潮流计算问题

各种潮流计算模型和算法的特点、适用范围以及相互之间的区别和联系（课后题） 影响潮流收敛性的因素，以及如何改善潮流计算的收敛性（课后题）

通过功率方程说明为什么潮流计算的数学模型是非线性的应该采用什么样的数学方法求解（03A、05A）

电力系统的潮流计算有哪些常规算法有哪些扩展算法（05B） 潮流计算的目的是什么其数学模型是什么有何特点（06B） 简要说明潮流计算的概念、模型及计算方法。（07B）

高斯赛德尔迭代法和牛顿拉夫逊迭代法是常规的潮流计算方法，请介绍一下最优潮流（OPF）算法的原理及其应用。（04电科院） 潮流计算的目的：

常规潮流计算的目的是在已知电力网络参数和各节点的注入量的条件下，求解各节点电压。 目的1：

1. 在电网规划阶段，通过潮流计算，合理规划电源容量和接入点，合理规划网架，选择无

功补偿方案，满足规划水平年的大小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。 2. 在编制年运行方式，在预计复合增长及新设备投运基础上，选择典型方式进行潮流计算，

发现电网中的薄弱环节，供调度人员异常调度控制参考，并对规划、基建部门提出改进网架结构，加快基建进度的建议。

3. 正常检修及特殊运行方式下的潮流计算，用于日常运行方式的编制，指导发电厂开机方

式，有功、无功调整方案及负荷调整方案，满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。

4. 预想事故、设备退出运行对静态安全分析的影响及做出预想的运行方式调整方案。 目的2：

A. 检查电力系统各元件是否过负荷；

B. 检查电力系统各节点的电压是否满足电压质量的要求；

C. 根据对各种运行方式的潮流分布计算，可以正确的选择系统接线方式，合理调整负荷，

以保证电力系统安全、可靠地运行，向用户供给高质量的电能； D. 根据功率分布，可以选择电力系统的电气设备和导线截面积，可以为电力系统继电保护

整定计算提供必要的数据等； E. 为电力系统扩建和规划提供依据；

F. 为调压计算、经济运行计算、短路计算等提供必要的数据。

数学模型：数学模型为：潮流计算所用的电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。普遍采用节

&&&YU点法，I来建立潮流计算的数学模型。在实际工程中，节点注入量不是电流，而是节

PjQ&点功率，因此节点电压方程要进行修改：Ii*i,(i1,2,...,n)，进一步得到

UiPijQiUi*YijUj,(i1,2,...,n)，上式为电压的非线性隐函数，无法直接求解，必须通

j1n*过一定的算法求近似解。这是潮流计算问题最基本的方程式，是一个以节点电压U为变量

•的非线性代数方程组，采用节点功率作为节点注入量是造成方程组呈非线性的根本原因。对于每个节点，要确定其运行状态，需要四个变量，P、Q、U、，n个节点共4n个运行变量需要确定，如果将节点电压方程式的实部和虚部拆开，形成2n个实数方程，在潮流计算前，必须先确定2n个变量作为已知量。这样潮流方程就可解。根据节点电压表示方式的不

&ejf，U&Ueji）同（U，可以得到直角坐标系和极坐标系下的潮流方程。 iiiii直角坐标系下功率方程：PieiGijejBijfjfiGijfjBijej0j1j1 （i1,2,L,n）nnQifiGijejBijfjeiGijfjBijej0j1j1极坐标系下功率方程：PiUiUjGijcos(ij)Bijsin(ij)0 j1（i1,2,L,n）nQiUiUjBijcos(ij)Gijsin(ij)0j1nnn常规算法有：高斯-赛德尔法、牛顿-拉夫逊法、快速解耦法

扩展算法有：保留非线性潮流算法、最小化潮流算法、最优潮流、直流潮流法、随机潮流法、三相潮流

高斯-赛德尔法：高斯-赛德尔法的迭代格式为：

Ui•(k1)*(k)1PijQin[YijUj](，i2,3,...,n)

