2017-2018学年山西省实验中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）已知750°＜α＜800°，那么
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（3分）如果A．
B．
是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） C．
D．
3．（3分）设角α的终边上有一点P（﹣sin25°，cos25°），则α的一个可能值是（ ） A．65° B．﹣65°
C．115° D．155°
，则
等于（ ）
4．（3分）已知正方形的边长为1，A．0
B．3
C．
D．
5．（3分）cos555°的值为（ ） A．6．（3分）A．5
B． C． B．
C．
，则 D．
的图象，只需把函数y=cos2x，x∈
D．
的值为（ ）
7．（3分）为了得到函数R的图象上所有点（ ） A．沿 x 轴向左平移个单位长度 B．沿 x 轴向右平移个单位长度 C．沿 x 轴向左平移个单位长度 D．沿 x 轴向左平移
个单位长度
8．（3分）在△ABC中，点G为重心，记共线的向量是（ ）
，，，则下列向量中与
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A． B． C． D．
9．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+在区间（A． B．
，
）（ω＞0），若f（）=f（），且f（x）
）上有最小值，无最大值，则ω=（ ） C．
D．
10．（3分）在△ABC中，下列命题正确的个数是（ ） ①②
③点O为△ABC的内心，且④A．1
，则△ABC为锐角三角形． B．2
C．3
D．4
，则△ABC为等腰三角形
11．（3分）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上且BN于P点，设A．4
，则λ的值为（ ）
，AM交
B． C． D．
，则△OBC与△ABC的面
12．（3分）△ABC内有一点O，满足积之比为（ ） A．1：4
B．4：5
C．2：3
D．3：5
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共16分） 13．（3分）已知
，则在方向上的投影为 ．
14．（3分）边长为2的等边△ABC中，点M为BC边上的一个动点，则= ． 15．（3分）函数16．（3分）函数
的单调递增区间是 ．
，动直线x=t，t∈[0，π]
第2页（共18页）
与f（x）、g（x）的图象分别交于点P、Q，则|PQ|的最大值是 ．
三、解答题（本题共5小题，共48分，请写出必要的文字说明及演算步骤） 17．（8分）已知平面向量、、，且（1）若是与共线的单位向量，求的坐标； （2）若
，且
，设向量
与
的夹角为θ，求cosθ．
；
，求cosα的值．
．
18．（10分）（1）化简：（2）已知
19．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）且函数f（x）的图象与x轴的交点中，相邻两交点之间的距离为2π，图象上一个最低点为M
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象沿x轴向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横
坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在
时的值域．
20．（10分）已知A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）． （1）若α∈（0，2π），且（2）若
，求
，求角α的值； 的值．
，
，设函数
21．（10分）已知向量
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若
，0＜α＜π，求的值．
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2017-2018学年山西省实验中学高一（下）期中数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）已知750°＜α＜800°，那么
是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【分析】由已知可得
【解答】解：由750°＜α＜800°， 得∴
是第一象限角．
．
，即可判断
的象限角．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数值的符号，是基础题．
2．（3分）如果A．
B．
是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ） C．
D．
【分析】利用单位向量的定义直接求解． 【解答】解：由
是两个单位向量，知：
在A中，||=||，但，不一定同向，故A错误； 在B中，﹣1≤
≤1，故B错误；
在C中，，不一定垂直，故C错误； 在D中，故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查单位向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
