2019-2020学年天津市耀华中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 已知𝑀={𝑦|𝑦=𝑥2}，𝑁={𝑥|
𝑥22
+𝑦2=1}，则𝑀∩𝑁=( )
A. {(−1,1)，(1,1)} C. [0,√2]
2. 下列函数中是偶函数的是( )
B. {1} D. [0,1]
B. 𝑦=𝑥2+2,𝑥∈(−3,3] D. 𝑦=𝑥−2
A. 𝑦=−𝑥 C. 𝑦=|log2𝑥|
𝑥
1
2
3
3. 若函数𝑓(𝑥)=(2𝑥+1)(𝑥−𝑎)为奇函数，则实数a的值为( )
A. 2 A. 充要条件
B. 3 C. 4
3
D. 1
4. 设𝑥>0,𝑦∈𝑅,则“𝑥>𝑦”是“𝑥>|𝑦|”的( )
B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
𝑎(𝑥−1)𝑥−2
C. 必要而不充分条件
5. 当0<𝑎<1时，关于x的不等式
>1的解集是( )
A. (2,𝑎−1) C.
𝑎−2
B. (𝑎−1,2) D.
2−𝑎
6. 幂函数𝑦=𝑥𝑚与𝑦=𝑥𝑛在第一象限内的图象如图所示，则( )．
A. −1<𝑛<0<𝑚<1 C. −1<𝑛<0,𝑚>1
( )
B. 𝑛<−1,0<𝑚<1 D. 𝑛<−1,𝑚>1
7. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−2)(𝑎𝑥+𝑏)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则𝑓(1−𝑥)>0的解集为
A. (−1,3) C. (−1,1) A. −17
B. −7
B. (−∞,−1)∪(3,+∞) D. (−∞,−1)∪(1,+∞) C. 7
D. 17
8. 设𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥−1−5，其中𝑎,𝑏为常数，若𝑓(7)=7，则𝑓(−7)=( )
9. 已知𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)上是增函数，则𝑓(𝑥+1)≥0的解集为( )
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A. (−∞,−1] B. (−∞,1]
1
C. [−1,+∞) D. [1,+∞)
10. 若𝑎>2，𝑏>3，求𝑎+𝑏+(𝑎−2)(𝑏−3)的最小值是( )
A. 3 B. 8 C. 9 D. 5
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 设集合𝐴={2,8，𝑎}，𝐵={2,𝑎2−3𝑎+4}且𝐵⊆𝐴，则𝑎=__________． 12. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑚2−3𝑚−3)𝑥√𝑚为幂函数，则实数m的值为______ ．
13. 已知p：𝑥2+2𝑥−3>0，q：𝑥>𝑎，且￢𝑞的一个充分不必要条件是￢𝑝，则a的取值范围是
______ ．
𝑥+2,𝑥≤0
，则𝑓(3)=__________ ． 14. 已知函数𝑓(𝑥)={
2𝑓(𝑥−2),𝑥>0
15. 若函数𝑓(𝑥)=(𝑎−1)𝑥与𝑔(𝑥)=𝑥都是区间(0,+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是
________．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
16. 某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x元与日销售量y
件之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (Ⅰ)确定x与y的一个一次函数关系式𝑦=𝑓(𝑥)；
(Ⅱ)若日销售利润为P元，根据(Ⅰ)中关系写出P关于x的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
𝑎
17. 已知集合𝐴={𝑦|𝑦=3𝑥−1,0≤𝑥≤1}，𝐵={𝑥|(𝑥−𝑎)[(𝑥−(𝑎+3))]<0}．
(1)若𝑎=1，求𝐴∪𝐵；
(2)若𝐴∩𝐵=⌀，求实数a的取值范围．
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18. 解关于x的不等式𝑥2+(𝑚−1)𝑥−𝑚≥0．
19. 已知函数𝑓(𝑥)=3𝑥+1+𝑎(𝑎∈𝑅)为奇函数
(1)求a的值；
(2)当0≤𝑥≤1时，关于x的方程𝑓(𝑥)+1=𝑡有解，求实数t的取值范围．
