2021年河南省中考数学全真模拟试卷(六)

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列各数中，最小的数是( )

A. −3 B. −(−2) C. 0

D. −4

1

2. 某物体如图所示，它的主视图是( )

A.

B.

C.

D.

3. 大量事实证明，治理垃圾污染刻不容缓．据统计，全球每分钟约有8500000吨污水

排入江河湖海，这个排污量用科学记数法表示为( )

A. 8.5×105 B. 8.5×106 C. 85×105 D. 85×106

4. 下列运算正确的是( )

A. 𝑥−3𝑥=3

C. (√5−1)(√5+1)=4

12

B. 𝑎3⋅(−𝑎2)=−𝑎6        D. 𝑥(𝑥2−1)=𝑥3−1

5. 如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边△

𝐴𝐷𝐸，则∠𝐴𝐸𝐵=( )

A. 10° B. 15° C. 20° D. 12.5°

6. 若关于x的一元二次方程𝑘𝑥2−2𝑥−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范

围是( )

A. 𝑘>1 B. 𝑘>−1且𝑘≠0 C. 𝑘≥−1且𝑘≠0 D. 𝑘<1且𝑘≠0

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7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦=3𝑥+4的

图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数𝑦=

𝑘𝑥

4

(𝑥<0)的图象上，则k的值为( )

A. −12 B. −42 C. 42 D. −21

8. 如图，在▱ABCD中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=3.以点C为圆心，

适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于2𝑃𝑄的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是( )

1

A. 2 B. 1 C. 5 D. 2

9. ▱ABCD周长为8厘米，点Q是边AB上一点，且𝐴𝑄=

1厘米，动点P从点A出发，沿折线𝐴−𝐷−𝐶运动．设动点P运动的长度为x厘米，线段AP、AQ、PQ所围成图形的面积为y平方厘米，作出y与x之间的

函数图象如图所示．根据图象可以判定点P运动所在的图形是( )

36

1

A.

B.

C.

D.

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10. 如图1，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线𝐵→𝐶→𝐷→𝐵运动，设点

P经过的路程为x，△𝐴𝐵𝑃的面积为𝑦.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于( )

A. 25 B. 20 C. 12 D. 8√3

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 计算：2−1+(−√3)0=______．

12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随

机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．

13. 如图，▱𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点C在等边△𝐵𝐸𝐹的边BF上，

点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接𝐶𝐺.若𝐴𝐷=3，𝐴𝐵=𝐶𝐹=2，则CG的长为______．

⏜⊙𝑂的半径为5，14. 如图，弦AC垂直平分半径OB，则劣弧𝐴𝐵𝐶

的长为______．

15. 如图，在▱ABCD中，𝐴𝐵=√13，𝐴𝐷=4，将▱ABCD沿

AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

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16. 先化简，再求值：

𝑎2−𝑏2𝑎

÷(𝑎−

2𝑎𝑏−𝑏2

𝑎

)，其中𝑎=√5+3，𝑏=√5−3．

17. “垃圾分类就是新时尚”.树立正确的垃圾分类观念，促进青少年养成良好的文明

习惯，对于增强公共意识，提升文明素质具有重要意义．为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩(百分制，单位：分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

𝑎.甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如图： 甲校学生样本成绩频数分布表(表1)

成绩𝑚(分) 50≤𝑚<60 60≤𝑚<70 70≤𝑚<80 80≤𝑚<90 90≤𝑚≤100 合计 频数 a b 4 7 2 20 频率 0.10 c 0.20 0.35 d 1.0 𝑏.甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：(表2)

学校 甲 乙 平均分 76.7 78.1 中位数 77 80 众数 n 方差 150.2 135.3 其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：

54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91

请根据所给信息，解答下列问题：

(1)表1中𝑐=______；表2中的众数𝑛=______；

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(2)乙校学生样本成绩扇形统计图中，70≤𝑚<80这一组成绩所在扇形的圆心角度数是______度；

(3)在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是______校的学生(填“甲”或“乙”)，理由是______； (4)若乙校1000名学生都参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请估计乙校成绩优秀的学生约为______人．

18. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在

教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(𝐴、B、D、E在同一直线上).然后，小明沿坡度𝑖=1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行． (1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；