*(k)Yiij1Uiji收敛判据为：maxUi(k1)•U(k)i

优点：原理简单，程序设计容易。导纳矩阵是一个对称且高度稀疏的矩阵，因此占用内存非

常节省。

缺点：收敛速度很慢，算法收敛所需的迭代次数与所计算网络的节点数目有密切关系，在系统病态的情况下，收敛困难。

1) 重负荷节点； 2) 负电抗支路 ； 3) 较长辐射型线路；

4) 长短线路接在同一节点上； 5) 且长短线路的比值很大；

牛顿-拉夫逊法：该算法实际上是非线性方程或非线性方程组的多次线性逼近。

'(k)(k)(k)f(x)xf(x)牛顿法的迭代格式为：

(k1)(k)(k)xxx修正方程有极坐标形式和直角坐标形式：

PHQM

PHNM和QLU/U2RUNeLf S修正方程的特点：

1) 在PV节点所占比例不大时，两者方程的数目都接近2(n1)。

2) 雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。

3) 按节点序号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，

是一个高度稀疏的矩阵。 4) 雅可比矩阵不是对称矩阵。

牛顿法的核心就是反复形成并求解修正方程式。提高牛顿法性能： 采用稀疏技术，排零存储，排零运算。 求解过程边形成、边消元、边存储。 节点编号优化，采用半动态法。（静态法：按节点静态连接支路的多少顺序编号；半动态法：按节点动态连接支路的多少顺序编号；动态法：按节点动态增加支路的多少顺序编号；） 牛顿法的性能和特点：

1) 平方收敛，开始时收敛比较慢，在几次迭代后，收敛得非常快，其迭代次数和系统

的规模关系不大，如果程序设计良好，每次迭代的计算量仅与节点数成正比。 2) 对初值很敏感，有时需要其他算法为其提供初值。如果初值选择不当，可能根本不

收敛或收敛到一个无法运行的解点上。

3) 对函数的平滑性敏感，所处理的函数越接近线性，收敛性越好，为改善功率方程的

非线性，实用中可以通过修正量的幅度来达到目的。但幅度不能太小。 4) 对以节点导纳矩阵为基础的G-S法呈病态的系统，N-L法一般都能可靠收敛。 快速解耦法：N-L法的J阵在每次迭代的过程中都要发生变化，需要重新形成和求解，这占据了N-L法的大部分计算时间，这也是N-L法速度不能提高的原因。N-L法可以简化成为定雅可比矩阵法，如果固定的迭代矩阵构造得当，定雅可比矩阵法可以收敛，但只有线性收敛速度。 由PHMQN， LU/U0PH U/ULQLU/UPH第一步假设：由于RX，有功无功解耦0Q第二步假设：一般线路两端电压相角差ij较小（一般10~20度），且GijBij，有：

cosij1，GijsinijBijcosij，得到：HijUiUjBij，LijUiUjBij

22第三步假设：HiiQiUiBii，LiiQiUiBii为正常情况下节点i的注入无功功

率；此时其他节点未接地：UiBii为除i节点外其他节点接地时, 由节点i注入的无功功率；

222所以QiUiBii，得： HiiUiBii，LiiUiBii。

2修正方程缩写为：继续简化：

△P/UBU△

△Q/UB△U1) 形成B'时略去那些主要影响无功功率和电压幅值，而对有功功率及电压相角关系很少的因素。这包括输电线路的充电电容以及变压器非标准变比。 2) 为了减少迭代过程中无功功率及电压幅值对有功迭代的影响，将式上式1右端的电

压均置为标幺值。 3) 形成B'时，略去串联元件的电阻。

'ΔP/U=-BΔδ最终表达式为：

''ΔQ/U=-BΔU算法特点：（等斜率法，从平方收敛退化为线性收敛，所以迭代次数比牛顿法多）

1) 用两个阶数几乎减半的方程组代替原方程组，显着减少了内存量和计算量； 2) 迭代矩阵为常数阵，只需形成求解一次，大大缩短每次迭代所需时间； 3) 迭代矩阵对称，可上（下）三角存储，减少内存量和计算量；

