉｓｏｍｅｔｉｃ ｉｍｍｅｒｓｉｏｎ ｏｆ Ｒｉｅｍａｎｎｉａｎ ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ［Ｊ］．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．Ｊａｐａｎ．，１９６７，１９：２０５・２１４． ［９］ Ｙａｕ Ｓ Ｈａｒｍｏｎｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｒｉｍａｎｎｉａｎ ｍａｎｉｏｆｌｄｓ ［Ｊ］．Ｃｏｍｍ．Ｐｕｒｅ ａｎｄ Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．，１９７５，２８：２０１－２２８． ［１０】 舒世昌，刘三阳．局部对称流形的具常平均曲率的完 备超曲面［Ｊ］．数学年刊Ａ辑，２００４，２５（１）：９９—１０４．
