初中数学-《二次根式》单元测试
一、精心选一选,慧眼识金！
1．下列的式子一定是二次根式的是（ ） A．2．若A．b＞3 3．若
B．
C．
D．
,则（ ）
B．b＜3
C．b≥3
D．b≤3
有意义,则m能取的最小整数值是（ ）
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3 4．若x＜0,则A．0
的结果是（ ）
B．﹣2 C．0或﹣2 D．2
5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
6．如果A．x≥0
,那么（ ）
B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数
7．小明的作业本上有以下四题： ①②③④
．
；
做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④ 8．化简A．
B．
的结果是（ ） C．
D．
9．最简二次根式A．
B．
的被开方数相同,则a的值为（ ）
C．a=1 D．a=﹣1
10．如图,一只蚂蚁从长、宽都是4,高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是（ ）
A．9
B．10 C． D．
二、耐心填一填,一锤定音！ 11．若
有意义,则x的取值范围是 ．
．（填“＞”、“=”、“＜”）． = ．
,则a+b= ．
12．比较大小：13．
= ,
14．已知a、b为两个连续的整数,且15．当x= 时,二次根式16．三角形的三边长分别为
三、用心做一做,马到成功！
17．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）（2）（3）（4）
取最小值,其最小值为 ． ,
,
,则这个三角形的周长为 cm．
．
18．化简： （1）（2）（3）（4）19．计算： （1）（2）
．
（3）（4）6﹣2
．
20．先化简,再求值：21．观察下列等式： ①②③
回答下列问题：
•（x+2）,其中x=．
；
； ；…
（1）利用你的观察到的规律,化简：（2）计算：
；
．
《二次根式》
参与试题解析
一、精心选一选,慧眼识金！
1．下列的式子一定是二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的定义． 【专题】应用题．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可． 【解答】解：A、当x=0时,﹣x﹣2＜0,B、当x=﹣1时,C、∵x2+2≥2,∴
无意义；故本选项错误；
符合二次根式的定义；故本选项正确；
无意义；故本选项错误；
无意义,故本选项错误；
D、当x=±1时,x2﹣2=﹣1＜0,故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如时,
（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0
表示a的算术平方根；当a小于0时,非二次根式（在一元二次方程中,若根号下为负数,
则无实数根）． 2．若A．b＞3
,则（ ）
B．b＜3
C．b≥3
D．b≤3
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】等式左边为非负数,说明右边3﹣b≥0,由此可得b的取值范围． 【解答】解：∵
,
∴3﹣b≥0,解得b≤3．故选D． 【点评】本题考查了二次根式的性质： 3．若
有意义,则m能取的最小整数值是（ ）
≥0（a≥0）,
=a（a≥0）．
A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3 【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,即可求解．
【解答】解：由有意义,
则满足3m﹣1≥0,解得m≥, 即m≥时,二次根式有意义． 则m能取的最小整数值是m=1． 故选B．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义．
4．若x＜0,则A．0
的结果是（ ）
（a≥0）叫二次根式；性质：二
B．﹣2 C．0或﹣2 D．2
【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】根据二次根式的意义化简． 【解答】解：若x＜0,则∴故选D．
【点评】本题考查了根据二次根式的意义化简．二次根式当a≤0时,
5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
=﹣x,
===2,
规律总结：当a≥0时, =a,
=﹣a．
【考点】最简二次根式．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式． 【解答】解：因为：B、C、D、
==2；
；
=4
；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A． 【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数）,如果幂的指数等于或大于2,也不是最简二次根式． 6．如果A．x≥0
,那么（ ）
B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数
【考点】二次根式的乘除法． 【分析】根据二次根式的性质等式组的解集即可． 【解答】解：∵∴x≥0且x﹣6≥0, ∴x≥6, 故选B．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用,注意：要使
7．小明的作业本上有以下四题： ①②③④
．
=×（a≥0,b≥0）得出x≥0且x﹣6≥0,求出组成的不
,
=×成立,必须a≥0,b≥0．
；
做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④ 【考点】算术平方根．
【分析】①②③④分别利用二次根式的性质及其运算法则计算即可判定． 【解答】解：①和②是正确的；
在③中,由式子可判断a＞0,从而③正确；
在④中,左边两个不是同类二次根式,不能合并,故错误． 故选D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算,注意二次公式的性质：时二次根式的加减运算实质上是合并同类二次根式．
=|a|．同
8．化简A．
B．
的结果是（ ） C．
D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】先把根号里面的式子进行通分,再进行化简即可得出答案． 【解答】解：故选：A．
【点评】此题主要考查二次根式的性质及其化简,比较简单．
9．最简二次根式A．
B．
的被开方数相同,则a的值为（ ）
C．a=1 D．a=﹣1 =
=
．
【考点】最简二次根式．
【分析】最简二次根式是被开方数中不含开得尽方的因数或因式,被开方数相同,令被开方数相等,列方程求a．
【解答】解：∵最简二次根式∴1+a=4﹣2a, 解得a=1, 故选C．
【点评】本题主要考查最简二次根式的知识点,关键是理解概念,比较简单．
