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2006年天津市高考数学试卷(理科)

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2006年天津市高考数学试卷（理科）

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www.jyeoo.com 2006年天津市高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2006•天津）i是虚数单位， A． 2．（5分）（2006•天津）如果双曲线的两个焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为么它的两条准线间的距离是（） 4 2 1 A．B． C． D．，那

B． =（）

C． D． 3．（5分）（2006•天津）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）

2 3 4 9 A．B． C． D． 4．（5分）（2006•天津）设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件充分必要条件 C．D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2006•天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（） A．10种 B． 20种 C． 36种 D． 52种 6．（5分）（2006•天津）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（） A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β B． α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n C．D． α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β 7．（5分）（2006•天津）已知数列{an}．{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N、设 55 A．（n∈N），则数列{cn}的前10项和等于（）

70 B． 85 C． 100 D． *

8．（5分）（2006•天津）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在

是（）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称处取得最小值，则函数

D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

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www.jyeoo.com 9．（5分）（2006•天津）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）

1 A． 2 B． 3 C． x

4 D． 10．（5分）（2006•天津）已知函数y=f（x）的图象与函数y=a（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间 A．[2，+∞） B．（0，1）∪（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（） C． D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（4分）（2006•天津） _________ （用数学作答）．

12．（4分）（2006•天津）设向量_________ ．

13．（4分）（2006•天津）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1．若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为 _________ ．

与

的夹角为θ，且

，

，则cosθ=

的二项展开式中x的系数是

14．（4分）（2006•天津）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）+（y﹣2）=4相交于A、B两点，且弦AB的长为，则a= _________ ． 15．（4分）（2006•天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= _________ 吨．

16．（4分）（2006•天津）设函数

，θn是

= _________ ．

三、解答题（共6小题，满分76分）

，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N），若向量与

的夹角，（其中

），设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则

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www.jyeoo.com 17．（12分）（2006•天津）如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，（1）求AB的值；

（2）求sin（2A+C）的值．

．

18．（12分）（2006•天津）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）； 19．（12分）（2006•天津）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱

．

（I）证明FO∥平面CDE；（II）设，证明EO⊥平面CDF．

20．（12分）（2006•天津）已知函数

，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤

．

（I）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；

（II）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a﹣1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

21．（14分）（2006•天津）已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且为非零参数，n=2，3，4，…）．

（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；（2）当λ＞0时，证明

；当λ＞1时，证明

（λ

．

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22．（14分）（2006•天津）如图，以椭圆

的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆

和小圆．过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连接OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．

（1）求证c=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证

•

=b．

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参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2006•天津）i是虚数单位， A． B． =（）

C． D．考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数的分母为实数，即可．解答：解：i是虚数单位，=，故选A．点评：本题考查复数的代数形式的运算，是基础题． 2．（5分）（2006•天津）如果双曲线的两个焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为么它的两条准线间的距离是（） 4 2 1 A．B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：依题意可求得c，根据c=和渐线方程，联立求得a和b，进而根据准线间的距离是，那

求得答案．解答：解：如果双曲线的两个焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为∴，，解得，所以它的两条准线间的距离是，故选C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．双曲线的性质和公式较多，且复杂平时应加强记忆和训练． 3．（5分）（2006•天津）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）

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www.jyeoo.com 分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B 点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 4．（5分）（2006•天津）设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件充分必要条件 C．D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由题意N⊆M，由子集的定义可选．解答：解：设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，M⊇N，所以若“a∈M”推不出“a∈N”；若“a∈N”，则“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，故B．点评：本题考查充要条件的判断和集合包含关系之间的联系，属基本题． 5．（5分）（2006•天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（） A．10种 B． 20种 C． 36种 D． 52种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题．分析：根据题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，即分两种情况讨论，分别求出其不同的放球方法数目，相加可得答案．解答：解：根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分析可得，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论： 1①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C4=4种方法； 2②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C4=6种方法；则不同的放球方法有10种，故选A． ©2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 点评：本题考查组合数的运用，注意挖掘题目中的隐含条件，全面考虑． 6．（5分）（2006•天津）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（） A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β B． α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n C．D． α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β 考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；若α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，α⊥β，α∩β=m时，与线面垂直的判定定理比较缺少条件n⊂α，则n⊥β不一定成立．解答：解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则： m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确 α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确 α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误 α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来． 7．（5分）（2006•天津）已知数列{an}．{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N、设