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=1，故D正确．
3．（3分）设角α的终边上有一点P（﹣sin25°，cos25°），则α的一个可能值是（ ） A．65° B．﹣65°
C．115° D．155°
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，求得α的一个可能值．
【解答】解：∵角α的终边上有一点 P（﹣sin25°，cos25°），∴x=﹣sin25°＜0，y=cos25°＞0，
∴α为第二象限角，tanα==﹣故选：C．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题．
4．（3分）已知正方形的边长为1，A．0
B．3
C．
D．
=﹣cot25°=tan115°，∴α=115°，
，则等于（ ）
【分析】由+=，||=【解答】解：∵+=，||=∴故选：D．
=|2|=2
．
=．即可得出． =
．
【点评】本题考查了向量三角形法则、勾股定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（3分）cos555°的值为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】利用诱导公式、和差公式、化简即可．
【解答】解：cos555°=cos（360°+195°）=cos195°=cos（150°+45°）=cos150°cos45°﹣sin150°sin45°=故选：C．
第5页（共18页）
．
【点评】本题考查了诱导公式、和差公式以及特殊值的记忆，与计算能力，属于基础题
6．（3分）A．5
B． C．
，则 D．
的值为（ ）
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解． 【解答】解：∵∴
=2，解得tanα=5，
，
∴===﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．（3分）为了得到函数R的图象上所有点（ ） A．沿 x 轴向左平移个单位长度 B．沿 x 轴向右平移个单位长度 C．沿 x 轴向左平移个单位长度 D．沿 x 轴向左平移
个单位长度
的图象，只需把函数y=cos2x，x∈
【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：把函数y=cos2x，x∈R的图象上所有点沿 x 轴向左平移个单位长度，可得函数故选：A．
第6页（共18页）
的图象，
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8．（3分）在△ABC中，点G为重心，记共线的向量是（ ） A．
B．
C．
D．
，，，则下列向量中与
【分析】利用三角形重心的性质，到顶点距离等于到对边中点距离的二倍，利用向量共线的充要条件及向量的运算法则即可得答案． 【解答】解：在△ABC中，点G为重心，记由重心的性质可知∴
与共线．
，
，
，
，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的重心的性质，分每条中线为1：2，考查向量的运算法则，是基础题．
9．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+在区间（A． B．
，
）（ω＞0），若f（
）=f（
），且f（x）
）上有最小值，无最大值，则ω=（ ） C．
D．
【分析】由f（）=f（），由f（x）在区间（，）上有最小值，无最大
值结合三角函数的性质，可得f（x）在+
=2kπ
，即可求ω的值．
处取得最小值．可得：ω×
【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+由f（
）=f（
），在区间（
，
）（ω＞0），
）上有最小值，无最大值结合三角函数
的性质，
第7页（共18页）
可得f（x）在化简可得：ω=8k﹣∵ω＞0 当k=1时，ω=当k=2时，ω=故选：B．
．
处取得最小值．可得ω×+=2kπ，
，考查此时在区间（，）内已存在最大值．
【点评】本题考查三角函数的性质的灵活运用，属于中档题．
10．（3分）在△ABC中，下列命题正确的个数是（ ） ①②
③点O为△ABC的内心，且④A．1
，则△ABC为锐角三角形． B．2
C．3
D．4
，则△ABC为等腰三角形
【分析】利用向量加法定理、向量数量积公式直接求解． 【解答】解：由△ABC，得： 在①中，在②中，
，故①错误； ，故②正确；
，
在③中，点 O为△ABC的内心，且
则AB=AC，△ABC为等腰三角形，故③正确； 在④中，
，则∠BAC是锐角，但△ABC不一定为锐角三角形，故④错
第8页（共18页）
误． 故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量加法定理、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
11．（3分）在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上且BN于P点，设A．4
，则λ的值为（ ）
，AM交
B． C． D．
=k=
+（1
【分析】如图所示，由三点B，P，N共线，可得：存在实数k，使得﹣k）+λ
