图像分形维数计算技术

图像分形维数计算技术　董远　胡光锐　上悔２ｏｏｏ３ｏ）　（上悔交通大学电子工程系摘要　在分形科学的研究中，分形维数的求取方法一直是人们所关注的。本文基于目前　常用的图像分形维数的求取方法，对各种方法的计算量、适用范围进行分析和比较，给出推荐　模型。　关键词　分形分形维数纹理　ＴＥＣＩＩＮ０ＬｏＧＹ　０Ｆ　Ｃ０Ｉ　Ｔ　Ｇ　Ｂ　ＡＧＥ　ＦＲＡＣＹＡ１Ｌ　ＤＩＭＥＮＳＩＯＮ　Ｄ０ｎｇＹｕａｎ　Ｈｕ　Ｇｕａｒｒｇｍｉ　（　Ⅻ　Ｅｏｂ６ｚｅｅｒｉａｇ，Ｓｈａｎｇｈａｉ．ｔｉｏａｏ，ｑ　Ｖｒ，ａ￣，　２０００３０）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｔｏ　ｃｏｕｎｔｆｒａｃｔａｌ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　ｏｆ　ａｉｍａｇｅ　ｈａｓ　ｓｔｉｌｌ　ｂｅｅｎ　ａｔｔｅｎｄｉｎｇｉｎｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　ｏｎ　ｏｆ　ａｉｍａｇｅ　ｎｏｗａｄａｙｓ，ｔｈｉｓ　ｆｒａｃｔａｌ　ｓｃｉｅｎｃｅ．Ｂａｓｅｄ　Ｏｉｌｔｈｅ　ＣＯＩＩｌＩｎＯＩ１ｍｅｔｈｏｄｓｔｏ　ａｃｑｕｉｒｅｔｈｅｆｒａｅ￣ｌ　ｄｉｒｎ　ｐａｐｅｒ　ｎ１ａ　ａ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ａｍｏｎｇ　Ｂｏｎｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ｉｎ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉ￣，ａｎｄ　ｇｉｗ　ｔｈｅ　ｒｅｅｍｎｒ￣ｎｄ—　ｅｄ　ｍｏｄｅｌｓ　ａｔ　ｌａｓｔ．　１引　言　简单的物体可以用传统的几何方法来进行描述，但是大多数的自然景物非常复杂，所以不　能依据传统的几何理论对其进行描述。另一方面，自相似性在描述自然景物中却起着非常重　要的作用。　基于对复杂自然景物自相似性的描述，Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ…刨立了分形几何学理论，提出用分形　维数的概念来度量自然现象的不规则程度。自然界中的许多现象比如云、山、沙漠、岩石等等　都具有分形特征，而人造物体如机械、汽车、飞机、建筑等等都不具有分形特征。　分形维数的概念在对形状和纹理的测量分析和分类上是非常有用的。分形在图像分　割　］、图像数据压缩　及计算机视觉　’方面都具有广泛的应用前景。　本谭题受国家自然科学基金资助（编号：６９６７２０ｏ７）。董远，博士生，主研顿域：人工智能，模式识别，图像处理等。　６ｌ　维普资讯 http://www.cqvip.com

２求取图像分形维数的方法　Ｐｅｌｅｇ　７，应用￡一毯子的方法，这是Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ最早推荐的方法；Ｐｅｎｔｌａｎｄ　将图像表面视为　分数布朗运动（ｆ／３ｆ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｂｒｏｗｎｉａｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ），并通过求取ｆＢｆ的Ｆｏｕｒｉｅｒ功率谱来估计分形维　数；Ｇａｎｇｅｐａｉｎ和ｌｌｏｑｕｅｓ　Ｃａｒｍｅｓ　。。　