（n∈N），则数列{cn}的前10项和等于（）

55 70 85 100 A．B． C． D．考点：等差数列的前n项和．分析：将{cn}的前10项和用{an}．{bn}的通项公式表示出来，再利用其关系求解．解答：解：已知数列{a}、{b}都是公差为1的等差数列其首项分别为a、b，且a+b=5，a，b∈N*又∵nn111111（n∈N）， ∴c1+c2+…+c10=又∵∴， =4+5+6+…+13=85， = *故选C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和数列中的函数思想． 8．（5分）（2006•天津）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）在

是（）

处取得最小值，则函数

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www.jyeoo.com A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；压轴题．分析：先对函数f（x）运用三角函数的辅角公式进行化简求出最小正周期，根据正弦函数的最值和取得最值时的x的值可求出函数的解析式，进而得到答案．解答：解：已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a、b为常数，a≠0，x∈R）， ∴，则函数所以=，的周期为2π，若函数在处取得最小值，不妨设是奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选D．点评：本题主要考查辅角公式、三角函数的奇偶性和对称性．对于三角函数的基本性质要熟练掌握，这是解题的根本． 9．（5分）（2006•天津）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）

1 2 3 4 A．B． C． D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．解答：解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选A．点评：本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题． 10．（5分）（2006•天津）已知函数y=f（x）的图象与函数y=a（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间 A．[2，+∞） B．（0，1）∪（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（） C． D． x

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www.jyeoo.com 考点：指数式与对数式的互化；反函数．专题：压轴题．分析：先表述出函数f（x）的解析式然后代入将函数g（x）表述出来，然后对底数a进行讨论即可得到答案． x解答：解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=a（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称， 2则f（x）=logax，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]=（logax）+（loga2﹣1）logax．当a＞1时，若y=g（x）在区间上是增函数，y=logax为增函数，令t=logax，t∈[，loga2]，要求对称轴，矛盾；当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间上是增函数，y=logax为减函数，令t=logax，t∈[loga2，解得， ]，要求对称轴，所以实数a的取值范围是，故选D．点评：本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（4分）（2006•天津）

的二项展开式中x的系数是

280 （用数学作答）．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式中x的系数．解答：解：的二项展开式中x的项是，所以x的系数是280．故答案为280 点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 12．（4分）（2006•天津）设向量

与

的夹角为θ，且

，

，则cosθ=

．

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www.jyeoo.com ∴，则cosθ==．故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积，是基础题． 13．（4分）（2006•天津）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1．若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为

．

考点：点、线、面间的距离计算．分析：在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．常用方法有“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．过C作CD⊥AB，D为垂足，连接C1D，则C1D⊥AB，∠C1DC=60°，且AB⊥平面C1DC，所以平面ABC1⊥平面C1DC，平面ABC1∩平面C1DC=C1D，所以过C作CE⊥C1D，则CE为点C到平面ABC1的距离．解答：解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1．若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，过C作CD⊥AB，D为垂足，连接C1D，则C1D⊥AB，∠C1DC=60°，CD=则C1D=，CC1=，在△CC1D中，过C作CE⊥C1D，，则CE为点C到平面ABC1的距离，CM=所以点C到平面ABC1的距离为．故答案为：，点评：本小题主要考查棱柱，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力． ©2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 2214．（4分）（2006•天津）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）+（y﹣2）=4相交于A、B两点，且弦AB的长为则a= 0 ．考点：直线与圆相交的性质；点到直线的距离公式．分析：由题意易知圆心到直线的距离等于1（勾股定理），然后可求a的值． 22解答：解：设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）+（y﹣2）=4相交于A、B两点，且弦AB的长为，则圆心（1，2）到直线的距离等于1，，

，a=0 故答案为：0 点评：本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，是基础题． 15．（4分）（2006•天津）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 20 吨．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．解答：解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为≥当且仅当=160，即x=20吨时，等号成立万元，即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为：20．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．属于基础题． 16．（4分）（2006•天津）设函数

，θn是

= 1 ．

考点：数列的极限．专题：综合题；压轴题．分析： *设函数，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N），则能推导出Sn=，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N），若向量与

的夹角，（其中

），设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则

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www.jyeoo.com 解答：解：设函数若向量θn是与的夹角，，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N）， =， *（其中设Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn=则=1．），，点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意三角函数的灵活运用．三、解答题（共6小题，满分76分）