=k
+（1﹣k）×
，已知
，
=
，可得
，利用平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：如图所示，
由三点B，P，N共线，可得：存在实数k， 使得又∴∴k=
==k
+（1﹣k），
=
，
=k
+（1﹣k）×，
，
+λ
，（1﹣k）=λ，解得λ=．
故选：D．
【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（3分）△ABC内有一点O，满足
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，则△OBC与△ABC的面
积之比为（ ） A．1：4
B．4：5
C．2：3 ，
D．3：5 ，
，由
，可得
【分析】设
，则O为△A1B1C1的重心，可得
=S，分别用S表示三角形OAB与ABC的面积，则答案可求． 【解答】解：设由可得
，
， ，
，
，
则O为△A1B1C1的重心， ∴而
，
，
：（=S，
．
）=1：4．
∴△OBC与△ABC的面积之比为故选：A．
【点评】本题考查向量的三角形法则，考查两个三角形面积比值的求法，是中档题．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共16分） 13．（3分）已知
，则在方向上的投影为 ﹣＞=||•
=
．
．
【分析】在方向上的投影为：||cos＜
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【解答】解：∵
∴在方向上的投影为： ||cos＜故答案为：﹣
＞=||•
．
=
，
==﹣．
【点评】本题考查向量的投影的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．（3分）边长为2的等边△ABC中，点M为BC边上的一个动点，则= 6 ．
【分析】设BC中点为D，则+
，由此能求出结果．
=（
）（
）=
+
+
【解答】解：设BC中点为D， 则=
+
+=（
+•（
）（
）
=22+2×2×cos60°+=4+2+2=6．
故答案为：6．
）
第11页（共18页）
【点评】本题考查与向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
15．（3分）函数
的单调递增区间是 （kπ+，kπ+） ．
【分析】根据题意，先分析函数的定义域，设t=cos（2x﹣），则y=t，
由复合函数的单调性分析可得需要求t=cos（2x﹣范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数则有cos（2x﹣设t=cos（2x﹣
）＞0，解可得kπ﹣），则y=
t，
＜x＜kπ+
）的递减区间，解可得x的
， ，
又由y=t 在（0，+∞）上减函数，则要求函数的单
调递增区间， 需要求t=cos（2x﹣解可得kπ+即函数故答案为：（kπ+
，kπ+
）的递减区间，
，
的单调递增区间（kπ+）．
，kπ+
）；
＜x＜kπ+
【点评】本题考查复合函数的单调性的判定，关键是掌握复合函数单调性的判断方法．
16．（3分）函数
，动直线x=t，t∈[0，π]
．
与f（x）、g（x）的图象分别交于点P、Q，则|PQ|的最大值是
第12页（共18页）
【分析】通过将sinx+cosx平方得，，然后令u=sint+cost，
求出u的范围，并得到|PQ|关于u的函数关系式，并去绝对值，表示为分段函数的形式，求出每段函数的最值，比较大小即可得出答案． 【解答】解：∵（sinx+cosx）
，
当0≤x≤π时，则
，
令u=sint+cost，其中0≤t≤π，则
，所以，
，所以，
2
=1+2sinxcosx，所以，
|PQ|=，
当﹣1≤u≤0时，函数当由于
时，函数
单调调递减，此时，单调递增，此时，
； ．
，因此，|PQ|的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的最值，明确各函数之间的关系，合理进行换元法简化函数解析式，是解决本题的关键，属于中等题．
三、解答题（本题共5小题，共48分，请写出必要的文字说明及演算步骤） 17．（8分）已知平面向量、、，且（1）若是与共线的单位向量，求的坐标； （2）若【分析】（1）由（2）设=（x，y），则由向量
．
，且，设向量与的夹角为θ，求cosθ．
，能求出与共线的单位向量．
，求出∴=（1，﹣）或=（﹣1，），
与的夹角为θ，能求出cosθ．
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【解答】解：（1）∵∴=﹣
=）．
（1，2）=（
，是与共线的单位向量， ，
）或=﹣
=﹣
（1，2）=（﹣
，
（2）设=（x，y），则，
解得或，
∴=（1，﹣）或=（﹣1，）， 当=（1，﹣）时，∵向量
与
=（3，1），﹣=（0，），
的夹角为θ，
∴cosθ==；
当=（﹣1，）时，∵向量
与
=（﹣1，3），﹣=（2，），
的夹角为θ，
∴cosθ==﹣．
【点评】本题考查与向量共线的单位向量的求法，考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（10分）（1）化简：（2）已知
，求cosα的值．
；
【分析】（1）由角的关系2α+β=α+β+α，β=α+β﹣α及两角和与差的正弦函数公式展开即可；
第14页（共18页）