及Ｋｅｌｌｅｒ　ｅｔ　ａｌ，　Ｂ　Ｂ．Ｃｈａｕｄｈｕｒｌ　Ｅ９：则用一种称为“盒子”维数　的方法来求取分形维数。　２．１　Ｐｅｌｅｇ　ｅｔ　ａ１．法一“毯子”维　Ｐｄｅｇ　ｅｔ　ａ１．　提出一种侧量分形维数的方法。一副图像可枧为高度正比于其灰度值的丘　陵面，那么这个丘陵面的上下￡构成一副厚度为２￡的“毯子”，毯子的表面积为毯子的体积除　以２￡　对于不同的￡，毯子的面积可以重复如下计算：　设，（　，　）代表灰度值函数，　，６ｃ分别代表上表面和下表面　先令　ｕｏ（ｉ，　）＝ｂｏ（　，　）：　ｉ，　）　ｕ　（　，　）　ｎｍ｛ｕ　（　，　）＋Ｊ，　ｂ　（ｉ，』）：ｍｉｎ｝６￡】（ｉ，Ｊ）一Ｉ．ｎ１　上下两张“毯子”分别沿如下的方法上下生长，￡＝１，２，３．…　（ｍ，ｎ）｝　６ｃ　Ｉ（ｍ，ｎ）｝　此处ｄ（　，　，ｍ，ｎ）代表（　，　）与（ｍ，ｎ）两点之间的距离。　则“毯子”的容积由下式给出：　∑（　（ｉ，Ｊ）一ｂ　（　，　））　同肘表面积由下式给出：　Ａ（￡）：　由于分形表面符合下列关系式：　Ａ（￡）：Ｆｅ　。　所以我们可通过最小二乘法拟合直线ｌｇＡ（￡）一ｋＥ，从面求得分形维数Ｄ。　２．２　Ｐｅｎｔｌａｎｄ分数布朗随机场模型ｃＦＢＲ）法　Ｐｅｎｔｌａｎｄ　对自然景物的纹理特性进行了研究，证明了大多数的自然景物满足各向同性分　数布朗随机场模型　‘。　此方法共提出两种模型：ＤＦＢＲ（离散分数布朗随机场）模型、ＤＦＢＩＲ（离散分数布朗增量随　机场）模型。后经实验，人们发现离散分数布朗随机场（ＤＦＢＩ￣：Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｂｒｏｗｎｉａｎ　Ｂａｎ．　ｄｏｒａ　Ｆｉｅｌｄ）模型在应用上有尺度的，这是因为它是非平稳的。而ＤＦＢＩＲ　“模型经证明．具　有与ＤＦＢＲ模型相同的局部特性，且是平稳的，因而与大多数自然景物吻合较好。　２．３“盒子”维　Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ认为具有分形特征的表面具有自相似性，欧氏空问中的有界集台　的分形维　数Ｄ有如下关系式：　１：　ｒ　或Ｄ：丽ｌｏｇ（而Ｎｒ）　（１）　但是，直接利用（１）式计算分形维数是很困难的。　６２·　维普资讯 http://www.cqvip.com

ｃ习　ｇｑ　ｎ和Ｒｏｑｕｅｓ—ＣｆｌＩ３Ｔ￣Ｓ　采用一种叫网状盒子计算方法　这种方法速度较快，但当　图像的分形维数很高时会低估图像的分形维数。　Ｋｅｌｌｅｒ　ｅｔ　ａ１．　提出了一种修正方法。这种方法运算时间稍微长一些，但精确性更好一些。　这种方法仍存在Ｇａｎｇｅｐａｉｎ和Ｒｏｑｕｅｓ—Ｃａｎｎｅｓ方法的缺点，即当图像的分形维数很高时会低估　图像的分形维数。　Ｂ．Ｂ．Ｃｈａｕｄｈｕｒｉ　‘提出一种求取“盒子”维的方法。算法如下：　由（１）式，将太小为Ｍ×Ｍ的图像考虑成为一个三维空间，坐标（　，ｙ）代表二维平面，图像　灰度值代表ｚ轴方向。将（ｘ，ｙ）二维平面分割成大小为３　ｘ　３的格子（ｓ为整数，ＭＩ２＞￣ｓ＞１）。　此时我们有ｒ＝ｓｌＭ，在每一个格子中有许多体积为　×　×ｓ的小盒子的堆砌。使第（　，Ｊ）个　格子中的灰度表面的最大和最小的灰度值分别落人堆砌的序号为ｋ和　的盒子中。　令　（ｉ，Ｊ）＝ｚ—ｋ＋１，将所有格子的　（ｉ，　）求和，则有　∑　（ｉ，　）　通过　的变化引起ｒ的变化，用最小二乘法米拟合　（　）一ｌｏｇ（１，ｒ），求出斜率即为Ｄ。　