斐波那契数列和黄金分割
最近看达芬奇密码，突然发现符号学和密码学原来也很好玩，以斐波那契数列（Fibonacci Number）为例：
F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn - 1 + Fn - 2
用文字来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就由之前的两数相加。首几个斐波那契数是：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, , 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946
斐波那契数列可以运用到动物和植物的繁殖上（这点让我很惊讶于数字和自然界的紧密联系，毕竟数字是人为创造的）。
假定一对小兔子经过一个月后能够长成一对大兔子，而一对大兔子经过一个月后能够生了一对小兔子。显然，第1个月只有一对小兔子，第2个月只有一对大兔子，第3个月一对大兔子生出一对小兔子，总共两对兔子……每个月兔子数量组成的数列符合斐波那契数列。
再来看，如果一棵树苗在一年以后长出一条新技，然后休息一年，再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝，那么第1年它只有主干1枝，第2年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5年有8枝……每年的分枝数顺次组成的数列符合斐波那契数列。
有一种游戏名叫“尼姆”。游戏方法是由两个人轮流取一堆粒数不限的砂子。先取的一方可以取任意粒，但不能把这堆砂子全部取走。后取的一方，取数也多少不拘，但最多不能超过对方所取砂子数的一倍。然后又轮到先取的一方来取，但也不能超过对方最后一次所取砂子的一倍。这样交替地进行下去，直到全部砂子被取光为止，谁能拿到最后一粒砂子，谁就算胜利者。
在这个游戏中，若所有砂子的粒数是个斐波那契数的话，那么后取的一方稳操胜券，而若所有的砂子不是一个斐波那契数的话，那么先取的一方稳胜。
更令热努惊讶的是，斐波那契数列相邻两项相处所得的商竟然无限趋近于1.618!
1.618即PHI，黄金分割率！
黄金分割率：世界上任何一个蜂巢里雄蜂和雌蜂的比率；
鹦鹉螺身上每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径之比；
向日葵的葵花籽相邻两圈之间的直径之比；
植物茎上相邻叶子的排列；
身高除以肚脐到地面的距离；
肩膀到指尖的距离除以肘关节到指尖的距离；
臀部到地面的距离除以膝盖到地面的距离
一、由来
公元十三世纪，意大利数学家斐波那契（约1170～1250年）在他的著作《计算之书》（又译作《算盘书》）第12章里，提出了一个有趣的“兔子问题”，八百年来这个题目一直成为人们讨论和研究的课题。
书中的“兔子问题”大意是这样的：一年内兔子可以繁殖到多少对？某人有一对兔子，如果每对兔子每月生一对小兔子，而小兔子出生后，第二个月就能生育，因此在第1个月有2对兔子，第2个月有3对兔子，第3个月就有5对兔子，……以后每个月的兔子数都等于前两个月兔子数的和，这样就可以得到每个月的兔子数。到第12个月就有377对兔子。列表如下：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
兔子对数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 144 233 377
后来大家把兔子对数形成的数列叫做斐波那契数列。几百年来不断有人对它进行研究，取得了许多研究成果。直到现在仍然有许多学者在对它进行研究，二十世纪由美国学者勃鲁索（B.A.Brousseau）等人发起成立了斐波那契学会，于1963年起出版《斐波那契季刊》（《The Fibonacci Quarterly》）,不断发表了许多论文，这个看似简单的问题能引起大家的
如此关注，真是人们意想不到的。
二、斐波那契数列
为了研究问题的方便，我们把
1，1，2，3，5，8，13，……
构成的数列 也叫做斐波那契数列，这里 如果将 的斐波那契数列各项列成表，就是下面的表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 144 233 377 610 987 1597 2587
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 1918 317811 514229
30 31 32 33 34 35 36 37
832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817
38 39 40 41 42 43 44
39088169 63245986 102334155 165580141 267914296 433494437
701408733
45 46 47 48 49 50
1134903170 1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 12586269025
大家可以看到，这个数列后面的项越来越大。如果兔子的数目真的像这样繁殖下去，4年功夫就会由一对兔子繁殖到约126亿对之多，这真是太吓人了。