基于以上原因，该算法内存需要量为N-L法的60%，每次迭代所需时间为N-L法的1/5。 4) 线性收敛，收敛次数多于N-L法，但总的计算速度任能大幅度提高。 5) 对R/X过大的病态条件以及线路特别重载的情况下，可能不收敛，一般适用于110kV

及以上的电网。

6) 由于算法的精确程度取决于，P-Q 分解法的近似处理只影响计算过程，并不影响

结果的精度。 关于元件大R/X比值病态问题，采用补偿法或者对算法加以改进：在于对B和B元件电阻的取舍问题：若在B中不计串联元件电阻，仅用其电抗值X，而在B中仍用精确的电纳值B，或者在B中忽略串联元件电阻而用精确的电纳值B，而在B中采用元件电抗值X，分别称其为XB方案和BX方案。

保留非线性潮流计算法：潮流问题其实是求解一个不含变量一次项的二次方程组，泰勒级数只要取三项就能够得到一个没有截断误差的精确展开式。

在初值x(0)附近展开，可得到如下没有截断误差的精确展开式：

'''''''''yi1nn2yiyi(x)yi(x)|xx(0)xj|xx(0)xjxk

2!j1k1xjxkj1xj(0)n写成矩阵形式：

x1Δx1x2Δxs(0)yy(x)JΔxH，迭代格式为：

2MxΔxnΔx(k1)x1(k)Δx(k)(k)(k)1x2Δx1s(0)J[yy(x)H]，但H的计算非常复杂和耗时，研究表明有

2M(k)(k)xnΔx简便的方法进行计算。

(0)将xi写成xixixi，于是

(0)(0)(0)(0)xixj(xi(0)xi)(x(0)x)xxxxxjjijijjxixixj

x1(0)x(0)x1(0)xx1x(0)x1x(0)(0)(0)xx(0)xxxxxxA2A2A2 ysA2MMMM(0)(0)(0)(0)xxxxxxxxnnnn通过类比，可将泰勒展开式改写为yy(xs(0))JΔxy(Δx)，迭代式改写为

Δx(k1)J1[ysy(x(0))y(Δx)]，收敛判据maxyi(x(k1))yi(x(k))

i特点和性能：

1) 采用初值x(0)计算而得的定雅可比矩阵，整个计算只需一次形成，并三角分解构成

因子表，不需每次重新形成，因此迭代所需时间大大节省。

2) 牛顿法的x(k)是相对上一次迭代点x(k)的修正量，而保留非线性快速潮流算法的

x(k)则是相对始终不变的初始估计值x(0)的修正量。

3) 对初值敏感。

4) 计算速度比牛顿法快，比快速解耦法慢。

5) 其雅可比矩阵三角分解的上下三角元素都需要保存，而牛顿法只需保存上三角元

素，所以该法占用内存较牛顿法多。

定雅可比牛顿法和保留非线性快速潮流算法的迭代过程完全相通。两者无论内存需量、每次迭代所需的计算量、收敛性能以及对于初值的要求等等均完全相同。

直角坐标形式包括二阶项的快速潮流法的性能和特点： 线性收敛（等斜率法），迭代次数比牛顿法多。

雅可比矩阵为常数、对称计算速度快，能接近快速解耦法。 采用无近似的精确模型，对大R/X比值元件的系统和有串联电容之路的系统，计算快于快速解耦法，具有可靠的收敛性。

最小化潮流计算：上述潮流计算问题归结为求解一个非线性代数方程组。另外潮流问题在数学上还可以表示为求某一个由潮流方程构成的目标函数的最小值问题，并以此代替代数方程组的求解。从原理上保证了计算过程永远不会发散，有效解决了病态系统的潮流计算并为给定条件下潮流问题的有节与无解提供了一个明确的判断途径。

