2022-2023北京育才学校高一(上)期中数学试卷【答案版】

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1．已知集合A＝{x|x﹣2＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（ ） A．{0}

B．{0，1，}

C．{2}

D．{0，1，2}

2．如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（ ） A．−𝑎＜−𝑏 1

1

B．a2＜b2

C．＜

𝑎

𝑏

11

D．ab＞a2

3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，2）上为增函数的是（ ） A．y＝x﹣3

B．y＝x+

1

𝑥C．y＝x2+1

D．y＝1﹣|x|

4．已知f（x+1）＝2x+3，则f（3）的值是（ ） A．5

B．7

C．8

D．9

5．下列各组函数中f（x）和g（x）表示相同函数的是（ ）

𝑥2

A．f（x）＝x，g（x）=𝑥

B．f（x）=√𝑥2−1，g（x）=√𝑥−1√𝑥+1 C．f（x）＝x，g（x）=√𝑥2 𝑥，𝑥≥0

D．f（x）＝|x|，g（x）={

−𝑥，𝑥＜0

6．函数f（x）＝2x﹣1+|x|的零点所在区间是（ ） A．（0，）

41

B．（，）

4

2

11

C．（，1）

2

1

D．（1，2）

7．已知函数f（x）的定义域为R，则“f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，则（ ） A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） C．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）

B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）

9．函数f（x）＝ax2+2ax﹣2，若对任意实数x，都有f（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣2，0）

B．（﹣2，0]

C．[﹣2，0）

D．[﹣2，0]

10．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．

第1页（共12页）

给出下列四种说法：

①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是（ ） A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 11．函数f（x）=

1

+𝑥的定义域是 ． 𝑥−1√

1𝑥1

12．若方程x2﹣3x﹣1＝0的两实数根分别是x1和x2，则

+

1𝑥2

= ，|x1﹣x2|＝ ．

13．“定义在R上的函数f（x）满足f（0）•f（2）＞0，且f（x）在区间（0，2）上存在零点”请写出一个符合要求的函数是 ．

14．若x＞0，函数f（x）＝x﹣1+𝑥的最小值是 ，此时x＝ ．

2

，𝑥≥2

15．已知函数f（x）={𝑥3

25

，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则实数k的取值

(𝑥−1)，𝑥＜2

范围是 ．

16．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调，且f（1）＝﹣2，f（﹣2）＝3，给出下列四个结论：

①f（x）在（﹣∞，0]上单调递减；

②f（x）存在x∈（﹣1，1），使得f（x）≥﹣2； ③f（x）有且仅有两个零点；

④不等式﹣2＜f（x）＜3的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）． 其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（13分）已知集合A＝{x|

𝑥−2𝑥+4

＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，C＝{x|x≥a，a∈R}．

第2页（共12页）

（1）求∁RA和A∩B；

（2）若（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围． 18．（13分）求下列关于x的不等式的解集． （1）|x﹣2|≥3；

（2）x2﹣（a+2）x+2a＜0（其中a为实数）． 19．（14分）已知函数f（x）＝x−． （1）判断函数的奇偶性并说明理由；

（2）用函数的单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数； （3）求函数f（x）＝x−𝑥，x∈[﹣4，﹣1]的值域．

20．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2（a为实数），x∈[﹣2，3]． （1）若a＝﹣1，求函数f（x）的最大值和最小值； （2）求函数f（x）在区间[﹣2，3]上的最小值．

21．（13分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为C（x）

𝑚−4𝑥

，0≤𝑥≤105={𝑚，（m为常数）． ，𝑥＞10𝑥2

2

𝑥已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．

安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元），记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和． （1）写出F（x）的解析式；

（2）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？ 22．（13分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，

（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；

（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围； 𝑓(𝑥)(𝑥＞0)（3）设F（x）={，m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且b＝0，判断F（m）+F（n）能否大于

−𝑓(𝑥)(𝑥＜0)零？

第3页（共12页）

2022-2023学年北京市育才学校高一（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1．已知集合A＝{x|x﹣2＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（ ） A．{0}