17．（12分）（2006•天津）如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，（1）求AB的值；

（2）求sin（2A+C）的值．

．

考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理把AC=2，BC=1，．即可求得AB．（2）由cosC求得sinC，在由正弦定理求得sinA，进而根据同角三角函数的基本关系求得cosA，用倍角公式求得sin2A和cos2A，进而利用两角和公式求得答案．解答：解：（1）由余弦定理，AB=AC+BC﹣2AC•BC•cosC=那么，（2）解：由得解得所以，由倍角公式．，，且0＜C＜π，．由正弦定理，．， 222． ©2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 且故，．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．应熟练掌握这两个的定理的公式和变形公式． 18．（12分）（2006•天津）某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；考点： n次重复试验中恰好发生k次的概率；相互事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：（1）根据每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响，得到每一个事件之间的关系是相互的，在3次射击中至少有两次连续击中目标包括两次连续射中目标，或者三次连续射中目标，这两种情况是互斥的，得到结果．（2）射手第3次击中目标时，恰好射击了4次，表示在这四次射击时，前三次恰有两次击中目标，第四次一定击中目标，根据重复试验和相互事件同时发生的概率，得到结果．解答：解：（1）∵每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响， ∴射手在三次射击时，每一个事件之间的关系是相互的，设“射手射击1次，击中目标”为事件A 则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率 == （2）∵射手第3次击中目标时，恰好射击了4次，表示在这四次射击时，前三次恰有两次击中目标，第四次一定击中目标， ∴射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率点评：本题考查重复试验的概率，考查相互事件的概率，是一个易错题，易错点在对于射手第3次击中目标时恰好射击了4次的理解，最后一次一定是击中，容易忽略． 19．（12分）（2006•天津）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱

．

（I）证明FO∥平面CDE；（II）设，证明EO⊥平面CDF．

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www.jyeoo.com 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：作图题；证明题．分析：（I）要证明FO∥平面CDE，在平面CDE中：取CD中点M，连接OM．证明FO∥EM即可；（II）证明EO⊥平面CDF，只需证明EO⊥FM，CD⊥EO，即可证明结论．解答：解：（I）证明：取CD中点M，连接OM．在矩形ABCD中，，又，则．连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形． ∴FO∥EM．又因为FO不在平面CDE，且EM⊂平面CDE， ∴FO∥平面CDE．（II）证明：连接FM．由（I）和已知条件，在等边△CDE中， CM=DM，EM⊥CD且．因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM． ∵CD⊥OM，CD⊥EM， ∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO．而FM∩CD=M，所以EO⊥平面CDF．点评：本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力． 20．（12分）（2006•天津）已知函数

，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤

．

（I）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；

（II）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a﹣1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先求函数的导数，f′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．（2）先求出极值点，f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出极小值，使函数f（x）的极小值大于零建立不等关系，求出参数θ的取值范围即可．（3）由（II）知，函数f（x）在区间（﹣∞，0）与是区间（﹣∞，0）与的子集即可．内都是增函数，只需（2a﹣1，a） ©2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 解答：解：（I）解：当cosθ=0时，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故无极值． 2（II）解：f'（x）=12x﹣6xcosθ，令f'（x）=0，得由及（I），只需考虑cosθ＞0的情况．当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：因此，函数f（x）在要使可得，必有，所以内都是增函数．处取得极小值，，且（III）解：由（II）知，函数f（x）在区间（﹣∞，0）与由题设，函数f（x）在（2a﹣1，a）内是增函数，则a须满足不等式组或由（II），参数必有时，要使不等式关于参数θ恒成立，综上，解得a≤0或所以a的取值范围是点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力． 21．（14分）（2006•天津）已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且为非零参数，n=2，3，4，…）．

