一、选择题
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（ ）A．{3，5，6}
B．{1，5，6}
＝（ ）
C．
D．
C．{2，3，4}
D．{1，2，3，5，6}
2．已知i为虚数单位，则A．
B．
3．已知向量＝（2，﹣4），＝（k，3），且与的夹角为135°，则k＝（ ） A．﹣9 4．已知双曲线C
则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．2
D．4
B．1
C．﹣9或1
D．﹣1或9
，
的一条渐近线的倾斜角为θ，且
5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数据分析最差
6．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ） A．﹣21
B．﹣24
C．85
D．﹣85
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．16π+4 C． D．
8．我国数学家陈景润在哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
9．将函数f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移图象关于直线x＝A．[﹣1，2]
对称，则函数f（x）在B．[
，2]
C．
个单位长度后，得到函数的上的值域是（ ）
D．
10．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
11．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝
．，异面直线SC与OE所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x
﹣2，则（ ） A．C．二、填空题
B．f（sin 3）＜f（cos 3） D．f（2020）＞f（2019）
13．已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值是 ．
14．函数f（x）＝x2﹣xlnx的图象在x＝1处的切线方程为 ．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量＝（4，﹣n），＝（Sn，n+3）．若⊥，则数列{
}前2020项和为
16．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA．（1）求角B的大小； （2）若△ABC外接圆的半径为
，求△ABC面积的最大值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O． （1）求证：OE∥平面PBC； （2）求三棱锥E﹣PBD的体积．
19．网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域
网对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式．因此，实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病，实地看病两种方式进行满意度测评，根据患者的评分（满分100分）绘制了如图茎叶图：
（1）根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由；（2）若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表：
网络看病 实地看病 总计
满意
不满意
总计
并根据列联表判断能否有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？
（3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率． 附P（K2≥k0） k0
20．已知椭圆
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.15
0.10
，其中n＝a+b+c+d． 0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
的上顶点为B，圆C′：x2+y2＝4与y轴的正半轴
交于点A，与C有且仅有两个交点且都在x轴上（1）求椭圆C的方程；
O为坐标原点）．
（2）已知点，不过D点且斜率为的直线l与椭圆C交于M，N两点，证
明：直线DM与直线DN的斜率互为相反数． 21．已知函数f（x）＝
﹣ax﹣lnx（a∈R）．
（1）若a＝2时，求函数f（x）的单调区间； （2）设g（x）＝f（x）+的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知直线l的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负
+1，若函数g（x）在
上有两个零点，求实数a
半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝
．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（﹣1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|+|PA||PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知x＞0，y＞0，z＞0，x2+y2+z2＝1，证明： （1）（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2≤4； （2）
．
参
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（ ）A．{3，5，6}
B．{1，5，6}
C．{2，3，4}
D．{1，2，3，5，6}
【分析】先求补集，再求交集． 解：∁UA＝{1，3，5，6}， ∁UB＝{1，2，5，6}，
所以（∁UA）∩（∁UB）＝{1，5，6}． 故选：B．
2．已知i为虚数单位，则A．
B．
＝（ ）
C．
D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：故选：A．
3．已知向量＝（2，﹣4），＝（k，3），且与的夹角为135°，则k＝（ ） A．﹣9
B．1
C．﹣9或1
D．﹣1或9
＝
．
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出k的值． 解：由题意可得cos135°＝求得k＝﹣9，或k＝1， 故选：C． 4．已知双曲线C
则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．2
D．4
的一条渐近线的倾斜角为θ，且