B．{0，1，}

C．{2}

D．{0，1，2}

解：∵A＝{x|x﹣2＝0}＝{2}，B＝{0，1，2}， 则A∩B＝{2}∩{0，1，2}＝{2}． 故选：C．

2．如果a＜b＜0，那么下列不等式正确的是（ ） A．−＜− 1

1

𝑎1𝑏B．a2＜b2

1

1

1

𝑎−𝑏

C．＜

𝑎

𝑏

11

D．ab＞a2

𝑎−𝑏

1

解：对于A：−𝑎−（−𝑏）=−𝑎+𝑏=𝑎𝑏，∵a＜b＜0，∴ab＞0，a﹣b＜0，故＜0，所以−𝑎＜𝑎𝑏−， 故选：A．

3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，2）上为增函数的是（ ） A．y＝x﹣3

B．y＝x+

1𝑥1𝑏C．y＝x2+1

D．y＝1﹣|x|

解：对于A，y＝x﹣3是非奇非偶函数，故A错误；

对于B，y＝x+𝑥是奇函数，在（0，2）上不是增函数，故B错误； 对于C，y＝x2+1是偶函数，且在（0，2）上是增函数，故C正确； 对于D，y＝1﹣|x|是偶函数，在（0，2）上是减函数，故D错误． 故选：C．

4．已知f（x+1）＝2x+3，则f（3）的值是（ ） A．5

B．7

C．8

D．9

1

解：∵f（x+1）＝2x+3＝2（x+1）+1， ∴f（x）＝2x+1 则f（3）＝7 故选：B．

5．下列各组函数中f（x）和g（x）表示相同函数的是（ ） A．f（x）＝x，g（x）=𝑥

第4页（共12页）

𝑥2

B．f（x）=√𝑥2−1，g（x）=√𝑥−1√𝑥+1 C．f（x）＝x，g（x）=√𝑥2 𝑥，𝑥≥0

D．f（x）＝|x|，g（x）={

−𝑥，𝑥＜0

解：对于A，函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误，

对于B，由x2﹣1≥0可得x≤﹣1或x≥1，所以函数f（x）的定义域为R， 𝑥−1≥0由{可得，x≥1，所以函数g（x）的定义域为{x|x≥1}， 𝑥+1≥0所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误，

对于C，函数g（x）＝|x|，与函数f（x）＝x的对应关系不同，所以不是同一个函数，故C错误， 对于D，函数f（x）＝|x|={函数，故D正确， 故选：D．

6．函数f（x）＝2x﹣1+|x|的零点所在区间是（ ） A．（0，）

41

𝑥，𝑥≥0

，与函数g（x）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一个

−𝑥，𝑥＜0

B．（，）

4

2

11

C．（，1）

2

1

D．（1，2）

解：对于A：∵f（x）＝2x﹣1+|x|，

∴f（0）f（）＝﹣1×（−）=＞0，故A错误；

41

1

414对于B：∵f（x）＝2x﹣1+|x|， ∴f（）f（）=

2

41

1

111

×（−）=−＜0，故B正确； 248对于C：∵f（x）＝2x﹣1+|x|，

∴f（）f（1）=2×2＝1＞0，故C错误；

21

1

对于D：∵f（x）＝2x﹣1+|x|，

∴f（1）f（2）＝2×5＝10＞0，故D错误， 故选：B．

7．已知函数f（x）的定义域为R，则“f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，

第5页（共12页）

则任意x都有f（﹣x）＝﹣f（x），取x＝0，可得f（0）＝0； 而仅由f（0）＝0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）＝x2， 显然满足f（0）＝0，但f（x）为偶函数．

由充要条件的定义可得：“函数f（x）是奇函数”是“f（0）＝0””的充分不必要条件． 故选：A．

8．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，则（ ） A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） C．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）

B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）

解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数， ∴f（﹣2）＝f（2），f（x）在[0，+∞）上是偶函数， ∵1＜2＜3，∴f（1）＞f（2）＞f（3）， ∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1）． 故选：C．

9．函数f（x）＝ax2+2ax﹣2，若对任意实数x，都有f（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣2，0）

B．（﹣2，0]

C．[﹣2，0）

D．[﹣2，0]

解：a＝0时，﹣2＜0，成立；

a≠0时，若对任意实数x，都有f（x）＜0成立， 𝑎＜0只需{，解得﹣2＜a＜0．

2

𝛥=4𝑎+8𝑎＜0综上可得，﹣2＜a≤0． 故选：B．

10．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．

给出下列四种说法：

①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；

第6页（共12页）

③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是（ ） A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，

故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 11．函数f（x）=

1

+𝑥的定义域是 {x|x≥0且x≠1} ． 𝑥−1√

𝑥≥0

解：由题意得{，

𝑥−1≠0解得x≥0且x≠1．

故答案为：{x|x≥0且x≠1}．

12．若方程x2﹣3x﹣1＝0的两实数根分别是x1和x2，则解：由韦达定理可得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， ∴

