2019届四川省成都外国语学校高三下学期3月月考试题 数学(文)试题(解析版)

学（文）试题

一、单选题

1．设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，（ ） A．C．

B．D．

（为虚数单位），则

【答案】B

【解析】由题意，求得【详解】 由题意，复数

在复平面内的对应点关于实轴对称，

，则

，

，则

，再根据复数的除法运算，即可求解．

则根据复数的运算，得【点睛】

.故选A.

本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2．利用反证法证明：若A．，都不为0 C．，都不为0，且【答案】B

【解析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】

的否定为

【点睛】

本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题. 3．设A．

，

，则下列不等式中不一定成立的是（ ）

B．

，即，不都为0，选B.

，则

，假设为（ ） B．，不都为0 D．，至少有一个为0

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C．【答案】D

D．

【解析】举反例否定D，而A,B,C可结合函数与不等式性质给予证明. 【详解】 因为因为因为当

时,在-c在

上是增函数，所以上是减函数，所以

,所以

,所以D不成立，选D.

;

;

【点睛】

本题考查指数函数单调性、反比例函数单调性以及不等式性质，考查基本应用求解能力.属基本题. 4．已知等差数列（ ） A．2019 【答案】D

【解析】根据等差数列性质得结果. 【详解】 因为

，所以

，

，再利用等差数列求和公式以及性质求

B．4038

C．1008

D．1009

的前项和为，若

，则

所以【点睛】

本题考查等差数列性质，考查基本应用求解能力.属基本题.

，选D.

5．平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ） A．16 【答案】D

【解析】根据归纳得k条直线增加到k+1条直线，则增加k+1个平面，据此计算结果. 【详解】

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B．20

C．21

D．22

由题意得k条直线增加到k+1条直线时增加k+1个平面，所以平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为【点睛】

本题考查归纳推理，考查基本应用求解能力.属基本题. 6．根据如下样本数据：

3 4.0

得到了回归方程A．【答案】A

【解析】试题分析：∵总体趋势是随着的增大而减小，∴∴

【考点】回归方程

【名师点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系。事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。如果线性相关，则直接根据用公式求a，，写出回归方程，回归直线方程恒过点（，）。

7．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系

，A．3 【答案】A

【解析】试题分析：根据平行投影的知识可知:该四面体中以

平面为投影面的正视图

，则该四面体中以

B．

中的坐标分别是

，

，

．选C.

，又

，

B．

，则（ ）

C．

D．

4 2.5 5 6 0.5 7 8 ，选D.

平面为投影面的正视图的面积为（ ）

C．2

D．

为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3. 【考点】（1）空间直角坐标系；（2）平行投影三视图.

8．已知椭圆：，左、右焦点分别为第 3 页 共 17 页

，过的直线交椭圆于

两点，若的最大值为5，则的值是（ ）

A．1 【答案】D

B． C． D．

【解析】利用椭圆的定义得

有最大值，

【详解】 由椭圆定义，有

垂直于轴时

，当线段

最小，求得

长度达最小值时，

的最小值，进而求得的值.

，所以当线段长度达最小值时，

有最大值，当的最大值为

【点睛】

垂直于轴时，

，∴

，即

，选D.

，所以

本小题主要考查椭圆的定义，考查过椭圆焦点的弦长的最小值，属于中档题. 9．设函数A．

B．

，

有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）

C．

D．

【答案】B

【解析】将函数有且只有一个零点，转化为方程，，有且只有一

个实数根，构造函数g（x），求导求得极值与端点处的值，分析得到a的值. 【详解】 ∵函数

，有且只有一个零点，

∴方程，，有且只有一个实数根，

令g（x）=，

则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，

∴g（x）在=

，

上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）

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又g（0）= g（）=0，∴若方程故选B. 【点睛】

，，有且只有一个实数根，则a=

本题考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了函数与方程的转化，利用了构造法，属于中档题.

10．在平面直角坐标系

中，

，则

A．C．

的最小值是（ ） B．D．

，若

【答案】C 【解析】根据

，判断出在以原点为圆心，半径为的圆上，根据

得到

，求得【详解】 由于

，即的最小值.

三点共线，利用圆心到直线的距离减去半径

，即得到

，所以在以三点共线.画出图像

的

原点为圆心，半径为的圆上.如下图所示，由图可知，

的最小值等于圆心到直线

的距离减去半径，直线

方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.