，
＝
＝﹣
，
【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即a，b的关系，求出双曲线的离心率． 解：设双曲线的半个焦距为c，由题意θ∈[0，π） 又cosθ＝故选：A．
5．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
，则sinθ＝
，tanθ＝2，＝2，所以离心率e＝＝
＝
，
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数据分析最差
【分析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可．
解：A选项，乙的数据分析素养得分为4分，甲的数据分析素养得分5分，故A错误； B选项，乙的数学建模素养得分为3分，甲的数学建模素养得分为4分，故B错误； C选项，6项素养中有5项甲比乙好，故C正确，
D选项，甲的六大素养中数学抽象、数学建模和数算最差，数据分析为5分，最好，故D错误． 故选：C．
6．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ） A．﹣21
B．﹣24
C．85
D．﹣85
【分析】由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，易求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可． 解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32， ∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32， ∴q＝﹣2， 则a1＝1， 则S4＝故选：D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
＝﹣85，
A． B．16π+4 C． D．
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为下面为一个半球，上面为一个直三棱锥体构成的组合体． 如图所示：
下面的球的半径为2，直三棱锥的底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为2， 故V＝故选：A．
8．我国数学家陈景润在哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）
．
A． B． C． D．
【分析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求．
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有
，
其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果， 故概率P＝故选：B．
9．将函数f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移图象关于直线x＝A．[﹣1，2]
对称，则函数f（x）在B．[
，2]
C．
个单位长度后，得到函数的上的值域是（ ）
D．
．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果．
解：把函数f（x）＝2sin（3x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移可得y＝2sin（3x﹣
+φ）的图象；
对称，
个单位长度后，
再根据得到函数的图象关于直线x＝∴3×∴φ＝在
﹣
+φ＝kπ+
，k∈Z，
，函数f（x）＝2sin（3x+
上，3x+
∈[）∈[﹣
，
）．
]，∴sin（3x﹣
）∈[﹣
，1]，
故f（x）＝2sin（3x﹣故选：D．
，2]，即f（x）的值域是[﹣，2]，
10．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【分析】根据题意四人中只有一个人说的是真话，逐个分析，只有丁说的是真话是，符
合题意，得到年纪最大的是丙；
解：假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙； 故选：C．
11．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝
．，异面直线SC与OE所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出∠CSF的值．
解：如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF即为异面直线SC与OE所成的角， ∵
，∴
， ，
；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴，
；OC⊥OF，
，这样即可得出tan
又OB＝3，∴
SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴OC＝3，OF＝1，∴
∴等腰△SCF中，．
故选：D．
12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（ ） A．C．
B．f（sin 3）＜f（cos 3） D．f（2020）＞f（2019）
【分析】根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可．
解：由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，
先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，
因为，所以 ，所以f（sin3）＜f（﹣cos3），
所以f（sin3）＜f（cos3），故选项B正确． 故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值是 ﹣8 ．
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线
过M时，z取得最小值．
解：画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示．
⇒M（﹣3，1）
平移直线3x+y＝0，易知当直线z＝3x+y经过点M（﹣3，1）时， 目标函数z＝3x+y取得最小值， 且zmin＝3×（﹣3）+1＝﹣8． 故答案为：﹣8．
14．函数f（x）＝x2﹣xlnx的图象在x＝1处的切线方程为 x﹣y＝0 ．
【分析】先将x＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程． 解：由题意得f′（x）＝2x﹣lnx﹣1． 则f′（1）＝1，f（1）＝1． 故切线方程为y﹣1＝x﹣1， 即x﹣y＝0． 故答案为：x﹣y＝0．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量＝（4，﹣n），＝（Sn，n+3）．若⊥，则数列{