10．如图,一只蚂蚁从长、宽都是4,高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是（ ）
的被开方数相同,
A．9 B．10 C． D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题． 【专题】数形结合．
【分析】将长方体展开,得到两种不同的方案,利用勾股定理分别求出AB的长,最短者即为所求．
【解答】解：如图（1）,AB=如图（2）,AB=故选B．
=
=10．
=；
【点评】此题考查了立体图形的侧面展开图,利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键,而两点之间线段最短是解题的依据．
二、耐心填一填,一锤定音！ 11．若
有意义,则x的取值范围是 x≥ ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数,列不等式求解． 【解答】解：要是则2x﹣1≥0, 解得x≥． 故答案为：x≥．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件,二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义．
12．比较大小：
＜
．（填“＞”、“=”、“＜”）．
有意义,
【考点】实数大小比较． 【分析】本题需先把【解答】解：∵
=
进行整理,再与
进行比较,即可得出结果．
∴∴
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了实数大小关系,在解题时要化成同一形式是解题的关键． 13．
=
,
= 18 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可． 【解答】解：
•
=
•=
==18．
=4y
；
【点评】本题考查的是二次根式的乘法法则,注意运算结果化为最简二次根式．
14．已知a、b为两个连续的整数,且【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据无理数的性质,得出接近无理数的整数,即可得出a,b的值,即可得出答案． 【解答】解：∵∴
＜
＜
,
,a、b为两个连续的整数,
,则a+b= 11 ．
∴a=5,b=6, ∴a+b=11． 故答案为：11．
【点评】此题主要考查了无理数的大小,得出比较无理数的方法是解决问题的关键．
15．当x= ﹣1 时,二次根式
取最小值,其最小值为 0 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件,得x+1≥0,则x≥﹣1,从而可以确定其最小值． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件,得x+1≥0,则x≥﹣1． 所以当x=﹣1时,该二次根式有最小值,即为0． 故答案为：﹣1,0．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件,能够根据其取值范围确定代数式的最小值．
16．三角形的三边长分别为
,
,
,则这个三角形的周长为 5
cm．
【考点】二次根式的应用；三角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长,所以这个三角形的周长为并同类二次根式．
【解答】解：这个三角形的周长为故答案为：5
+2
（cm）．
+
+
=2
+2
+3
=5
+2
（cm）． +
+
,化简合
【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．
三、用心做一做,马到成功！
17．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）（2）（3）（4）
．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得不等式3x﹣4≥0,再解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得不等式﹣8a≥0,再解不等式即可； （3）根据二次根式有意义的条件可得不等式m2+4≥0,再解不等式即可；
（4）根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得﹣x≤0,且x≠0,解不等式即可． 【解答】解：（1）由题意得：3x﹣4≥0, 解得：x≥；
（2）由题意得：﹣8a≥0, 解得：a≤
；
（3）∵m2+4≥0,
∴m的取值范围是全体实数；
（4）由题意得：﹣x≤0,且x≠0, 解得x＜0．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
18．化简： （1）（2）（3）（4）
．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可； （2）直接利用二次根式的性质化简求出即可； （3）直接利用二次根式的性质化简求出即可； （4）直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【解答】解：（1）=
×
=12×13 =156；
（2）
=﹣×5=﹣；
（3）
=﹣×=﹣4；
（4）=3|m|．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值,正确掌握二次根式的性质是解题关键．
19．计算： （1）（2）（3）（4）6﹣2
．
【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】（1）利用二次根式的性质计算； （2）利用二次根式的乘法法则计算；
（3）先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可； （4）先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可． 【解答】解：（1）原式=4× =6；
（2）原式=﹣3×（﹣）×=× =1； （3）原式=4=7
+2
；
﹣
+3﹣2+4
（4）原式=6﹣=6﹣
．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式．
20．先化简,再求值：【考点】分式的化简求值． 【专题】计算题．
【分析】先把分式因式分解,约分化简为最简形式,再把数代入求值． 【解答】解：原式==x=
；（6分） 时,
．（8分） •（x+2）
•（x+2）,其中x=
．
【点评】此题是分式与整式的乘法运算,分子、分母能因式分解的先因式分解；注意应该把x+2
看成一个整体．
21．观察下列等式： ①②③
回答下列问题：
（1）利用你的观察到的规律,化简：（2）计算：
【考点】分母有理化． 【专题】规律型．
【分析】（1）根据已知的3个等式发现规律：
=
﹣
,把n=22代入即可求解；
；
； ；…
；
．
（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式,再计算即可． 【解答】解：（1）
=﹣；
（2）计算：===9．
﹣1+﹣1
﹣
++2﹣
+…+
+
﹣
+…+
【点评】此题的关键是分母有理化,得出规律：
=﹣是解题的关键．