(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度𝐴𝐵(结果精确到0.1米，√2≈1.41，√3≈1.73)．

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19. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐶=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA

为半径作⊙𝑂，⊙𝑂恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F． (1)求证：BD是⊙𝑂的切线．

⏜上一动点，连接AE，AD，𝐷𝐸.填空： (2)若𝐴𝐵=√3，E是半圆𝐴𝐺𝐹

⏜的长度是______时，四边形ABDE是菱形； ①当𝐴𝐸

⏜的长度是______时，△𝐴𝐷𝐸是直角三角形． ②当𝐴𝐸

20. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场

购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

(2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买

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甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．

21. 如图，抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+𝑐与x轴正半轴，y轴正半轴

分别交于点A，B，且𝑂𝐴=𝑂𝐵，点G为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点G的坐标；

(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，𝑁)的一个动点，求点Q的纵坐标𝑦𝑄的取值范围．

⏜上一动点，22. 如图，D是直径AB上一定点，E，F分别是AD，BD的中点，P是𝐴𝐵

连接PA，PE，𝑃𝐹.已知𝐴𝐵=6𝑐𝑚，设A，P两点间的距离为xcm，P，E两点间的距离为𝑦1𝑐𝑚，P，F两点间的距离为𝑦2𝑐𝑚．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数𝑦1，𝑦2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了𝑦1，𝑦2与x的几组对应值：

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𝑥/𝑐𝑚 𝑦1/𝑐𝑚 𝑦2/𝑐𝑚 0 0.97 3.97 1 1.27 3.93 2 ______ 3.80 3 2.66 3.58 4 3.43 3.25 5 4.22 2.76 6 5.02 2.02 (2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(𝑥,𝑦1)，(𝑥,𝑦2)，并画出函数𝑦1，𝑦2的图象；

AP的长度约为______cm． (3)结合函数图象，解决问题：当△𝑃𝐸𝐹为等腰三角形时，

23. 如图1，等腰𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，点D，E分别在边AB，AC上，𝐴𝐷=𝐴𝐸，

连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______； BD，CE，(2)探究证明：把△𝐴𝐷𝐸绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，判断△𝑃𝑀𝑁的形状，并说明理由；

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(3)拓展延伸：把△𝐴𝐷𝐸绕点A在平面内自由旋转，若𝐴𝐷=8，𝐴𝐵=20，请直接写出△𝑃𝑀𝑁面积的最大值．

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因为在数轴上−3在其他数的左边，所以−3最小； 故选：A．

应明确在数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，据此解答． 此题考负数的大小比较，应理解数字大的负数反而小．

2.【答案】A

【解析】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项A所表示的图形符合题意， 故选：A．

根据主视图的意义和画法进行判断即可．

本题考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．

3.【答案】B

【解析】解：8500000=8.5×106， 故选：B．

n为整数．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】C

【解析】解：𝐴.𝑥−3𝑥=3𝑥，此选项计算错误； B.𝑎3⋅(−𝑎2)=−𝑎5，此选项计算错误；

C.(√5−1)(√5+1)=(√5)2−12=5−1=4，此选项计算正确； D.𝑥(𝑥2−1)=𝑥3−𝑥，此选项计算错误； 故选：C．

根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、平方差公式及单项式乘多项式法则逐一计算即

1

2

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可得．

本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式及单项式乘多项式法则，解题的关键是掌握合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式及单项式乘多项式的运算顺序和运算法则．

5.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∵三角形ADE是等边三角形， ∴∠𝐸𝐴𝐷=60°，𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐵，

∵∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐵𝐴𝐸=180°， ∴∠𝐴𝐸𝐵=2×(180°−90°−60°)=15°， 故选：B．

∠𝐵𝐴𝐷=90°，根据正方形性质求出𝐴𝐵=𝐴𝐷，根据等边三角形的性质得出∠𝐸𝐴𝐷=60°，𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐴𝐵，推出∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐵，根据三角形的内角和定理求出即可．

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正方形性质，等边三角形的性质的应用，关键是求出∠𝐵𝐴𝐸的度数，通过做此题培养了学生的推理能力，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．