这种“盒子”维的求法较前两种“盒子”维算法精确性好，特别是在图像的邻近区域灰度值变化　很大时　３各方法的适用范围与计算量　３．１各方法的适用范围　将一幅绝对平滑的图像分别加均值为零、不同方差ａ的高斯白噪声，得到一系列的台成图　像，如图１。　■豳口－１　２　口－３６　口－５６　　０。８Ⅱ　口－１０４　口－１　２ａ　图Ｉ混加均值为零、不同方差　的高斯白噪声所获得的多千合成图像　分别用本文提到的五种方法对图ｌ不同方差ａ的合成图像求分形维数，求得的分形维数　ａ—Ｇａｎ　Ｋｅｌｌ　莹　ｃ‘ＰｄｃＥ莹　ｄ—Ｐ％　ｄ　ｅ—ＢＢ　Ｃｈａｕ莹　圈２不同方法对不同。白噪声舍成圈像求得的分形维数结果　６３·　维普资讯 http://www.cqvip.com

值如图２。根据图像的纹理特性，理想情况下，随着噪声方差ａ的增大，图像的分形维数应该　从２．０开始逐渐增大，　渐近方式达到３．０　由图可见，Ｐｅｎｄａｎｄ，Ｐｅｌｅｇ　ｅｔ　ａ１．和Ｂ．Ｂ．Ｃｈａｕｄｈｕｒｉ法计算的结果比较满意。Ｇａｎｇｅｐａｉｎ和　Ｒｏｑｕｅｓ—Ｃａｎｎｅｓ”　、Ｋｅｌｌｅｒ　ｅｔ　ａ１Ｌｎ　法在图像灰度表面的一定粗糙程度范围内的结果比较满意，　在此　范围外曲线的斜率为零，因此这两种算法的适用范围并不覆盖整个分形维数的动态范　围。各种模型的适用范围如表１。　表１五种方法分形维鼓的适用范围　＼＼　１　＼　２．０～３　０　ａｌ　Ｂ　Ｂ　Ｃｈａｕｄｈｕｒｉ　Ｇ明铲ｐａ　２．０～３　Ｏ　２　０～３　０　２　０～２　５　Ｉ　ｄ　ａ１　２．Ｏ～２　７５　分形维数适用范围　３．２各种方法的计算量比较　选取５６　ｐｉｘｅｌ×５６　ｐｉｘｅｌ的纹理图像８幅（如图３），分别求取分形维数，实验结果如表２。机　型：Ｐｅｎｔｉｕｍ一１００．　图３纹理图像　表２算法的分形维数值与计算时间比较　＼＼　方　Ｂ　Ｂ　０ｌ棚　Ｐ￣ｔｌａｎｄ　Ｐｄｅｇｄ　．　Ｇ叭Ｂｅｐ　ｎ　Ｋ　ｅｒｄ　ａｌ　＼目像序　　、＼　舟形维数　２　５蚴１　分形维数　２　１８５２　分形维数　２．６１　Ｉ９　２．７０５　２．６０３８Ｉ７　２．６３６３９７　２．耵０陀８　２　６７２３９６　２　７４１　２　７５８３８７　舟形维数　２　２８１１４５　２　４３４５９８　２　２９蜥　分形维敫　２　５３４２７２　２．６［Ｂ栅　２．４５２３９９　２．５３９ｏ１２　２．４０３２９６　２　２．６０２３２７　２　６１６盯５　０１　０２　０３　０４　０５　０９　ｌｌ　１２　２．　凹３７　２．５∞１７４　２　５５娴　２　６４３５７３　２　４０４５６７　２．４９ｌ９１９　２．３３９７ｇ７　２　５５２９９６　２　６７５４３２　２　７１９３９４　２　３３５６５５　２．２５１２３２　２．４０２４３５　２．４１２３６６　２．４ｌ９５６３　２　４１９３２０　２　６２９６３２　２．　２．７６４（ｇ￣　运行时间比较（移）　０＋０５４９４５　０　８７３６２２５　０，ｔ４㈣ｌ　０　ｏ５鸪蚯１　０．　０Ｈ　从所得结果中可　看出，Ｂ．Ｂ．Ｃｈａｕｄｈｕｒｉ、Ｐｅｎｄａｎｄ和Ｐｅｌｅｇ　ａ１．方法所求得的分形维数接　近，Ｇａｎｇｅｐａｉｎ和Ｋｅｌｌｅｒ　ｅｔ　ａ１．方法当图像的分形维数很高时会低估图像的分形维数。但Ｐｅｎｔ—　ｌａｎｄ法由于需进行傅里叶变换来求功率谱，因而计算量太，运算时间过长。　４结　论　总的来说，Ｐｅｎｔｌａｎｄ法、Ｂ．Ｂ．Ｃｈａｎｄｔｍｆｉ法、Ｐｅｌｅｇ法精确性好，可测分形维数适用范围宽，但　６４·　维普资讯 http://www.cqvip.com