1𝑥1

1𝑥1

+

1𝑥2

= ﹣3 ，|x1﹣x2|＝ √13 ．

+

1𝑥2

=

𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2

=

3−1

=−3，

∵(𝑥1−𝑥2)2=(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=9+4＝13， ∴|x1﹣x2|=√13． 故答案为：﹣3；√13．

13．“定义在R上的函数f（x）满足f（0）•f（2）＞0，且f（x）在区间（0，2）上存在零点”请写出一个符合要求的函数是 f（x）＝（x﹣1）2 ．

解：函数f（x）＝（x﹣1）2，定义域为R，f（0）＝1，f（2）＝1， f（0）•f（2）＝1＞0， f（x）的零点1∈（0，2）， 故f（x）＝（x﹣1）2，符合题意， 故答案为：f（x）＝（x﹣1）2．

14．若x＞0，函数f（x）＝x﹣1+𝑥的最小值是 9 ，此时x＝ 5 ． 解：f（x）＝x﹣1+

25

252525

=𝑥+−1≥2√𝑥⋅−1=9， 𝑥𝑥𝑥25

当且仅当𝑥=𝑥，即x＝5时，等号成立．

第7页（共12页）

故答案为：9；5．

2

，𝑥≥2

15．已知函数f（x）={𝑥3

，若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则实数k的取值

(𝑥−1)，𝑥＜2

范围是 （0，1） ．

2

，𝑥≥2

解：由题意作出函数𝑓(𝑥)={𝑥3

的图象，

(𝑥−1)，𝑥＜2

关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根等价于

2

，𝑥≥2

函数𝑓(𝑥)={𝑥3

，与y＝k有两个不同的公共点，

(𝑥−1)，𝑥＜2

由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意， 故答案为：（0，1）

16．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调，且f（1）＝﹣2，f（﹣2）＝3，给出下列四个结论：

①f（x）在（﹣∞，0]上单调递减；

②f（x）存在x∈（﹣1，1），使得f（x）≥﹣2； ③f（x）有且仅有两个零点；

④不等式﹣2＜f（x）＜3的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）． 其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．

解：R上偶函数f（x），f（2）＝f（﹣2）＝3，而f（1）＝﹣2，有f（2）＞f（1）， 又f（x）在[0，+∞）上单调，

因此函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，必有f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，①正确； 因偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（1）＝﹣2，则f（x）＜﹣2， 即f（|x|）＜f（1），即|x|＜1，

第8页（共12页）

﹣1＜x＜1，②不正确；

因f（2）＞0，f（1）＜0，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增， 则函数f（x）在[0，+∞）上有唯一零点x1∈（1，2），

又f（x）是偶函数，则f（x）在（﹣∞，0]上有唯一零点x2∈（﹣2，﹣1）， 因此f（x）有且仅有两个零点，③正确；

不等式﹣2＜f（x）＜3，即f（1）＜f（|x|）＜f（2）， 即1＜|x|＜2，解得﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2，

因此不等式﹣2＜f（x）＜3的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2），④正确， 所以所有正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④．

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（13分）已知集合A＝{x|（1）求∁RA和A∩B；

（2）若（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围． 解：因为集合A＝{x|

𝑥−2𝑥+4

𝑥−2𝑥+4

＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，C＝{x|x≥a，a∈R}．

＜0}＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，C＝{x|x≥a，a∈R}．

（1）∁RA＝{x|x≥2或x≤﹣4}，A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}； （2）因为A∪B＝{x|﹣4＜x≤3}， 若（A∪B）⊆C，则a≤﹣4， 故实数a的取值范围为{a|a≤﹣4}． 18．（13分）求下列关于x的不等式的解集． （1）|x﹣2|≥3；

（2）x2﹣（a+2）x+2a＜0（其中a为实数）． 解：（1）因为|x﹣2|≥3，所以x﹣2≤﹣3或x﹣2≥3， 解得x≤﹣1或x≥5，

所以不等式|x﹣2|≥3的解集为{x|x≤﹣1或x≥5}．

（2）不等式x2﹣（a+2）x+2a＜0化为：（x﹣a）（x﹣2）＜0， 当a＜2时，a＜x＜2；

当a＝2时，（x﹣2）2＜0，无解； 当a＞2时，2＜x＜a，

综上，当a＜2时，原不等式的解集为（a，2），

第9页（共12页）

当a＝2时，原不等式的解集为∅， 当a＞2时，原不等式的解集为（2，a）． 19．（14分）已知函数f（x）＝x−𝑥． （1）判断函数的奇偶性并说明理由；

（2）用函数的单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为增函数； （3）求函数f（x）＝x−𝑥，x∈[﹣4，﹣1]的值域． 解：（1）函数f（x）＝x−为奇函数，理由如下： 因为函数定义域{x|x≠0}， f（﹣x）＝﹣x+𝑥=−f（x）， 故f（x）为奇函数； （2）证明：设x1＞x2＞0， 则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2﹣2（所以f（x1）＞f（x2），