1

6.【答案】B

【解析】解：∵关于x的一元二次方程𝑘𝑥2−2𝑥−1=0有两个不相等的实数根， ∴𝑘≠0且△>0，即(−2)2−4×𝑘×(−1)>0， 解得𝑘>−1且𝑘≠0．

∴𝑘的取值范围为𝑘>−1且𝑘≠0． 故选：B．

根据一元二次方程的定义和△的意义得到𝑘≠0且△>0，即(−2)2−4×𝑘×(−1)>0，然后解不等式即可得到k的取值范围．

本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根的判别式△=𝑏2−4𝑎𝑐：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

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7.【答案】D

【解析】解：∵当𝑥=0时，𝑦=0+4=4， ∴𝐴(0,4)， ∴𝑂𝐴=4；

∵当𝑦=0时，0=3𝑥+4， ∴𝑥=−3， ∴𝐵(−3,0)， ∴𝑂𝐵=3；

过点C作𝐶𝐸⊥𝑥轴于E，

4

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=𝐵𝐶，

∵∠𝐶𝐵𝐸+∠𝐴𝐵𝑂=90°，∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐴𝐵𝑂=90°， ∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐵𝐴𝑂． 在△𝐴𝑂𝐵和△𝐵𝐸𝐶中， ∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐵𝐴𝑂{∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐴𝑂𝐵， 𝐵𝐶=𝐴𝐵

∴△𝐴𝑂𝐵≌△𝐵𝐸𝐶(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐸=𝐴𝑂=4，𝐶𝐸=𝑂𝐵=3， ∴𝑂𝐸=3+4=7， ∴𝐶点坐标为(−7,3)，

∵点A在反比例函数𝑦=𝑥(𝑥<0)的图象上， ∴𝑘=−7×3=−21． 故选：D．

过点C作𝐶𝐸⊥𝑥轴于E，证明△𝐴𝑂𝐵≌△𝐵𝐸𝐶，可得点C坐标，代入求解即可． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用

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𝑘

8.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 只要证明𝐵𝐸=𝐵𝐶即可解决问题． 【解答】

解：由题意可知CF是∠𝐵𝐶𝐷的平分线， ∴∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐸．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，

∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐸，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐸𝐶， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐶=3， ∵𝐴𝐵=2，

∴𝐴𝐸=𝐵𝐸−𝐴𝐵=1． 故选B．

9.【答案】B

【解析】 【分析】

本题主要考查了动点问题的函数图象，考查了学生从图象中读取信息的能力，正确列出表达式，是解答本题的关键．根据题意可知当点P运动2cm时，△𝐴𝑃𝑄的面积为0.5，据此可以排除选项C、D；当2≤𝑥≤4时，△𝐴𝑃𝑄的面积不变，据此可以排除选项A． 【解答】

