２８ 福建中学数学 综上，只有当ＢＤ在Ｙ轴上时，才使椭圆的外切 ２０１４年第１、２期 对高考题的每一次深入研究，都能让我们更深 刻地认识数学的本质．数学教育者应当不懈追求， 研究出更多更好的成果，不断提升数学教育的高度， 更好地教书育人． 参考文献 ［１］袁俊硎，熊光汉．椭圆的外切平行四边形及其性质．中学数学月刊 ２００６（５）：２６－２８ 平行四边形＝ＡＢＣＤ为菱形，即椭圆的外切菱形的对 角线必在坐标轴上．因此当其为正方形时，四条边 所在直线的倾斜度必为４５。或１３５。，即椭圆的外切正 方形只有唯一一个，且为（Ⅱ）中所证之外切正方形． 定理１的结论得证，定理２的证明与以上类 似．另外，焦点在Ｙ轴上的椭圆和双曲线的外切菱形 同样有类似的性质，请读者自行证明之． 有心曲线“类准线＂的若干性质 刘旭飞 浙江省温州市温州中学（３２５０１４） 直线，： ＝ 上． ｍ 近年来，以椭圆、双曲线的“类准线”为背景的高 考试题频频登台亮相，并以其独特的魅力，引起人 们的广泛关注，如２０ｌ０年高考江苏第ｌ８题、２０１２ 年高考安徽第２０题、２０１２年高考福建第ｌ９题等， 预计在今后的高考中将出现更多，故有必要对椭圆 的类准线的性质进行探究整理．本文将介绍椭圆的 类准线的一些优美性质，对于双曲线也有类似地结 论，不再赘述，供有兴趣的读者参考． ｖ（２）已知点Ｑ（ｍ，０），Ｐ为直线，： ＝ 上的任 ｍ 意一点，ＡＰ交交椭圆于点Ｍ，ＭＱ交椭圆于另一点 Ⅳ，则直线ＰＮ必过椭圆另一顶点Ｂ． 性质３设Ｐ为直线，： ＝一ａ上的任意一点，过Ｐ ２ ，２ 性质ｌ已知Ｐ为椭圆 ＋ Ｙ＝ｔ（ａ＞ｂ＞０）上异 ａ Ｄ一 作椭圆 ＋ ：１（ ＞６＞０）的两条切线，切点分别为 ａ Ｄ 于长轴端点的任一点，Ｍｉ（一ｍ，０），Ｍ２（ｍ，０）是Ｘ轴 上的两点，椭圆在点Ｐ处的切线分别交直线 ，１Ｍ，ＪＶ，（如图３） （１）则 过定点Ｑ（ ，０），且 ‘ 一 １９－ ； １．２ ２ ２ ： ＝一 ，１２： ＝ 于Ａ，Ｂ两点，直线ＡＭ ，ＢＭ， 交于点Ｑ，则Ｘ ＋ ＝０．（如图１） （２）若ＰＯ与ＭＮ交于点Ｅ，与椭圆交于点Ｆ，则 Ｅ为线段 的中点，￣．ＩＯＦＩ ＝ｌＯＥｌ・ｌｏｐＩ； （３）若直线Ｘ＝ａ与ＰＭ，ＰⅣ分别交于点Ｃ，Ｄ， 则ｃ，Ｄ两点的纵坐标之积为定值 ． ＾ —≯ 性质２设 ，Ｂ分别为椭圆 ＋ ＝ｌ（ａ＞ｂ＞０） ａ ２ １９ 摒斟摒 麟斟摒 性质４设 ，Ⅳ是椭圆 Ｘ２＋ ｙ２＝的左、右顶点，Ｐ为直线，：Ｘ＝ 上的任意一点，若 ｍ １（ ＞６＞０）上 ＰＡ，朋与椭圆分别相交于点 ，Ⅳ，（如图２） （１）则直线 过定点Ｑ（ｍ，０）； （２）若ＭＢ ｎ，＝尸 ，则Ｐ，Ｐ 的纵坐标之积为 ，．不关于Ｙ轴对称的两点，Ａ是Ｘ轴上任意点，直线 ＡＭ， Ⅳ分别与直线，： ：ａＺ交于ｃＤ，则直线 ，２ 定值ｂ （１一 ）． ｍ一 ＭＮ过定点Ｑ（ ，０）的充要条件是 ＋一１ １＋１一． ｙＭ ｙ Ｎ ｙｃ ｙ 注（１）若过点Ｑ（ｍ，０）的直线ＭＮ分别交椭圆 （如图４） 性质５设ＭＮ是过定点Ｑ（ｍ，０）的椭圆 ＋ ａ。 Ｄ‘ 于点 ，Ⅳ，直线ＭＡ，ＮＢ相交于点Ｐ，则Ｐ必在 ２０１４年第１、２期 福建中学数学 ２９ ＝１ ＞ｂ＞０）的一条动弦，Ｐ为直线，：Ｘ＝ 上的任 ｍ 推论３过点（ ，０）的直线与 Ｘｚ＋ ：１ ＞０， ｍ ａ。 意一点，则直线Ｐ ，ＰＱ，ＰＮ的斜率成等差数 列．