第二节-刚体转动的动能定理

§ 3.2 刚体转动的动能定理

一、力矩的功 1 力矩的定义

若作用的质点上的力为F,则将r×F定义为力F对O点的力矩，记为M。 MrF

M、F、r三者的方向构成右手螺旋关系。 M z MFrsinFtr大小：

方向：右手法则

2 力矩的功

设：；转盘上的微小质量元Δm在力F作用下以R 为半径绕O轴转动，在dt时间内转过角度d，

对应位移dr,路程ds,此时F所做的元功为 dAFdrFtdsFtrd

dAMd则总功为

A2

Md1二、转动惯量

设初速为零，质量元Δm 的动能为

E1ki2mivi

转盘的总动能

EE1m21kkiivi(ii2mir2i)22i1 定义：

Im2iri为物体的转动惯量。

i

FrFto FnFtddr Fo r Fdt dro r 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。描述转动的惯性。 例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。 单位：SI制 kg m2

2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和

Imiri2

i质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。

Ir2dm

m转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。 例1 求小球m的转动惯量。 解：m看作质点 I = m R2

例2 质量为m的细圆环，求I。 解：把环分成无限多个质量为dm的小段，对每个dm有 dJ = R2

对整个环有

• m

R I = R2dm = mR2

例3质量m，半径 R的薄圆盘，求I。

R • dm 解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r，宽dr，质量 dm)， 其转动惯量

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dI = r2dm

dm

整个盘的转动惯量

m2rdr 2Rdm R r Rdr dS m2m312 IdIrdmr 2rdrrdrmR22RR0200022RRR

例4 长为L、质量为m的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为

＝m / L。

dr, 杆的转动惯量

以杆中心O点为转轴，在距o点为r处取微小质量元dm =为

Il22rdml2l2m O I112mL2L O’ 2rdrl2l132rl32例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O/点为转轴，同上

lIr2dm0lr2dr013lro3I13mL2

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3 几种典型的匀质刚体的转动惯量

刚体 细棒（质量为m，长为l） 细棒（质量为m，长为l） 转轴位置 过中心与棒垂直 过一点与棒垂直 转动惯量J ml212 ml23 细环（质量为m，半径为R） 过中心对称轴与环面垂直 细环（质量为m，半径为R） 圆盘（质量为m，半径为R） 圆盘（质量为m，半径为R） 球体（质量为m，半径为R） 薄球壳（质量为m，半径为R） 4 影响转动惯量的三个因素

mR2 mR22 mR22 mR24 直径 过中心与盘面垂直 直径 过球心 过球心 2mR25 2mR23

(1)刚体自身的性质如质量、大小和形状；

(2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同） 5 平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理

设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I，则可以证明I与Ic之间有下列关系 IIcmd2 2）转动惯量的可加性

对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。

IIcmd2o z d c rci ri • mi o

例6质量m，长为l的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc和通

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过端点a的垂直轴的转动惯量J.

解：建立如图坐标Ox，在棒上取一小段dx，则

l2dx A c x

O Jcl2x2dmmll2l2x2dx12ml 12由平行轴定理有

1l1 Jaml2mml2

1223

例 3-2 如图所示，一圆盘状刚体的半径为 R，质量为 m ，且均匀分布。

1IcmR2它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic表示。 2如果刚体偏心转动，转轴通过半径的中点且垂直于盘面。求盘对此轴的转动惯量I。

解：题给两平行轴之间的距离

由平行轴定理

得刚体绕偏心轴的转动惯量

I2d1R2Ic1mR22 d O C IIcmd21R3mR2m()2mR2224m

1例3-3 如图所示，某装置由均质细杆和均质圆盘构成。杆的质量为 ，长 L。

1杆对O 轴的转动惯量 I1m1L23圆盘质量是 ，半径为R。，得知它对过质心C 且垂直于盘面的转轴的转动

2惯量为 I2c2m2Rm21

求此装置对轴O的转动惯量I。

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解：已知杆对轴O的转动惯量

I1盘对轴C的转动惯量

1m1L231m2R22O m1 R m2 C I2c由平行轴定理得盘对轴O的转动惯量

L I2I2cm2(RL)21m2R2m2(RL)22由转动惯量的可加性，得整个装置对轴 O 的转动惯量 11II1I2m1L2m2R2m2(RL)232三、刚体绕定轴转动的动能定理 1 刚体绕定轴转动的转动动能

1112222EkmivimiriI2i2i22 动能定理

由于刚体的大小、形状不变，其上任何两质点间没有相对位移。即：

Ai0刚体作为一个特殊的质点系，此质点系的动能定理为

AeEk2Ek1刚体定轴转动的动能定理

 θ

θ2Mdθ11 21 2Iω 2Iω 122

合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。