解：根据图象可知，当𝑥=2𝑐𝑚是，𝑦=0.5𝑐𝑚2，

根据图象可知当𝑥=1𝑐𝑚时，𝑦=0.25𝑐𝑚2，而选项A当𝑥=1𝑐𝑚时，𝑦=0.5(𝑐𝑚2)，故

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选项A不合题意；

选项B，当2≤𝑥≤4时，𝑦=2×1×1=0.5(𝑐𝑚2)，故选项B符合题意． 选项C，当𝑥=2时，𝑦=×1×√2=√(𝑐𝑚2)，故选项C不合题意；

2

2

1

2

1

选项D，当𝑥=2时，𝑦=2×1×2=1(𝑐𝑚2)，故选项D不合题意； 故选B．

1

10.【答案】C

【解析】解：如图2， 𝑥=5时，𝐵𝐶=5，

𝑥=10时，𝐵𝐶+𝐶𝐷=10，则𝐶𝐷=5， 𝑥=15时，𝐶𝐵+𝐶𝐷+𝐵𝐷=15，则𝐵𝐷=8， 如下图，过点C作𝐶𝐻⊥𝐵𝐷交于H，

在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐻中， ∵𝐶𝐷=𝐵𝐶，𝐶𝐻⊥𝐵𝐷，

∴𝐷𝐻=2𝐵𝐷=4，而𝐶𝐷=5，故CH=3， 当𝑥=5时，点P与点C重合，即𝐵𝑃=5，

𝑎=𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐴𝐵𝐶=×𝐵𝐷×𝐶𝐻=×8×3=12，

2

2

1

1

1

故选：C．

𝑥=5时，𝐵𝐶=5；𝑥=10时，𝐵𝐶+𝐶𝐷=10，𝑥=15时，𝐶𝐵+𝐶𝐷+𝐵𝐷=15，则𝐶𝐷=5；则𝐵𝐷=8，进而求解．

本题考查的是动点图象问题，涉及到图形的面积、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

11.【答案】2

3

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【解析】解：原式=2+1 =． 2

故答案为：2．

直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

3

3

1

12.【答案】8

【解析】解：若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，

所以该小球停留在黑色区域的概率是16=8， 故答案为：8．

若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，再根据概率公式求解可得．

本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．

3

6

3

3

13.【答案】2

【解析】 【分析】

本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△𝐷𝐶𝐺和△𝐸𝐻𝐺全等，然后即可得到CG的长． 【解答】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

3

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∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐶𝐷=𝐴𝐵，𝐷𝐶//𝐴𝐵， ∵𝐴𝐷=3，𝐴𝐵=𝐶𝐹=2， ∴𝐶𝐷=2，𝐵𝐶=3， ∴𝐵𝐹=𝐵𝐶+𝐶𝐹=5，

∵△𝐵𝐸𝐹是等边三角形，G为DE的中点， ∴𝐵𝐹=𝐵𝐸=5，𝐷𝐺=𝐸𝐺， 延长CG交BE于点H， ∵𝐷𝐶//𝐴𝐵， ∴∠𝐶𝐷𝐺=∠𝐻𝐸𝐺， 在△𝐷𝐶𝐺和△𝐸𝐻𝐺中， ∠𝐶𝐷𝐺=∠𝐻𝐸𝐺{𝐷𝐺=𝐸𝐺， ∠𝐷𝐺𝐶=∠𝐸𝐺𝐻

∴△𝐷𝐶𝐺≌△𝐸𝐻𝐺(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐷𝐶=𝐸𝐻，𝐶𝐺=𝐻𝐺， ∵𝐶𝐷=2，𝐵𝐸=5， ∴𝐻𝐸=2，𝐵𝐻=3，

∵∠𝐶𝐵𝐻=60°，𝐵𝐶=𝐵𝐻=3， ∴△𝐶𝐵𝐻是等边三角形， ∴𝐶𝐻=𝐵𝐶=3， ∴𝐶𝐺=2𝐶𝐻=2， 故答案为：2．

31

3

14.【答案】3𝜋

【解析】解：∵弦AC垂直平分半径OB， ∴𝐴𝑂=𝐴𝐵，𝐶𝑂=𝐶𝐵， ∴𝑂𝐴=𝐴𝐵=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝐵𝐶， ∴△𝑂𝐴𝐵和△𝑂𝐵𝐶都是等边三角形， ∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐵=60°， ∴∠𝐴𝑂𝐶=120°， ⏜的长=∴劣弧𝐴𝐵𝐶

120⋅𝜋×5180

10

=

103

𝜋.

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故答案为3𝜋.

先根据线段垂直平分线的性质得到𝐴𝑂=𝐴𝐵，𝐶𝑂=𝐶𝐵，则可判断△𝑂𝐴𝐵和△𝑂𝐵𝐶都是等边三角形，所以∠𝐴𝑂𝐶=120°，然后根据弧长公式计算即可．

本题考查了弧长的计算，也考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．

10

15.【答案】3

【解析】解：∵翻折后点B恰好与点C重合， ∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸=𝐶𝐸， ∵𝐵𝐶=𝐴𝐷=4， ∴𝐵𝐸=2，

∴𝐴𝐸=√𝐴𝐵2−𝐵𝐸2=√(√13)2−22=3． 故答案为：3．

由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可． 本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关键．