所以f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；

（3）解：（2）及奇函数的对称性可知f（x）在[﹣4，﹣1]上单调递增， 故当x＝﹣4时，函数取得最小值−，当x＝﹣1时，函数取得最大值1， 故函数的值域为[−，1]．

20．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2（a为实数），x∈[﹣2，3]． （1）若a＝﹣1，求函数f（x）的最大值和最小值； （2）求函数f（x）在区间[﹣2，3]上的最小值． 解：（1）a＝﹣1时，f（x）＝x2+2x+2，x∈[﹣2，3]，

f（x）的对称轴为x＝﹣1，可得f（x）在[﹣2，1]递减，（1，3]递增， 则f（x）的最小值为f（﹣1）＝1；最大值为f（3）＝17； （2）f（x）的对称轴为x＝a，

当a＜﹣2时，f（x）在[﹣2，3]递增，可得f（x）的最小值为f（﹣2）＝6+4a； 当﹣2≤a≤3，可得f（x）的最小值为f（a）＝2﹣a2；

当a＞3时，f（x）在[﹣2，3]递减，可得f（x）的最小值为f（3）＝11﹣6a．

综上可得，a＜﹣2时，f（x）的最小值为4+4a；﹣2≤a≤3时，f（x）的最小值为2﹣a2；

第10页（共12页）

2

2

2

𝑥2

1

𝑥1

−

1𝑥2

）＝（x1﹣x2）（1+

2

）＞0， 𝑥1𝑥2

7272当a＞3时，f（x）的最小值为11﹣6a．

21．（13分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为C（x）

𝑚−4𝑥

，0≤𝑥≤10

={𝑚5，（m为常数）．

，𝑥＞10𝑥已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．

安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元），记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和． （1）写出F（x）的解析式；

（2）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？ 解：（1）由题意得当x＝5时，C（5）＝12，即

80−4𝑥

，0≤𝑥≤10

∴C（x）={805，

，𝑥＞10𝑥𝑚−4×55

=12，解得m＝80，

又F（x）＝10C（x）+0.5x，

∴当0≤x≤10时，F（x）＝2（80﹣4x）+0.5x＝160−2x， 当x＞10时，F（x）=𝑥+2，

160−𝑥，0≤𝑥≤10

2综上所述，F（x）={；

800𝑥

+2，𝑥＞10𝑥160−2𝑥，0≤𝑥≤10

（2）由（1）得F（x）={，

800𝑥

+2，𝑥＞10𝑥则当0≤x≤10时，F（x）＝160−∴F（x）在[0，10]上单调递减， ∴F（x）min＝F（10）＝160﹣75＝85，

则当x＞10时，F（x）=𝑥+2≥2√𝑥⋅2=40，当且仅当=，即x＝40时等号成立，

𝑥2∵40＜85，

∴当x为40平方米时，F（x）取得最小值，最小值是40万元． 22．（13分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，

（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；

（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；

第11页（共12页）

15

800𝑥

15

15

15

x， 2800𝑥800𝑥

800𝑥

𝑓(𝑥)(𝑥＞0)

（3）设F（x）={，m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且b＝0，判断F（m）+F（n）能否大于

−𝑓(𝑥)(𝑥＜0)零？

解：（1）∵f（﹣1）＝0， ∴a﹣b+1＝0①（1分）

又函数f（x）的值域为[0，+∞）， 所以a≠0，

4𝑎−𝑏24𝑎

=0即4a﹣b2＝0②

由①②得a＝1，b＝2（3分） ∴f（x）＝x2+2x+1＝（x+1）2．

2−𝑘2(2−𝑘)（2）由（1）有g（x）＝f（x）﹣kx＝x+2x+1﹣kx＝x+（2﹣k）x+1=(𝑥+)+1−，（7分）

242

2

2

当

𝑘−22

≥2或

𝑘−22

≤−2时，

即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（9分）

𝑎𝑥2+1，𝑥＞0

（3）∵b＝0，∴f（x）＝ax+1，∴F（x）={，（11分）

2

−𝑎𝑥−1，𝑥＜0

2

∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0， ∴|m|＞|﹣n|（13分）

∴F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0， ∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）

第12页（共12页）