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【点睛】

本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三点共线的向量表示，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

11．已知函数fx{log2x,0x2sin4 ，若存在实数x1， x2， x3， x4，满x,2x10足x1x2x3x4，且fx1fx2fx3fx4，则范围是（ ）

A．0,12 B．0,16 C．9,21 D．15,25 【答案】A

x32x42的取值

x1x2【解析】函数的图象如图所示，

∵f（x1）=f（x2）， ∴﹣log2x1=log2x2， ∴log2x1x2=0， ∴x1x2=1， ∵f（x3）=f（x4）， ∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10 ∴

x32x42=xx﹣2（x+x）+4=xx﹣20，

x1x234

3

4

34

∵2＜x3＜4，8＜x4＜10 ∴

x32x42的取值范围是（0，12）

．

x1x2故答案选：A．

点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转

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化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。再就是转化为两个图像的交点时，注意图像的对称性和单调性的应用。 12．已知函数 A．

B．

恰好有两个极值点

C．

，则的取值范围是（ ）

D．

【答案】A

【解析】令此得

，分离常数，利用导数求得的单调区间，由

的取值范围，进而求得的取值范围.

【详解】

依题意，令并化简得，，构造函数，

，故当时，递增，当时，递减，.注意到

时，，由此可知与有两个交点，需要满足，故

，故选.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

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二、填空题 13．已知向量【答案】

，根据

即可得出

，进行数

，

， 若

，则

_______．

【解析】可求出

量积的坐标运算即可求出的值． 【详解】 由题意得∵∴故答案为【点睛】

． )，

，∴，

，

本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量加法和数量积的坐标运算，属于基础题.

14．已知函数，正项等比数列满足，则

.

【答案】

【解析】试题分析：因为等比数列，所以

，所以

，即．设①，又

．因为数列是

＋…＋

②，①+②，得，所以．

【考点】1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和． 【知识点睛】如果一个数列

，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都

相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．

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15．如果函数在上存在

是

满足

上的“双中值函数”，已知函数

，

，则称函数

是

上“双中值函数”，则实数的取值范围是__．

.

=t2﹣t，即方程

【答案】

【解析】分析：根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）=

3x2﹣2x=t2﹣t在区间（0，t）有两个解，利用二次函数的性质可知实数t的取值范围．

322

详解：由题意可知，∵f（x）=x﹣x+t，f′（x）=3x﹣2x

在区间[0，t]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜t）， 满足f′（x1）=f′（x2）=∵f（x）=x3﹣x2+t， ∴f′（x）=3x2﹣2x，

∴方程3x2﹣2x=t2﹣t在区间（0，t）有两个不相等的解．

22

令g（x）=3x﹣2x﹣t+t，（0＜x＜t）

=t2﹣t，

则

解得＜t＜1．

，

∴实数t的取值范围是（，1）. 故答案为：（，1）．

点睛：(1)本题主要考查了导数的求法，考查了二次方程的根的分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化为方程3x2﹣2x=t2﹣t在区间（0，t）有两个不相等的解，其二是转化得到

.

16．在平面四边形________ 【答案】10

【解析】因为AB+BC=DA+DC=5，所以将四边形放入椭圆内，A、C为左右两个焦点，

中，已知

，

，

，

，则

的值为

不妨令椭圆方程为，设第 9 页 共 17 页

，则2a=5，

由焦半径公式得，两式相减得，

而.

点睛：本题考查了四边形内两对角线向量的数量积，本题在解答时依据题目条件将其转化为椭圆内的四边形，其中两个点作为焦点，然后由焦半径公式计算出另外两个点的关系式，最后求出向量的结果，有一定难度.

三、解答题 17．如图，段

上一点，

的内角

的对边分别为的面积为

.

为

线

求：（1）（2）

的长； 的值.

(2)

，结合余弦定理先求出

，进而可得

，

【答案】(1) 【解析】（1）根据

再由三角形面积公式即可求出结果； （2）根据正弦定理求解即可. 【详解】 解：（1）由从而由（2）

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，可知

【点睛】

本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.

18．交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车，重庆市交通管理部门在对G42高速路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X(单位：毫克)的统计结果如下表： X 人数 [0，20) t [20，40) 1 [40，60) 1 [60，80) 1 [80，100) 1 [100，＋∞) 1 依据上述材料回答下列问题： (1)求t的值；

(2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率． 【答案】（1）195（2）

7 10【解析】(1)t＝200－5＝195.