Ｐｅｎｔｌａｎｄ法计算量大，运算时问过长。Ｇａｎｇｅｐａｉｎ法与Ｋｅｌｌｅｒ　ｅｔ　ａ１．法计算时间适中，但当图像的　分形维数很高时会低估图像的分形维数，因而有一定的使用。结台适用范围和计算量两　方面考虑，我们认为Ｂ．Ｂ．Ｃｈａｕｄｈｕｆｉ法和Ｐｅｌｅｇ法较好。　参考文献　［１］Ｂ．Ｂ．Ｋａｒｄｅｌｂｒ￣，１１－ｅ　Ｆｒａｃｔａｌ　Ｇｅ￣ｌｅａｙ　Ｎａｔｕｒｅ，Ｓａｎ　Ｙｎｍｅｉ￣ｏ，ＣＡ：Ｆｗｅｍａｎ，１９８２．　［２］Ｐｅｍｌａｎｄ　Ａ　Ｐ．，　Ｆｒａｃｔａｌ—ｂａｓｅｄ　ｄｅ￣ｃｉｆｐｔｌｏｎ　０ｆ￣ｔｕｒａｌ　ｓｃｉｅｎｃｅｓ　．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ．叩Ｐａｌｔｅｍ．ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｄ＿ｉ丌ｅ　Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，Ｖｏ１．６，　Ｎｏ．６．１９８４：６６１—６７３．　［３］Ｊ　Ｐ６ｇｍＪｔ，　Ａｕｔｏｍａｔｅｄｉｍａｇｅ　ｓｅｇｍｅｎｔｍｉ￣ｂｙｍａｔｈｅｒｎ￣ａｌｍｏｒｐｈｄｏｇｙ　ａｎｄｆｒａｅｔａｌ　ｇｅｏ，ｎｅ￣”，Ｊ　Ｍｉｅｒｃｓｖａ￣ｙ，Ｖｏ１．１５，１９８８：２１—３０　［４】Ｇ　ｚ．】ｔｐ　Ｆｒａｅｔａｌ：Ｎ￣ｉｕｓｔ￣ａｏｔｈｅｒ　ｐｒｅｔｔｙ　ｐｉｃｔｕｒｅ＇’．ＩＥＥＥ　ｓＩ　１．　．１，１９８８：２９—３１．　［５］Ｍ．Ｂｅｍａｌｅｙ，Ｆｒａｅｔａｌ　ｎ　ｗ　．Ｓａｎ　Ｍｅｐ，ＣＡ：Ａｃａｄｅｍｉｃ，１９８８．　［６］Ａ　Ｐ．Ｐ芒　，“　ｌａ】ｂａｓｅｄ　ｄ，ｅａｃｉｆ　咖　ｒａａｕｍｌ　８。舯朗　，ＩＥＦＺＴｒａｍ．ＰＡＭＩ，　．６，１９８４：６６１—６７４　［７］ｓ．ｐｅｌｅｇ．Ｊ．Ｋ　ｌ丌，Ｒ　Ｈｍｔｌｅｙ，ａｎｄ　Ｄ＾ｗｕｒ，“Ｍｕｌｉｔｐｌｅ　ｒｅｓｏｌｕｔｉ￣ｔｅｘｌｍｅ　９且ｎｄ　ｄ　ｃ蚯棚”，１ＥＥＥＴｒａｎｓ　ＰＡＭＩ，Ｖｏ１．６，１９８４：　５培一５２３　［８］Ｊ　Ｋｅｌｌｅｒ，Ｒ．Ｃａｏ￣ａｏｖｅｒ，ａｎｄ　Ｓ　Ｃｈｅｎ，“Ｔｅｘｔｕｒｅ　ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ　ａｎｄ　删　仉　ｆｒａｅｔａｌ舻呻　，Ｃ，￣ｎｐｕｔ．Ｖｉ　ｍ　Ｇｌ￣ｃ８　ａｎｄ　Ｉｌｍ　ｈ优啪曲　，Ｖｏｌ　４５，１９８９：１５０—１６０一　【９］Ｂ　Ｂ．（￣ａａｎｄｈｕ６　ａｎｄ　Ｎｉｒｕｐａｍ　ｓ　ｋ盯，“Ｒ帆‘ｇ‘一１　ｌ…ｍｇ　ｄ　瞄１　”，ＩＥＥＥＴｒｍ￣ｓ．锄Ｐ＾Ｍ【，ｖｄ丌，Ｎｏ　１，　ａｎｕ　，　１９９５：７２—７７．　［１０＿Ｊ＿Ｇ目ｌ—ａｎｄ　ｃ．Ｒ叩　—ｃ一，　ＦｒａｃｔＭ　ａｐｐｒｏａｃｈｔｏｔｗｏ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ａｎｄｔｈｒｅｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｕｘｆ￣删　∞”，Ｗｅ．ａｒ，Ⅷ．　１０９．１９８６：１１９—１２６．　［１１］薛东辉、朱耀庭、朱光喜，“基于ＤＦＢＩＲ场的图像边缘提取的一种新方法”，《信号处理》，Ⅷ１３，Ｎ０，１，１９９６．　计算机应用与软件（月刊）　２００１年第１８卷第６期