2
20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥+𝑏对于任意的实数x都有𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥)成立，且𝑓(0)=−3．
(1)求𝑓(𝑥)的解析式；
(2)若𝑔(𝑥)=𝑡−𝑓(log2𝑥)在𝑥∈[2,4]上最大值为ℎ(𝑡)，求ℎ(𝑡)在𝑡∈[2,4]时的最小值．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：由M中𝑦=𝑥2≥0，得到𝑀=[0,+∞)， 由N中
𝑥22
+𝑦2=1，得到−√2≤𝑥≤√2，即𝑁=[−√2,√2]，
则𝑀∩𝑁=[0,√2]. 故选：C．
求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.答案：D
解析： 【分析】
本题主要考查函数奇偶性的判断，解题过程中一定要注意不能只判断𝑓(𝑥)与𝑓(−𝑥)的关系，一定要检验函数的定义域是否关于原点对称． 【解答】
𝐴:函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)， 𝑓(−𝑥)=−−𝑥=𝑥=−𝑓(𝑥) 为奇函数.故A错．
𝐵:函数的定义域为(−3,3]，关于原点不对称， 故为非奇非偶函数.故B错．
𝐶:函数定义域为(0,+∞)，关于原点不对称， 故函数为非奇非偶函数，故C错．
𝐷:∵𝑦=𝑥−2=𝑥2定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)， 且𝑓(−𝑥)=(−𝑥)2=𝑥2=𝑓(𝑥)， 为偶函数.故D正确 故选D
1
113
3
3.答案：A
解析： 【分析】
本题考查了奇函数的性质，属于基础题．利用奇函数的性质可得𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=0即可得出． 【解答】
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解：∵函数𝑓(𝑥)=(2𝑥+1)(𝑥−𝑎)为奇函数， ∴𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=∴1−2𝑎=0，
解得𝑎=2.经过验证满足条件． 故选A．
1
−𝑥
(−2𝑥+1)(−𝑥−𝑎)
𝑥
+
𝑥(2𝑥+1)(𝑥−𝑎)
=0，化为(1−2𝑎)𝑥=0恒成立，
4.答案：C
解析： 【分析】
本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题． 【解答】
解：当3>−4,3<|−4|,所以充分性不成立； 由𝑥>|𝑦|≥𝑦⇒𝑥>𝑦,必要性成立． 故选C．
5.答案：A
解析： 【分析】
本题主要考查分式不等式求解，属于基础题．
先将分式的右边化为零，然后将分式不等式转化为等价的整式不等式来求解即可． 【解答】 解：
𝑎(𝑥−1)𝑥−2
>1⇒
𝑎𝑥−𝑥−𝑎+2
𝑥−2
>0，
(𝑎−1)(𝑥−
𝑥−2
𝑎−2
)𝑎−1>0，
𝑎−2
等价于：(𝑎−1)(𝑥−𝑎−1)(𝑥−2)>0 ∵0<𝑎<1，∴𝑎−1<0，
∴题干不等式等价于(𝑥−𝑎−1)(𝑥−2)<0，
𝑎−2
𝑎−2
−2=𝑎−1>0⇒𝑎−1>2， 𝑎−1
∴不等式的解集为(2,𝑎−1)． 故选A．
𝑎−2
−𝑎𝑎−2
6.答案：B
解析：
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【分析】
本题考查幂函数的图象与性质，基本知识的考查．直接利用幂函数的图象与性质判断选项即可． 【解答】
𝑦=𝑥𝑛是减函数，0<𝑚<1．解：由幂函数的图象与性质可知：幂函数𝑦=𝑥𝑚是增函数，所以𝑛<−1， 故选B．
7.答案：B
解析： 【分析】
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键．根据函数奇偶性的定义，求出a，b的关系，结合函数的单调性判断a的符号，然后根据不等式的解法进行求解即可． 【解答】
解：∵𝑓(𝑥)=(𝑥−2)(𝑎𝑥+𝑏)=𝑎𝑥2+(𝑏−2𝑎)𝑥−2𝑏为偶函数， ∴𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)， 则(𝑏−2𝑎)=0， 得𝑏=2𝑎，
则𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−4𝑎=𝑎(𝑥2−4)， 若𝑓(𝑥)在(0,+∞)单调递减， 则𝑎<0，
