一、
一笔画的认识
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。
什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点
.
.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点
.
.所谓一笔画，就是从图形
.但是否所有的连通图都可以一笔画出
二、
（1）（2）这点；
（3）点作为终点；
（4）
一笔画问题
能一笔画出的图形必须是连通的图形；凡是只由偶点组成的连通图形
.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点
.最后仍回到
凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇
奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题
.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半
n笔画成.
.事实上，对于任
三、
我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画意的连通图来说，如果有
2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用
（1）（2）（3）
知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。知道什么样的图形可以一笔画出。
不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？
【例 1】判断下列图a、图b、图c能否一笔画．
A
N
AB
F
K
C
E
M
F
A
O
B
L
D
B
C
C
DG
E
图a
D
图b
图c
【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答
【解析】图a能，因为有2个奇点，
图b不能，因为图形不是连通的，图c能，因为因为图中全是奇点
【答案】
a能，b不能，c能
【例 2】同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，
种颜色的旗子，如果贝贝从某营地
（填“能”或“不能”）完成任务.
要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要出发，不走重复路线就
【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】填空10题
【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，初赛，第【解析】最少需要
4种颜色的旗子。因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两两相邻，
要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。大三角形各顶点不与小三角形顶点的三个旗子颜色一样。不走重复路线不能完成插旗的任务，因为本题共有
【答案】4种颜色，不能
6个奇点。
【例 3】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个
进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？
【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答
6个点都是偶点，所以有人
【解析】将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然
能一次不重复的走过所有的门．
【答案】能
【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如
果能，应从哪开始走？
EAD
BC
【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答
【解析】A有3个门，B有2个门，C有2个门，D有3个门，E连接2个门。【答案】能
【例 4】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？
【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答
【解析】只有两个奇点，可以一笔画成。【答案】可以
【巩固】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？
G
I
A
H
F
B
CD
E
【考点】一笔画问题【难度】3星【题型】解答
【解析】要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇
点出，即F和I点．
【答案】出口和入口应该分别放在F和I点
【例 5】（2010年第8届走美杯3年级初赛第6题）有16个点排成的44方阵。如图，请不间断地一笔
画出6条直线经过每个点，且最后回到起点
【考点】一笔画问题【难度】3星【题型】解答
【解析】只使用横平竖直的线怎么都不够，因此尝试使用斜线进行构造。
【答案】答案不唯一
【例 6】一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一
条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？
D
C
B
E
F
A
HG
【考点】一笔画问题【难度】3星
4笔．
【题型】解答
【解析】8个定点都是奇点，所以至少需要
多画长和高能保证总路程最长，为
A－B－G－H－A－D－C－F－E－D
总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．
【答案】48分米
【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为
棱不允许重复，则甲虫回到
5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点时，最多能爬行多少厘米？
A点出发，沿棱爬行，每条
A
【考点】一笔画问题【解析】54
42
32
【难度】3星
34(厘米)
【题型】解答
【答案】34厘米
【例 7】观察下面的图形，并列出奇点的个数与笔画数（至少几笔画完此图）的关系表格。
【考点】一笔画问题
【解析】为了表示得清楚一些，
【难度】3星
【题型】解答
第二笔画出的部分用虚线表示，
我们把图中第一笔画出的部分用实线表示，
.
第三笔画出的部分用点线表示，其余部分请大家自己画出
【答案】略
【例 8】下图是某个花房的平面图，它由六间展室组成，每相邻两室间有一门相通
使参观者能够从入口处
【考点】一笔画问题
.请你设计一个出口，
A进去，一次不重复地经过所有的门，最后由出口走出花房。
【难度】3星
【题型】解答
【解析】可把每个花室看作一个点（花房外也看作是一个结点）
图就转化为右图.设计一个出口，实际上是添一条与结点点一笔画出，也就是说，新图中，所有的点
，每个门看作是连接两结点的边，于是，上A相连的边，使新图能够以
A为起点和终
G
都必须是偶点.