(2)设酒后驾车的司机分别为A，B，C，醉酒驾车的司机分别为a，b.

抽取2人的可能为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，则含有醉酒驾车司机的概率为19．（本小题满分12分）如图所示，已知形，为边

上的中点，且

平面.

7. 10，

，

为等边三角

(Ⅰ)求证：(Ⅱ)求证：平面(Ⅲ)求该几何体

面； 平面

；

的体积。

.

为平行四边形，证得，证得

平面

.（III）作

交平面

，

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）【解析】（I）取

的中点，连接

平面

，通过证明四边形

，由此证得

从而得到

平面

.（II）利用

，由此证得平面于点，

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易得【详解】 (Ⅰ)取故四边形故又(Ⅱ)所以又

面

面，利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积.

的中点，连接

为平行四边形. . ，

平面

，则，，

，所以面.

.又

，

为等边三角形，为面，故

. 面

中点，所以

，所以面

，作.

平面. 交

于点，即

面

，

(Ⅲ)几何体是四棱锥

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题.

20．已知椭圆轴为直径的圆经过点(1)求椭圆的方程;

.

的两个焦点分别为,以椭圆短

(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问

是否为定值?并证明你的结论.

【答案】(1)；(2)定值为2.

，

，所以

，写出椭圆方程；

【解析】试题分析：（1）由题意得到

（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理，，

.

试题解析： （1）依题意，

，

.

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∵点∴∴

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，

， .

∴椭圆的方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，由解得，.

设，，则为定值. .

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：

将代入整理化简，得

，

，

.

依题意，直线与椭圆必相交于两点，设

则又

，

，

，

.

所以

综上得

为常数2.

.

点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，

求得韦达定理，则，，

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，为定值。 21．已知函数（1）求函数（2）若不等式

.

的单调区间和极值；

在区间

上恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：.

【答案】（1）单调递增区间为无极小值；（2）

，单调递减区间为，的极大值为，

；（3）详见解析.

【解析】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值；（2）先分离变量，转化为对应函数最值，再利用导数求对应函数最值，

即得结果，（3）利用（2）得相消法求和，即得结果. 【详解】 解：（1）∵

，其定义域为

，即得，再利用放缩以及裂项

，

∴令令故函数

的极大值为（2）∵

，，得，得

，

， .

的单调递增区间为

，无极小值. ，

，单调递减区间为

，

∴，令，

则令

， ，解得

.

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当在

由表知，当

内变化时，

+ ，的变化情况如下表：

0 - 时，函数有最大值，且最大值为.

，∴，

∴实数的取值范围为

（3）由（2）知，，

∴，

∴.

∵

，

∴，

即【点睛】

.

在证明不等式时，先构造函数，再对不等式进行放缩，进而利用裂项相消法求和，直至证得结论，是一个有效方法.

22．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴

1x2t2 （t为参数）为极轴.已知直线l的参数方程为{，曲线C的极坐标方程为3yt2第 15 页 共 17 页

sin28cos.

（Ⅰ）求C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A,B两点，求弦长AB. 【答案】(Ⅰ) y28x；（Ⅱ）AB32. 3【解析】试题分析：（Ⅰ）两边同时乘以 ，利用公式cosx,siny ，代入得到曲线C的普通方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，转化为

t的二次方程，根据公式ABt2t1t1t224t1t2 计算.

试题解析：解：（Ⅰ）由sin28cos，得2sin28cos，即曲线C的直角坐标方程为y28x.

2（Ⅱ）将直线l的方程代入y28x，并整理得， 3t16t0， t1t216， 3t1t2. 3所以ABt1t223．设函数（1）当（2）对任意【答案】(1)

t1t224t1t232. 2.

时，求不等式

，恒有

的解集；

，求实数的取值范围. ；(2)

改写为分段函数,根据函数

可求得函

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据找零点法去绝对值将函数的单调性结合数形结合可求得不等式的解集．（Ⅱ）根据公式数

的最小值,使其最小值大于等于3即可求得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）当时，

所以(2)

的解集为或

,由

恒成立，有

，解得．所以的取值范围是

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．

【考点】绝对值不等式．

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