由𝑓(𝑥)<0得𝑎((1−𝑥)2−4)<0，即(1−𝑥)2−4>0， 得𝑥<−1,𝑥>3，
即不等式的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)， 故选B．
8.答案：A
解析： 【分析】
本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法． 直接利用函数的奇偶性化简求解即可． 【解答】
解：𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥−1−5，其中a，b为常数，若𝑓(7)=7， 可得𝑎73+𝑏7−1−5=7，解得𝑎73+𝑏7−1=12， 𝑓(−7)=−(𝑎73+𝑏7−1)−5=−17．
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故选：A．
9.答案：C
解析：解：∵𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)上是增函数， ∴函数𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)上是增函数，𝑓(0)=0， ∴不等式𝑓(𝑥+1)≥0等价于𝑓(𝑥+1)≥𝑓(0)， 则𝑥+1≥0，得𝑥≥−1，
∴𝑓(𝑥+1)≥0的解集为[−1,+∞)， 故选：C．
本题主要考查函数的奇偶性与单调性，是基础题．
由题意可得，函数𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)上是增函数，𝑓(0)=0，𝑓(𝑥+1)≥0等价于𝑓(𝑥+1)≥𝑓(0)，则𝑥+1≥0，由此得解．
10.答案：B
解析：解：∵𝑎>2，𝑏>3，
∴𝑎+𝑏+(𝑎−2)(𝑏−3)=(𝑎−2)+(𝑏−3)+(𝑎−2)(𝑏−3)+5≥3√(𝑎−2)(𝑏−3)⋅(𝑎−2)(𝑏−3)+5=8， 当且仅当𝑎−2=𝑏−3=(𝑎−2)(𝑏−3)时，即𝑎=3，𝑏=4时取等号． ∴𝑎+𝑏+(𝑎−2)(𝑏−3)的最小值是8． 故选：B．
变形利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
1
1
1
1
3
1
11.答案：−1或4
解析： 【分析】
本题考查集合的包含关系判断及应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 利用𝐵⊆𝐴，求出a，再检验，即可得出结论． 【解答】 解：因为𝐵⊆𝐴，
所以𝑎2−3𝑎+4=8或𝑎2−3𝑎+4=𝑎． 由𝑎2−3𝑎+4=8，得𝑎=4或𝑎=−1； 由𝑎2−3𝑎+4=𝑎，得𝑎=2．
经检验：当𝑎=2时集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，
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所以符合题意的a的值为−1或4． 故答案为−1或4．
12.答案：4
解析：解：由题意得：
𝑚2−3𝑚−3=1，解得：𝑚=4或𝑚=−1， 故𝑚=4； 故答案为：4．
根据幂函数的定义求出m的值即可． 本题考查了幂函数的定义，是一道基础题．
13.答案：𝑎≥1
解析：解：p：𝑥2+2𝑥−3>0，解得𝑥>1或𝑥<−3.∴￢𝑝：−3≤𝑥≤1． q：𝑥>𝑎，￢𝑞：𝑥≤𝑎．
∵￢𝑞的一个充分不必要条件是￢𝑝， ∴𝑎≥1．
则a的取值范围是𝑎≥1 故答案为：𝑎≥1．
p：−3≤𝑥≤1.根据￢𝑞的一个充分不必要条件是￢𝑝，𝑥2+2𝑥−3>0，解得𝑥>1或𝑥<−3.可得￢𝑝：即可得出．
本题考查了一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.答案：4
解析： 【分析】
本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键要注意不同的x对应的函数解析式，属于基础试题．
由分段函数解析式，逐步代入可求结果． 【解答】
𝑥+2,𝑥≤0
， 解：因为𝑓(𝑥)={
2𝑓(𝑥−2),𝑥>0
所以𝑓(3)=2𝑓(3−2)=2𝑓(1)=4𝑓(1−2)=4𝑓(−1)=4×(−1+2)=4． 故答案为4．
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15.答案：(0,1)
解析： 【分析】
本题考查一次函数及反比例函数的单调性，属于基础题．
分别求出𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)在(0,+∞)上单调递减的a的范围，然后求交集即可． 【解答】