B
F
E
CA
D
观察右图，发现只有A、F两个奇点，所以，应把边添在A与F之间（如右图），即：把出口开
在花室F处。
【答案】略
【例 9】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成
可一笔画的图形．
A
AB
HI
G
G
AB
IK
HJ
FE
E
F
B
GCD
H
F
L
C
图a
D
E
C
图b
D
图c
【考点】一笔画问题【难度】3星
4个奇点，连结4个奇点，去掉4个奇点，去掉
【题型】解答
BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出．KL，或者BK都可以使图形能一笔画出．AB可以使图形能一笔画出．
K笔画有2K个奇点，如果在如左下图中的
B，C两个奇点
【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有
图(2)不能一笔画出，因为图中有图(3)不能一笔画出，因为图中有任意两个奇点之间添加一条连线，为2个，从而变成一笔画．
A
B
A
一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道
那么这两个奇点同时变成了偶点．
在右下图中都变成了偶点．所以只要在
K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少
B
DC
DC
AB
【答案】
D
C
【巩固】将下图改为一笔画.
【考点】一笔画问题【解析】
【难度】3星
【题型】解答
3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这
图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或6个奇点任意分为
3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举
例如图（3）～（6）。
图（2）中有4个奇点，因此，可添上改为一笔画.举例如图（7）～（8）.
2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按
A与
B，C与D（或A与D，B与C）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后
说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC，添上边AD与EF.
【例 10】（2009“数学解题能力展示\"读者评选活动四年级初赛6题）如图所示，某小区花园的道路为一个
60米，那么他从进入
长480米，宽200米的长方形；一个边长为大爷A处进入花园，走遍花园的所有道路并从花园到走出花园最少要用
分．
260米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王A处离开．如果他每分钟走
A
【考点】一笔画问题【难度】4星【题型】填空
【解析】根据一笔画的概念，因为道路图有四个奇点，所以王大爷是没法不重复地走完小区所有的道路回
到A的，但可以对道路图作一些处理，相当于王大爷通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：
A
道路的总路程为
【答案】60分
480320032606
3600米，王大爷走完这些路要60分钟．
【随练1】下面各图能否一笔画成
（3）D
（1）
（2）A
B
C
【考点】一笔画问题【解析】略【答案】（1）能
（2）能
【难度】2星
【题型】解答
（3）不能
【随练2】下列图形，至少几笔画出？
（1）
【考点】一笔画问题【解析】略【答案】（1）1笔
（2）2笔
【难度】2星
（2）
【题型】解答
【作业1】下列图形分别是几笔画？怎样画？
【考点】一笔画问题【解析】略【答案】（1）1笔
（2）2笔
【难度】2星
【题型】解答
（3）1笔
【作业2】从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？
【考点】一笔画问题【解析】略
A
【难度】2星
【题型】解答
【答案】
【作业3】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。如
果能，应从哪开始走？
【考点】一笔画问题
【难度】2星
【题型】解答
【解析】我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两变为右图是否一笔画问题。
个点间有线段相连，于是得到右图。能否不重复地穿过每扇门的问题，
A
B
E
D
C
上图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从
【答案】能，应该从
A或D展室开始走。
A或D展室开始走。
【作业4】邮递员要从邮局出发，走遍左下图
全程多少千米？
(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？
2
2
邮局
13
3
3
【考点】一笔画问题【解析】略
2
2
【难度】2星
【题型】解答
【答案】
1
邮局
3
33
【作业5】有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，下图中的点表示村庄，线段表示道路。邮递员从邮局
出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？
邮局
【考点】一笔画问题【解析】略
【难度】2星
【题型】解答
【答案】
邮局
【作业6】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条
棱必须爬到，但尽量少的重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？
【考点】一笔画问题【解析】85
44
43
【难度】2星
68（厘米）
【题型】解答
【答案】68厘米。