对非线性规划进行改进，并将数学规划原理和常规的牛顿潮流算法有机结合起来，形成带有最优乘子的牛顿算法，简称最优乘子法。能有效解决病态电力系统的潮流计算问题。

a=[a1,a2,L,an]T=ys-y(x(0))b=[b1,b2,L,bn]T=-J(x(0))Δx c=[c1,c2,L,cn]T=-y(Δx)原方程组可简写为：f(x)abc 带入目标函数F(x)2f(x)(abc)22iiiii1i1nn2()，极值条件

nd()dn222(abc)2(abci)(bi2ci)0 iiiiiddi1i1采用带有最优乘子的牛顿潮流算法后，潮流计算永远不会发散，即从算法上保证了计算

过程的收敛性，从而有效地解决了病态潮流的计算问题。

最优潮流：基本潮流可归结为针对一定的扰动变量，根据给定的控制变量，求出相应的状态变量，从而确定系统的一个运行状态。但基本潮流不能解决以下问题：当系统的状态变量超出了它们的运行条件时，没有简便的手段使其恢复正常；当系统安全运行的方式很多时，无法得到其中最经济的一种。

最优潮流定义：就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，所找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的某一个性能指标或目标函数达到最优时的潮流分布。

1) 最优潮流与基本潮流的不同点：

2) 基本潮流的控制变量是给定的，而最优潮流中的控制变量通过优选得到； 3) 最优潮流除了要满足潮流等式约束外，还必须满足大量的不等式约束条件； 4) 基本潮流计算是求解非线性代数方程组，而最优潮流是一个非线性规划问题； 5) 基本潮流仅仅完成计算功能，而最优潮流可以根据实际需要自动优选控制变量，具

有指导系统进行优化调整的决策功能。 最优潮流与传统经济调度的区别：传统经济调度只对有功进行优化，虽然考虑了线损修正，也只考虑了有功功率引起的线损优化，同时传统经济调度一般不考虑母线电压的约束，对安全约束一般也难以考虑。最优潮流除了对有功和耗量进行优化外，还对无功及网损进行了优化。此外，最优潮流还考虑了母线电压的约束及线路潮流的安全约束。

最优潮流的控制变量有：

1) 除平衡节点外，其它发电机的有功出力

2) 所有发电机节点及其具有可调无功补偿设备节点的电压模值（或无功出力）。 3) 分接头可调变压器的变比 状态变量

1) 除平衡节点外，其它所有节点的电压相角。

2) 除所有发电机节点及其具有可调无功补偿设备节点之外，其它所有节点的电压模

值。

最优潮流的目标函数：（简化表示为：ff(u,x)） 1) 全系统的发电燃料总耗量（或总费用） 2) 有功网损

等式约束：潮流的基本方程g(u,x)0

不等式约束：

1) 有功电源出力上下限约束 2) 可调无功电源出力上下限约束 3) 分接头可调变压器变比调整范围 4) 节点电压模值上下限约束

5) 元件中通过的最大电流或视在功率约束 6) 线路通过的最大潮流约束 7) 线路两端节点电压 最优潮流的数学模型：

minf(u,x)us..tg(u,x)0最优潮流计算是一个典型的有约束非线性规划问题 h(u,x)0采用不同的目标函数并选择不同的控制变量，再和相应的约束条件相结合，就可以构成不同应用目的的最优潮流问题：