（如图５） ｂ＞０）交于 ， 两点， 关于Ｘ轴的对称点为Ｅ， 则ＢＥ过定点Ｑ（ｍ，０）． 参考文献 ［１］苏立标．椭圆的“类准线”的性质初探．中学数学教学，２００７（３）：１８—１９ ［２］彭世杰．有心圆锥曲线切线“类准线”的一个性质．福建中学数学，２００９ （７）：８－９ 推论１设ＭＮ是过定点Ｑ（ｍ，０）的椭圆 ＋ａ— Ｚｙ１（ｄ＞ｂ＞０）的一条动弦，Ｐ为直线，： ： ：．，Ｄ。 ｍ 与Ｘ轴的交点，则ＰＱ平分ＺＭＰＮ． ３］宋幸．从一个解题错误引发的问题探究．数学教学，２０１２（１０）：１７—１８ 推论２设Ｑ ，０），过点（ ，０）的直线与 Ｘｚ＋ ｍ ＝口 Ｄ ｌ（ａ＞０，ｂ＞０）交于 ， 两点，则 Ｄ＋ｋＢ。＝０． 从商榷到深化 ——也谈２０１２年高考数学山东卷理科第１６题 罗增儒 陕西师范大学数学系（７１００６２） 文［１］对２０１２年高考数学山东卷理科第１６题的 答案提出商榷，本文从这个商榷的失误出发，谈一 个认识的深化． １关于商榷 ２０１２年高考数学山东卷理科第１６题是： 例１（２０１２年高考数学山东卷理科第ｌ６题，５ 分）如图１，在平面直角坐标系ｘｏｙ中，一单位圆的 的切线”，这主要是心理性错误，而 由此又导致知识性错误和逻辑性错 误． １．２知识性错误 知识性错误主要指所涉及的内 容不符合数学事实．把不是切线的 图１ ＯＰ误为圆的切线，本身就是一个知识性错误，由这 个假命题出发，文［１］推出了一系列的假命题，表现 为一个个知识性错误． 表现１由切线的性质得ＯＰ＝ＯＡ＝２，但ＯＰ＝２ 有知识性错误． 圆心的初始位置在（０，１），此时圆上一点Ｐ的位置在 （０，０），圆在Ｘ轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位 于（２，１）时，ＯＰ的坐标为——． 文［１】认为该题应该有三个答案Ｐ（２一ｆｉｎ２，Ｉ—ｏＯｓ２）， ，，‘ Ｑ、 表现２由切线的性质及四边形的内角和推出 ＬＰＯＡ＝兀一２，这又是一个知识性错误，其实ＺＰＯＡ≠ 兀一２． （一２ｃｏｓ２，２ ｓｉｎ２）， Ｉ ） ），导Ｉ ，并且三个答案是“殊 途同归”的，第３个答案最好．其实代入检验可知： ，， Ｑ、 表现３由上面两个知识性错误，文［１］推出 三种答案并不等价，答案（－２ｃｏｓ２，２ｓｉｎ２）和 【 ＼、） ）／，兰ｌ Ｏ ＝（一２ｃｏｓ２，２ｓｉｎ２），这是第３个知识性错误． 都不对．文［１】的错误是从默认ＯＰ为圆的线开始，然 后越走越远，表现为心理性错误、知识性错误和逻 辑性错误． 表现４由ＯＰ＝２，文［１］推出 ＝Ｉ ） ），要１／ ，这 是第４个知识性错误． １．１心理性错误 心理性错误主要指解题主体由于某些心理原因而 产生的解题错误．本例中，题目并没有说ＯＰ是圆的 表现５文［１］在论证三种答案相互等价时，由切 线的性质推得ＺＯＣＰ＝ＺＯＣＡ＝１，则ｃｏｓ１＝ｃｏｓＡＯＣＡ 厂＿ ４５：＿＝＿３ 一 ，ｓｉｎ１：ｓｉｎＺＯＣＡ： ３ ，这有三个知识性错 切线，原答案求出Ｐ（２一ｓｉｎ２，１一ｃｏｓ２）也没有用到“切 线”条件，这个“条件”是文［１］自己“默认”或“潜在假 设”添加上去的，其添加的依据很可能是图１的粗糙 直观：ＯＰ像是切线．由图形的诱发、“默认ＯＰ为圆 误，其一，ＺＯＣＰ与ＺＯＣＡ并不相等，说ＬＯＣＰ＝ ＺＯＣＡ是第５个知识性错误；其二，ＡＯＣＰ和ＡＯＣＡ 的弧度数不是１，说ＬＯＣＰ＝１且ＺＯＣＡ＝１是第６个