}前2020项和为
＝4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn＝
＝
＝2（﹣
，n＝1时，a1＝）．利用裂项
【分析】由⊥，可得•
S1＝1．当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1．可得：
求和方法即可得出． 解：∵⊥， ∴•∴Sn＝
＝4Sn﹣n（n+3）＝0，
，n＝1时，a1＝S1＝1．
﹣）．
﹣
）＝2（1﹣
）
＝
．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝∴
＝
＝2（﹣
∴数列{＝
．
}前2020项和＝2（1﹣+﹣+……+
故答案为：．
16．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是 5+
．
【分析】由题意画出图形，过M作准线的垂线，交抛物线于P，则△PMF的周长最小，然后结合两点间的距离公式求解．
解：如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3）， 抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2． 过M作准线的垂线，交抛物线于P，则△PMF的周长最小． 最小值为5+故答案为：5+
．
＝5+
．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共60分．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA．（1）求角B的大小； （2）若△ABC外接圆的半径为
，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可求cosB，进而可求B；
（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解．
解：（1）因为b（a2+c2﹣b2）＝ca2cosC+ac2cosA， ∴2abccosB＝ac2cosC+ac2cosA， 即2bcosB＝acosC+ccosA
由正弦定理可得，2sinBcosB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB， 所以cosB＝，
因为B∈（0，π），所以B＝
；
＝2，
（2）由正弦定理可得，b＝2RsinB＝由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2accosB， 即a2+c2﹣ac＝4， 因为a2+c2≥2ac，
所以4＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，即ac的最大值4， 所以△ABC面积S＝
即面积的最大值
．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O． （1）求证：OE∥平面PBC； （2）求三棱锥E﹣PBD的体积．
【分析】（1）连接OE，利用三角形中位线定理得到OE∥PC，再利用线面平行的判定定理即可证出OE∥平面PBC；
（2）利用分割体积法得到
VE
﹣
PBD
＝VP
﹣
ABD
﹣VE
﹣
ABD
＝
，利用底面ABCD为菱形且∠BAD＝60°，求出S
△ABD
，即可求出三棱锥E﹣PBD的体积．
解：（1）证明：如图所示：
，
∵点O，E分别是AC，PA的中点， ∴OE是△PAC的中位线， ∴OE∥PC，
又∵OE⫋平面PBC，PC⊆平面PBC， ∴OE∥平面PBC；
（2）解：∵PA＝AB＝4，∴AE＝2， ∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°， ∴S△ABD＝∴三棱锥
E﹣PBD
，
的体积
＝
VE
﹣
PBD
＝VP
﹣
ABD
﹣VE
﹣
ABD
＝
＝．
19．网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查
修复的一种新兴的看病方式．因此，实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病，实地看病两种方式进行满意度测评，根据患者的评分（满分100分）绘制了如图茎叶图：
（1）根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由；（2）若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表：
网络看病 实地看病 总计
满意
不满意
总计
并根据列联表判断能否有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？
（3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率． 附P（K2≥k0） k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.15
0.10
，其中n＝a+b+c+d． 0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
【分析】（1）可分别从满意度平分、中位数、平均数及茎叶图的对称情况入手分析，答案从一个角度或多个角度均可；
（2）由题意完成2×2列联表，求得K2的值，结合临界值表得结论；
（3）利用列举法列出从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人的所有可能情况，得到其中这2人评分都低于90（分）的情况，再由古典概型概率计算公式求解．
解：（1）对实地看病满意度更高，理由如下：
（i）由茎叶图可知：在网络看病中，有66.7%的患者满意度评分低于80（分）；在实地看病中，有66.7%的患者评分高于80（分），因此患者对实地看病满意度更高． （ii）由茎叶图可知：网络看病满意度评分的中位数为73（分），实地看病评分的中位数为87（分），因此患者对实地看病满意度更高．
（iii）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分平均分低于80（分）；实地看病的满意度的评分平均分高于80（ ）分），因此患者对实地看病满意度更高．
（iV）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分在茎6上的最多，关于茎7大致呈对称分布；实地看病的评分分布在茎8，上的最多，关于茎致呈对称分布，又两种看病方式打分的分布区间相同，故可以认为实地看病评分比网络看病打分更高，因此实地看病的满意度更高．
以上给出了4种理由，答出其中任意一﹣种或其他合理理由均可；