解： 由题意函数𝑓(𝑥)=(𝑎−1)𝑥与𝑔(𝑥)=𝑥都是区间(0,+∞)上的减函数， 𝑎−1<0得{，解得0<𝑎<1． 𝑎>0故答案为(0,1)．
𝑎
16.答案：解：(Ⅰ)因为𝑓(𝑥)为一次函数，设𝑦=𝑎𝑥+𝑏，
45𝑎+𝑏=27
解方程组{，
50𝑎+𝑏=12得𝑎=−3，𝑏=162， 又因为𝑦≥0， 所以0≤𝑥≤54，
故𝑦=162−3𝑥(0≤𝑥≤54)为所求的函数关系式; (Ⅱ)依题意得：𝑃=(𝑥−30)⋅𝑦=(𝑥−30)⋅(162−3𝑥)， =−3(𝑥−42)2+432， 当𝑥=42时，𝑃最大=432，
即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．
(Ⅰ)因为𝑓(𝑥)为一次函数，(50,12)，解析：设𝑦=𝑎𝑥+𝑏，代入(45,27)，可得函数解析式，根据𝑦≥0，可得函数定义域；
(Ⅱ)依题意得：𝑃=(𝑥−30)⋅𝑦，利用配方法，可得最大的日销售利润．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查配方法的运用，确定函数解析式是关键．
17.答案：解：𝐴=[−1,2]，𝐵=(𝑎,𝑎+3)；
(1)𝑎=1时，𝐵=(1,4)； ∴𝐴∪𝐵=[−1,4)； (2)∵𝐴∩𝐵=⌀； ∴𝑎≥2，或𝑎+3≤−1； ∴𝑎≥2，或𝑎≤−4；
∴实数a的取值范围为{𝑎|𝑎≤−4，或𝑎≥2}．
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解析：(1)可先求出𝐴=[−1,2]，𝐵=(𝑎,𝑎+3)，𝑎=1时，得出集合B，然后进行并集的运算即可； (2)根据𝐴∩𝐵=⌀即可得出𝑎≥2，或𝑎+3≤−1，从而得出实数a的取值范围． 考查描述法和区间表示集合的定义，并集、交集的运算，空集的概念．
18.答案：原不等式化为(𝑥+𝑚)(𝑥−1)≥0，
当𝑚>−1时，解集为{𝑥|𝑥≤−𝑚或𝑥≥1}；当𝑚=−1时，解集为R；当𝑚<−1时，解集为{𝑥|𝑥≤1或𝑥≥−𝑚}
−𝑚<1，解析：原不等式化为(𝑥+𝑚)(𝑥−1)≥0，当𝑚>−1时，不等式的解集为{𝑥|𝑥≤−𝑚或𝑥≥1}；当𝑚=−1时，不等式的解集为R；当𝑚<−1时，−𝑚>1，不等式的解集为{𝑥|𝑥≤1或𝑥≥−𝑚}．
19.答案：解：(1)∵函数𝑓(𝑥)的定义域为(−∞,+∞)，
∴若𝑓(𝑥)=3𝑥+1+𝑎(𝑎∈𝑅)为奇函数， 则𝑓(0)=0，
即𝑓(0)=1+1+𝑎=1+𝑎=0， 解得𝑎=−1； (2)∵𝑎=−1， ∴𝑓(𝑥)=
23𝑥+122
−1，
若当0≤𝑥≤1时，关于x的方程𝑓(𝑥)+1=𝑡有解， 即3𝑥+1−1+1=3𝑥+1=𝑡， 即𝑡=3𝑥+1，
当0≤𝑥≤1时，1≤3𝑥≤3， 则2≤1+3𝑥≤4，
1
22
2
≤3𝑥+1≤2， 4
即2≤3𝑥+1≤1
即实数t的取值范围是2≤𝑡≤1．
1
1
2
11
解析：(1)根据函数𝑓(𝑥)是奇函数，得到𝑓(0)=0，即可求a的值； (2)当0≤𝑥≤1时，化简方程𝑓(𝑥)+1=𝑡，即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性的应用以及方程解的应用，利用𝑓(0)=0是解决本题的关键．
20.答案：解：(1)函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥+𝑏对于任意的实数x都有𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥)，
可得𝑓(𝑥)关于直线𝑥=1对称，即有𝑎=2， 由𝑓(0)=−3，可得𝑏=−3， 即𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−3；
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(2)令𝑚=log2𝑥(1≤𝑚≤2)，
可得𝑓(𝑚)=𝑚2−2𝑚−3，即𝑔(𝑥)=𝑡−𝑓(𝑚)=−(𝑚−1)2+𝑡+3在𝑚∈[1,2]递减， 可得ℎ(𝑡)=𝑡+3，
由ℎ(𝑡)在𝑡∈[2,4]时的最小值为5．
解析：(1)由条件可得𝑓(𝑥)的对称轴为𝑥=1，可得𝑎=2，再由𝑓(0)=−3，可得b，进而得到所求解析式；
(2)令𝑚=log2𝑥(1≤𝑚≤2)，由二次函数的单调性，可得ℎ(𝑡)，再由一次函数的单调性，可得所求最小值．
本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法和函数的对称性，考查对数函数的单调性和二次函数在闭区间上的最值，考查运算能力，属于基础题．
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