1) 目标函数采用发电燃料耗量（或费用）最小，以除去平衡节点以外的所有有功电源

出力及所有可调无功电源出力（或用相应的节点电压），还有带负荷调压变压器的变比作为控制变量，则就是对有功及无功进行综合优化的通常泛称的最优潮流问题。

2) 若目标函数同1），仅以有功电源出力作为控制变量而将无功电源出力（或相应的

节点电压模值）固定，则就成为有功最优潮流。

3) 若目标函数采用系统的有功网损最小，将各有功电源固定而以可调无功电源出力

（或相应节点电压模值）及调压变压器变比作为控制变量，则就成为无功优化潮流。 以上三种是目前用得最多的最优潮流问题。 最优潮流的几种算法：

1) 简化梯度算法（特点：收敛缓慢；罚函数处理不等式约束会使收敛性变差）

2) 牛顿算法（具有二阶收敛性，速度快；对初值敏感；要求函数二阶连续可微；海森

矩阵及其逆阵计算量大） 3) 解耦最优潮流算法（分解为有功优化和无功优化两个优化子问题，是大系统协调优

化问题）

直流潮流法：以上的潮流计算，都属于精确的潮流计算。直流潮流法是所有潮流算法中最快的。用于系统规划、在线安全分析等对计算速度要求较高的场合。

对于输电线ij，支路有功潮流 pijVi2gijVVijgijcosijbijsinij 忽略电阻rij，则gij0,bij1/xij，gijbij，

ij很小，令cosij1,sinijij，ViVj1，忽略支路对地电容，

pijijxij，PiPb()BBij'ijij'iii'ijjijijijsj，

'Biijiji1,xij'Bij1，PB0θ，这是一个线性方程组，可以一次直接求解饿xij到结果，因而计算速度非常快。

在可不计支路的无功潮流后，一条交流网络的支路就可以看成是一条直流支路，两端电压值为i和j，支路电阻等于支路电抗xij，支路电流值为相应的有功功率Pij。

随机潮流：以上都是确定性潮流计算，随机潮流就是把潮流计算的已知量都作为随机变量来处理的一种潮流计算方法。

三相潮潮流：以上都是针对三相对称系统而言，超高压输电线各相间存在有不对称的耦合，用对称分量法进行分析已经失去了各需网络相互的特点，所以研究三相潮流，目前较多采用abc相坐标系统而不用120对称分量坐标系。

总结

牛拉法仍然不失为最基本、最重要的一种算法，它是其他一些派生算法的基础，其快速的收敛特性和良好的收敛可靠性，使它在单纯的潮流计算以及在优化、稳定等程序的应用中，继续占有重要地位。

快速解耦法在计算速度、内存占用量以及程序设计简单等方面的优异特性，已经使它成为当前使用最为普遍的一种算法。而特别对在线计算，作为一种精确的算法，其计算速度更非其他算法所能比拟。

保留非线性算法由于采用了更精确的模型，由此所得到良好收敛可靠性、较快的计算速度以及最小化潮流算法在处理病态潮流方面的能力，使它们都具有一定的应用场合。

以上四类算法各有特点，相互补充，有实用的电力系统计算软件同时包含了这几种算法，供用户根据需要，选择使用。

因克服经典的经济调度的不足而发展起来的最优潮流问题属于非线性规划问题，可以采用不同的目标函数加入新的约束条件，，其内涵及应用范围正在不断扩大。

影响潮流收敛的因素以及如何改善潮流计算的收敛性（如果计算潮流不收敛，应该采用何种方法改进）

判断潮流计算不收敛的原因：

1) 潮流方程本身无解或无实数解；

2) 潮流方程组有解，但算法不完善，可以用数学规划的方法来求解潮流方程组的解，

非线性规划潮流计算从原理上保证计算过程不发散； 改进潮流收敛性的措施：

1) 将缓冲母线和PV母线虚拟设到高压侧母线，多机组联合承担缓冲功率和PV母线

的无功功率；

2) 对初始潮流条件进行功率平衡检查，不平衡量过大时进行预调整； 3) 诊断环网开断，必要时使用灵敏度最低限度调整发电机功率和负荷，是潮流达到收

敛。

4)

B'和B''的不同组合形式会直接影响快速解耦法的收敛特性，在形成B''时，应最好

将线路并联电纳和节点并联电纳2倍处理。一般情况下在形成B时，忽略线路并

'联电纳和节点并联电纳，不考虑理想变压器变比。 潮流计算中的自动调整：

1) PV节点在迭代中发现无功功率越界时，将这一节点转化成PQ节点；

2) PQ节点电压越界时，变成PV节点，前提是该节点具备足够的无功调节能力。