（2）参加网络看病满意度调查的15名患者有5名对网络看病满意，10名对网络看病不满意；参加实地看病满意度调查的15名患者有10名对实地看病满意，5名对实地看病不满意． 故完成列联表如下：
网络看病 实地看病 总计
于是
满意 5 10 15
不满意 10 5 15
，
总计 15 15 30
∴有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关；
（3）网络看病的评价的分数依次为82，85，85，88，92，由小到大分别记为a，b，c，d，X，
从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，所有可能情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，X）；（b，c），（b，d），（b，X）；（c，d），（c，X）；（d，X）共10种，
其中，这2人评分都低于90（分）的情况有：（82，85），（82，85），（82，88）；（85，85），（85，88）；（85，88）共6种，
故由古典概型公式，得这2人评分都低于90（分）的概率．
20．已知椭圆的上顶点为B，圆C′：x2+y2＝4与y轴的正半轴
交于点A，与C有且仅有两个交点且都在x轴上（1）求椭圆C的方程； （2）已知点
，不过D点且斜率为
O为坐标原点）．
的直线l与椭圆C交于M，N两点，证
明：直线DM与直线DN的斜率互为相反数． 【分析】（1）根据条件可得a＝2，进而得到b＝
，即可得到椭圆方程；
（2）设直线MN的方程为y＝﹣x+m，联立，分别表示出直线DM和直
线DN的斜率，相加利用根与系数关系即可得到．
解：（1）∵圆C′：x2+y2＝4与C有且仅有两个交点且都在x轴上，所以a＝2， 又∵
＝
，∴＝
，解得b＝
，故椭圆C的方程为
；
（2）设直线MN的方程为y＝﹣x+m，联立，整理可得4x2﹣4mx+4m2
﹣12＝0，
则△＝（﹣4m）2﹣4×4（4m2﹣12）＝48（4﹣m2）＞0，解得﹣2＜m＜2， 设点M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1+x2＝m，x1x2＝m2﹣3， 所以
kDM+kDN＝
+
＝
+
＝
＝
故直线DM与直线DN的斜率互为相反数． 21．已知函数f（x）＝
﹣ax﹣lnx（a∈R）．
＝0，
（1）若a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝f（x）+的取值范围．
+1，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a
【分析】（1）当a＝2时，f′（x）＝x﹣2﹣＝，由f′（x）＜0，可求f
（x）的单调递减区间，由f′（x）＞0，可求f（x）的单调递增区间； （2）函数g（x）＝f（x）+＝2x+﹣
在
+1＝2x2﹣ax+1﹣lnx在
上有两个零点等价于a
，x∈
，
上有两解，构造函数h（x）＝2x+﹣
利用导数，可分析求得实数a的取值范围． 解：（1）当a＝2时，f（x）＝﹣2﹣＝
…1分
+1，或x＝﹣
+1（舍去），
﹣2x﹣lnx．定义域为（0，+∞），则f′（x）＝x
令f′（x）＝0，解得x＝所以当x∈（0，当x∈（
+1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
+1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
+1），单调递增区间为（
+1，+∞）…4分
故函数的单调递减区间为（0，（2）设g（x）＝f（x）+函数g（x）在令h（x）＝2x+﹣
+1＝2x2﹣ax+1﹣lnx，
在
上有两解…6分
上有两个零点等价于a＝2x+﹣，x∈
，
则h′（x）＝，…7分
令t（x）＝2x2﹣2+lnx，x∈显然，t（x）在区间又t（1）＝0， 所以当x∈
，
上单调递增．
时，有t（x）＜0，即h′（x）＜0，当x∈（1，e]时，有t（x）＞0，
即h′（x）＞0，…9分 所以h（x）在区间（1）＝3…11分
上单调递减，在区间（1，e]上单调递增，则h（x）min＝h
由方程a＝2x+﹣围是（3，2e]…12分
在上有两解及h（）＞h（e），可得实数a的取值范
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知直线l的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负
半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝
．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（﹣1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|+|PA||PB|的值． 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果． 解：（1）直线l的参数方程为﹣2＝0．
曲线C的极坐标方程为ρ＝标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0．
．转换为ρ＝2cosθ+2sinθ，转换为直角坐（t为参数），转换为直角坐标方程为4x+3y
（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为标准式为（t
为参数），
代入圆的直角坐标方程整理得t2+4t+3＝0， 所以t1+t2＝﹣4，t1t2＝3． |AB|+|PA||PB|＝|t1﹣t2|+|t1t2|＝[选修4-5：不等式选讲]
23．已知x＞0，y＞0，z＞0，x2+y2+z2＝1，证明： （1）（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2≤4；
．
（2）．
【分析】（1）先由基本不等式可得xy+yz+zx≤1，而（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2＝2+2（xy+yz+zx）≤4，即得证； （2）首先推导出x+y+z＞1，再利用得证．
【解答】证明：（1）∵x2+y2+z2＝1，
∴2xy+2yz+2xz≤x2+y2+y2+z2+z2+x2＝2（x2+y2+z2）＝2， ∴xy+yz+zx≤1，
∴（x+y）2+（y+z）2+（z+x）2＝2（x2+y2+z2）+2（xy+yz+zx）＝2+2（xy+yz+zx）≤4（当且仅当x＝y＝z时取等号）．
（2）∵x＞0，y＞0，z＞0，x2+y2+z2＝1，
∴（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx＝1+2xy+2xz+2yz＞1， ∴x+y+z＞1， ∴
，展开即可
＝
＝
，
∴
．
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