（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；

（λ

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www.jyeoo.com （2）当λ＞0时，证明

；当λ＞1时，证明

．

考点：等比数列的性质；不等式的证明．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）根据\\frac{{x}_{3}}{{x}_{2}}=λ\\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}把x1=x2=1代入求得x3，同理可求得x4=λ3，x5=λ6，进而根据等比中项的性质求得λ．（2）根据根据不等式性质可知有\\frac{{y}_{n+1}}{{y}_{n}}≥λ\\frac{{y}_{n}}{{y}_{n﹣1}}≥λ{\\;}^{2}\\frac{{y}_{n﹣1}}{{y}_{n﹣n﹣1；2}}…≥λ{\\;}^{n﹣1}\\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=λn﹣1=λ{\\;}^{2}\\frac{{x}_{n﹣1}}{{x}_{n﹣2}}…λ{\\;}^{n﹣1}\\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=λ ≥\\frac{{y}_{n}﹣{x}_{n}}{{x}_{n}}，即进而可得出，再看当λ＞1时得出≥\\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}，代入\\frac{{x}_{1}﹣{y}_{1}}{{x}_{2}﹣{y}_{2}}+\\frac{{x}_{2}﹣{y}_{2}}{{x}_{3}﹣{y}_{3}}+…+\\frac{{x}_{n}﹣{y}_{n}}{{x}_{n+1}﹣{y}_{n+1}}，原式得证． 36解答：（1）解：由已知x1=x2=1，且\\frac{{x}_{3}}{{x}_{2}}=λ\\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}∴x3=λ，同理可知x4=λ，x5=λ，若226x1、x3、x5成等比数列，则x3=x1x5，即λ=λ．而λ≠0，解得λ=±1．（2）证明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn＞0，yn＞0．由不等式的性质，有n\\frac{{y}_{n+1}}{{y}_{n}}≥λ\\frac{{y}_{n}}{{y}_{n﹣1}}≥λ{\\;}^{2}\\frac{{y}_{n﹣1}}{{y}_{n﹣2}}…≥λ{\\;}^{n﹣1}\\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=λ﹣1；另一方面，=λ{\\;}^{2}\\frac{{x}_{n﹣1}}{{x}_{n﹣2}}…λ{\\;}^{n﹣1}\\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=λn﹣1．因此，=\\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}（n∈N**）．故（n∈N）． *（Ⅱ）当λ＞1时，由（Ⅰ）可知，yn＞xn≥1（n∈N）．又由（Ⅰ）（n∈N），则*≥\\frac{{y}_{n}﹣{x}_{n}}{{x}_{n}}，从而≥\\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}（n∈N*）． ∴\\frac{{x}_{1}﹣{y}_{1}}{{x}_{2}﹣{y}_{2}}+\\frac{{x}_{2}﹣{y}_{2}}{{x}_{3}﹣{y}_{3}}+…+\\frac{{x}_{n}﹣{y}_{n}}{{x}_{n+1}﹣{y}_{n+1}}=\\frac{1﹣{（\\frac{1}{λ}）}^{2}}{1﹣\\frac{1}{λ}}＜\\frac{λ}{λ﹣1}（n∈{N}^{*}）点评：本题以数列的递推关系为载体，结合等比数列的等比中项及前n项和的公式，运用不等式的性质及证明等基础知识进行运算和推理论证． ©2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 22．（14分）（2006•天津）如图，以椭圆

的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆

和小圆．过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连接OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．

（1）求证c=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证

•

=b．

考点：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：（1）直接利用Rt△OFA∽Rt△OBF，找到对应边的比值相等即可证明c2=ab，再求出直线OA的斜率，利用OA与直线BF垂直可得直线BF的斜率，进而求出直线BF的方程以及BF与y轴的交点M的坐标；（2）先把直线BF的方程与椭圆方程联立，求出关于P、Q两点的坐标以及直线BF的斜率之间的等量关系，代入•整理可得结论．（注意整理过程中要细心）解答：解：（1）由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故，即，因此c=ab．①（2分） ==b =﹣． 2在Rt△OFA中，FA=于是，直线OA的斜KOA=．设直线BF的斜率为k，k=﹣所以直线BF的方程为：直线BF与y轴的交点为（5分）．（6分）（2）由（1），得直线BF得方程为y=kx+a，② 由已知，P（x1，y1），Q（x2，y2），则它们的坐标满足方程2222323422③ 由方程组③消y，并整理得（b+ak）x+2ax+2akx+a﹣ab=0，④ ©2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 由式①、②和④，. 综上，得到又因a﹣ab+b=a﹣c+b=2b，得 222222，（12分）（15分）点评：本题是对椭圆与圆以及直线与椭圆位置关系的综合考查．这一类型题目，思路比较清晰，就是整理过程要求比较高，所以在做题时，一定要认真，细致．

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；wsj1012；zhwsd；翔宇老师；涨停；yhx01248；lily2011；庞会丽；zlzhan；minqi5；wdnah；wdlxh；wodeqing；danbo7801（排名不分先后）菁优网

2013年9月8日

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