导数应用：含参函数的单调性讨论(一)

导数应用：含参函数的单调性讨论(一)

一、思想方法：

f'(x)0xAB...f(x)增区间为A,B和...f'(x)0xCD...f(x)增区间为C,D和...xD时f'(x)0f(x)在区间D上为增函数xD时f'(x)0f(x)在区间D上为减函数xD时f'(x)0f(x)在区间D上为常函数讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。

二、典例讲解

例1 讨论f(x)x解：f(x)xa的单调性，求其单调区间 xa的定义域为(,0)(0,) xax2a(x0) (它与g(x)x2a同号) f'(x)122xxI）当a0时，f'(x)0(x0)恒成立，

此时f(x)在(,0)和(0,)都是单调增函数， 即f(x)的增区间是(,0)和(0,); II) 当a0时 f'(x)0(x0)xa或xa

a

f'(x)0(x0)ax0或0x 此时f(x)在(,a)和(a,)都是单调增函数，

f(x)在(a,0)和(0,a)都是单调减函数，

即f(x)的增区间为(,a)和(a,);

f(x)的减区间为(a,0)和(0,a).

步骤小结：1、先求函数的定义域，

2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，

4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。

变式练习1 : 讨论f(x)xalnx的单调性，求其单调区间

解：f(x)xalnx的定义域为(0,)

axa(x0) (它与g(x)xa同号) xxI）当a0时，f'(x)0(x0)恒成立，

f'(x)1此时f(x)在(0,)为单调增函数， 即f(x)的增区间为(0,)，不存在减区间;

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II) 当a0时 f'(x)0(x0)xa; f'(x)0(x0)0xa

此时f(x)在(a,)为单调增函数，

f(x)在(0,a)是单调减函数，

即f(x)的增区间为(a,);f(x)的减区间为(0,a).

例2．讨论f(x)axlnx的单调性

解：f(x)axlnx的定义域为(0,)

f'(x)aI）

1ax1(x0) (它与g(x)ax1同号) xx1没有意义） a 此时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)

当a0时，f'(x)0(x0)恒成立 （此时f'(x)0x当a0时，f'(x)0(x0)恒成立， （此时f'(x)0xII）

1不在定义域内，没有意义） a此时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)

1 aIII)

当a0时, 令f'(x)0x于是，当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)

x 1(0,) a 增↗ 0 1 a1(,) a 减↘ f'(x) f(x) 所以， 此时f(x)在(0,)为单调增函数，f(x)在(1,)是单调减函数， a11即f(x)的增区间为(0,);f(x)的减区间为(,).

aa1a

小结：

导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出f'(x)的零点，再其分区间然后定f'(x)在相应区间内的符号。一般先讨论f'(x)0无解情况，再讨论解

f'(x)0过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩

大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据f'(x)零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。

变式练习2. 讨论f(x)12axlnx的单调性 2word格式-可编辑-感谢下载支持

解：f(x)12axlnx的定义域为(0,) 21ax21(x0) , 它与g(x)ax21同号. f'(x)axxx 令f'(x)0ax10(x0)，

21a(另一根不在定义域内舍去) aa12 i)当a0时，f'(x)0(x0)恒成立 （此时f'(x)0x没有意义）

a 此时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)

当a0时，无解；当a0时,xii)当a0时，f'(x)0(x0)恒成立，

(此时 方程ax10判别式0,方程无解)

此时f(x)在(0,)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,)

iii)

当a0时,

当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)

x 21(0,) a 增↗ 0 11 (,) aa 减↘ f'(x) f(x) 所以， 此时f(x)在(0,即f(x)的增区间为(0,11)为单调增函数，f(x)在(,)是单调减函数，

aa11);f(x)的减区间为(,).

aa小结：

一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。

对于二次型函数（如g(x)ax1）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。

2例3． 求f(x)a2x3ax2x1的单调区间

解：f(x)axaxx1的定义域为R，

232f'(x)3a2x22ax1(3ax1)(ax1)

I) 当a0时，f'(x)10f(x)在R上单调递减，f(x)减区间为R，无增区间。 II) 当a0时3a0，f'(x)是开口向上的二次函数，

令f'(x)0得x1i)

211,x2(a0), 因此可知（结合f'(x)的图象） 3aa当a0时，x1x2

1111或x;f'(x)0x a3aa3a1111 所以此时，f(x)的增区间为(,)和(,)；f(x)的减区间为(,)

a3aa3a f'(x)0xword格式-可编辑-感谢下载支持

ii)

当a0时，x1x2

11或x;3aa

11f'(x)0x3aa1111 所以此时，f(x)的增区间为(,)和(,)；f(x)的减区间为(,)

3aa3aaf'(x)0x小结：

求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负。

变式练习3．求f(x)1312xaxx1的单调区间 322解：f(x)的定义域为R，f'(x)xax1 f'(x)是开口向上的二次函数，a4 I) 当02a2时，f'(x)0恒成立

所以此时f(x)在R上单调递增，f(x)增区间为R，无减区间。

II) 当0a2或a2时

2aa24aa24,x2,x1x2 令f'(x)0得x122 因此可知（结合f'(x)的图象）f(x)与f'(x)随x变化情况如下表

x (,x1)  增↗ x1 0 (x1,x2)  减↘ x2 0 (x2,)  增↗ f'(x) f(x) aa24aa24)和(,)； 所以此时，f(x)的增区间为(,22aa24aa24,) f(x)的减区间为(22

小结：

三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号x1,x2代替复杂的式，最后结论才写回。

个别点处导数为0不影响单调性。只有在某区间内导数恒为0时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况。

三、巩固作业：

1. 已知函数f(x)lnxa.，求f(x)的单调区间. xword格式-可编辑-感谢下载支持

解：函数的定义域为（0，+），fx 令f'x0得：xa

1axa22, xxx若a0即a0，则fx0,fx在(0,)上单调递增； 若a0即a0，则由fx0得x>-a,由fx0得x<-a

fx在(a,)上单调递增,在0,-a上单调递减.

总之，当a0时，fx在(0,)上单调递增； 当a0时，fx在(a,)上单调递增,在0,-a上单调递减.

12x－ax+(a－1)lnx，讨论函数f(x)的单调性,求出其单调区间。 2解： f(x)的定义域为(0,).

2.已知函数f(x)=

xa1a1x2axa1(x1)(x1a)x1

=f(x)xaxxxx'令f'x0得:x11,x2a1

(1)若a10即a1时，f'(x)0x1;f'(x)00x1 此时f(x)在(1,)单调递增,在(0,1)单调递减

时，(2)若a10即a1

(x1)2 ①若a11即a2时，f(x)>0, 故f(x)在(0,)单调递增.

x②若0'由f(x)0得，a1x1；由f(x)0得，0xa1或x1 故f(x)在(a1,1)单调递减，在(0,a1),(1,)单调递增. ③若a11,即a2时，

由f(x)0得，1xa1；由f(x)0得，0x1或xa1 故f(x)在(1,a1)单调递减，在(0,1),(a1,)单调递增. 综上所述，当a1，f(x)单调增区为 (1,),减区间是(0,1);

当1a2时，f(x)的减区间是(a1,1)，增区间是(0,a1),(1,)； 当a2时，f(x)在定义域上递增，单调增区为(0,) （不存在减区间）; 当a2时，f(x)的减区间是(1,a1)，在增区间是(0,1),(a1,).

注意：必须问什么答什么，分类讨论最后必须有综述.

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