（2）由α范围求出
）
]=
的范围，可求出的值，然后由cosα=cos[（α，代值即可求出答案．
【解答】解：（1）=sin（α+β）cosα﹣
=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα =sin（α+β﹣α）=sinβ； （2）∵α∈（∴∴
则cosα=cos[（α=
∈（
，π）， ，． ）
]=． ），
【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．
19．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）且函数f（x）的图象与x轴的交点中，相邻两交点之间的距离为2π，图象上一个最低点为M
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象沿x轴向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横
坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在
时的值域．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的图象和性质，求得f（x）的解析式． （2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在
时的值域．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣π
第15页（共18页）
＜φ＜0）且函数f（x）的图象与 x 轴的交点中， 相邻两交点之间的距离为 2π， ∴
=4π，∴ω=．
，∴A=2，•
+φ=﹣
，∴φ=
∵f（x）的图象上一个最低点为M﹣
，∴f（x）=2sin（x﹣
）．
（2）将函数f（x）=2sin（x﹣y=2sin（x+
﹣
）=2sin（x﹣
）的图象沿 x 轴向左平移
）的图象；
个单位，可得
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（2x﹣在区间（0，
）的图象． ）上，2x﹣
）．
∈（﹣
，
），∴sin（2x﹣
）∈[﹣1，
），
∴g（x）∈[﹣2，
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
20．（10分）已知A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）． （1）若α∈（0，2π），且（2）若
，求
，求角α的值； 的值．
【分析】（1）利用点的坐标求出向量的坐标，根据向量模的平方等于向量的平方得到三角函数的关系，据角的范围求出角．
（2）利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角函数，利用三角函数的平方关系求出值．
【解答】解：（1）由A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα），得
，
又
，
，
∴（3cosα﹣4）2+9sin2α=9cos2α+（3sinα﹣4）2
第16页（共18页）
即sinα=cosα， ∵α∈（0，2π），∴（2）∵
，
或α=
；
∴3cosα（3cosα﹣4）+3sinα（3sinα﹣4）=0， 即9cos2α﹣12cosα+9sin2α﹣12sinα=0， 则sin故
，可得2sinαcosα==
，
=2sinαcosα=
．
【点评】本题考查向量坐标的求法、向量模的坐标公式、由三角函数值求角、三角函数中的二倍角公式、平方关系，是中档题．
21．（10分）已知向量
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若
，0＜α＜π，求
的值． ，
，设函数
【分析】（1）根据向量的数量积的运算以及两角和差的正弦公式余弦公及二倍角公式，化简可得函数f（x）解析式，再根据正弦函数的图象和性质即可求出单调增区间； （2）根据f（cos（α+
）=，求出α+
的范围，再根据同角的三角函数的关系求出
，
），最后代值计算即可．知向量
，设函数
．
【解答】解：（1）∵=2cos（x﹣=2（
）sin（x+
）﹣
+
cos2x，
+
cos2x，
cosx+sinx）（
cos2x，
sinx+cosx）﹣
=2sinxcosx+
第17页（共18页）
=sin2x+cos2x，
），
≤
+2kπ，k∈Z，
=2sin（2x+∵﹣∴﹣
+2kπ≤2x++kπ≤x≤
+kπ，k∈Z，
+kπ，），
+kπ]，k∈Z；
∴f（x）的单调递增区间为[﹣（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+∵0＜α＜π， ∴∵f（
＜α+
＜
，
）=，
）=2sin（α+
∴0＜sin（α+∴
＜α+
）=＜， ＜π，
∴cos（α+∴f（
+
）=﹣）=2sin（
， +α+
）=2cos（α+
）=﹣
．
【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及两角和差的正弦公式余弦公式，以及二倍角公式和同角的三角函数的关系，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．
第18页（共18页）