16.【答案】解：当𝑎=√5+3，𝑏=√5−3时，

原式=

𝑎2−𝑏2𝑎

÷

(𝑎−𝑏)2

𝑎

===𝑎+𝑏

𝑎−𝑏2√5 6√5 3

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．

本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

17.【答案】0.25 87 54 甲 该学生的成绩是79分，略高于甲校的样本成绩数据的中

位数77分，符合该生的成绩在甲校排名是前10名的要求 550

【解析】解：(1)𝑑=2÷20=0.1， 𝑐=1−0.1−0.1−0.2−0.35=0.25，

乙班成绩出现次数最多的数是87分，共出现3次，因此乙班的众数为87，

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故答案为：0.25，87；

(2)360°×(1−5%−20%−35%−25%)=360°×15%=54°， 故答案为：54；

(3)甲，因为该学生的成绩是79分，略高于甲校的样本成绩数据的中位数77分，符合该生的成绩在甲校排名是前10名的要求； (4)1000×(35%+20%)=550(人)， 故答案为：550．

(1)由表格中数据可知，90≤𝑚<100的频数为2，频率𝑑=2÷20=0.1，再根据频率之和为1，求出c即可；根据众数的意义可求出乙班的众数n，

(2)扇形统计图中，70≤𝑚<80这一组占整体的1−5%−20%−35%−25%=15%，因此所在扇形的圆心角度数为360°的15%；

(3)根据中位数的意义，79分处在班级成绩的中位数以上，可得出答案；

(4)样本估计总体，样本中优秀占(35%+20%)，因此总体1000人的55%是优秀的． 考查中位数、众数、平均数、方差、扇形统计图、频数分布表的意义，理解各个概念的意义是正确解答的前提．

18.【答案】解：(1)过点F作𝐹𝐺⊥𝐸𝐶于G，

依题意知𝐹𝐺//𝐷𝐸，𝐷𝐹//𝐺𝐸，∠𝐹𝐺𝐸=90° ； ∴四边形DEFG是矩形； ∴𝐹𝐺=𝐷𝐸； 在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中， 𝐷𝐸=𝐶𝐸⋅tan∠𝐷𝐶𝐸； =6×𝑡𝑎𝑛30 𝑜  =2√3 (米)； ∴点F到地面的距离为2√3 米； (2)∵斜坡CF 𝑖=1：1.5．

∴𝑅𝑡△𝐶𝐹𝐺中，𝐶𝐺=1.5𝐹𝐺=2√3×1.5=3√3， ∴𝐹𝐷=𝐸𝐺=3√3+6． 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸中，

𝐵𝐸=𝐶𝐸⋅tan∠𝐵𝐶𝐸=6×𝑡𝑎𝑛60 𝑜 =6√3． ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷+𝐷𝐸−𝐵𝐸．

=3√3+6+2√3−6√3=6−√3≈4.3 (米)． 答：宣传牌的高度约为4.3米．

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【解析】(1)过点F作𝐹𝐺⊥𝐸𝐶于G，依题意知𝐹𝐺//𝐷𝐸，𝐷𝐹//𝐺𝐸，∠𝐹𝐺𝐸=90° ；得到四边形DEFG是矩形；根据矩形的性质得到𝐹𝐺=𝐷𝐸；解直角三角形即可得到结论； (2)解直角三角形即可得到结论．

本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

19.【答案】(1)证明：如图1，连接OD，

∵在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐶=30°， ∴𝐴𝐵=2𝐵𝐶， ∵𝐷是BC的中点， ∴𝐵𝐷=2𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐷𝐴， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐷， ∴∠𝑂𝐴𝐷=∠𝑂𝐷𝐴， ∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐵𝐴𝑂=90°， 即𝑂𝐷⊥𝐵𝐶， ∴𝐵𝐷是⊙𝑂的切线． (2)①3𝜋； ② 3𝜋或𝜋

1

211

【解析】 【分析】

此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、切线的判定，平行四边形的判定及性质，菱形的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解此题的关键．

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(1)首先连接OD，由在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，∠𝐶=30°，⊙𝑂恰好经过边BC的中点D，易得𝐴𝐵=𝐵𝐷，继而证得∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=90°，即可证得结论；

四边形ABDE是菱形，然后求得∠𝐴𝑂𝐸的度数，半径OD的长，(2)①易得当𝐷𝐸⊥𝐴𝐶时，则可求得答案；

②分别从∠𝐴𝐷𝐸=90°，∠𝐷𝐴𝐸=90°，∠𝐴𝐸𝐷=90°去分析求解即可求得答案． 【解答】 解：(1)见答案；

(2)①当𝐷𝐸⊥𝐴𝐶时，四边形ABDE是菱形；

如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则𝐷𝐸=2𝐷𝑀，

∵∠𝐶=30°，

∴𝐶𝐷=2𝐷𝑀，∴𝐷𝐸=𝐶𝐷=𝐴𝐵=2𝐵𝐶， ∵∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴𝐷𝐸//𝐴𝐵，

∴四边形ABDE是平行四边形， ∵𝐴𝐵=𝐵𝐷，

∴四边形ABDE是菱形；

∵𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐴𝐵=𝐶𝐷=2𝐵𝐶=√3，

∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，𝑂𝐷=𝐶𝐷⋅𝑡𝑎𝑛30°=1， ∴∠𝐴𝐷𝐵=60°，

∵∠𝐶𝐷𝐸=90°−∠𝐶=60°，

∴∠𝐴𝐷𝐸=180°−∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐶𝐷𝐸=60°， ∴∠𝐴𝑂𝐸=2∠𝐴𝐷𝐸=120°， ⏜的长度为：∴𝐴𝐸

2

120×𝜋×1180

1

1

=3𝜋；

2

故答案为：3𝜋；

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⏜的长度为：②若∠𝐴𝐷𝐸=90°，则点E与点F重合，此时𝐴𝐸

180×𝜋×1180

=𝜋；

60×𝜋×1

⏜的长度为：若∠𝐷𝐴𝐸=90°，则DE是直径，则∠𝐴𝑂𝐸=2∠𝐴𝐷𝑂=60°，此时𝐴𝐸180∵𝐴𝐷不是直径， ∴∠𝐴𝐸𝐷≠90°；

⏜的长度是𝜋或𝜋时，△𝐴𝐷𝐸是直角三角形． 综上可得：当𝐴𝐸3故答案为：3𝜋或𝜋．

1

1

=𝜋；

3

1

20.【答案】解：(1)设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，

15𝑥+20𝑦=250

依题意，得：{，

𝑥−𝑦=5𝑥=10

解得：{．

𝑦=5

答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元． (2)设购买m个甲种笔记本，则购买(35−𝑚)个乙种笔记本， 依题意，得：(10−2)𝑚+5×0.8(35−𝑚)≤250×90%， 解得：𝑚≤214， 又∵𝑚为正整数， ∴𝑚可取的最大值为21．

设购买两种笔记本总费用为w元，则𝑤=(10−2)𝑚+5×0.8(35−𝑚)=4𝑚+140， ∵𝑘=4>0，

∴𝑤随m的增大而增大，

∴当𝑚=21时，w取得最大值，最大值=4×21+140=224．

答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．

1

【解析】(1)设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购买m个甲种笔记本，则购买(35−𝑚)个乙种笔记本，根据总价=单价×数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数可得出最多购买甲种笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

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本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

21.【答案】解：(1)∵抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+𝑐与y轴正半轴分别交于点B，

∴点𝐵(0,𝑐)， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑐， ∴点𝐴(𝑐,0)， ∴0=−𝑐2+2𝑐+𝑐， ∴𝑐=3或0(舍去)，

∴抛物线解析式为：𝑦=−𝑥2+2𝑥+3， ∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2+4， ∴顶点G为(1,4)；

(2)∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2+4， ∴对称轴为直线𝑥=1，

∵点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，

∴点M的横坐标为−2或4，点N的横坐标为6， ∴点M坐标为(−2,−5)或(4,−5)，点N坐标(6,−21)， ∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，𝑁)的一个动点， ∴−21≤𝑦𝑄≤4或−21≤𝑦𝑄≤−5．

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键． (1)先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解； (2)先求出点M，点N坐标，即可求解．

22.【答案】1.90 3.5或3.8或4.6

【解析】解：(1)通过测量可知： 表中的所填数值是1.90， 故答案为：1.90；

(2)函数𝑦1，𝑦2的图象如图：

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(3)观察图象可知：

当△𝑃𝐸𝐹为等腰三角形时，AP的长度约为3.5或3.8或4.6𝑐𝑚． 故答案为：3.5或3.8或4.6𝑐𝑚． (1)通过测量可得表中的所填数值；

(2)根据表格数据即可画出函数𝑦1，𝑦2的图象；

(3)结合函数图象，即可得当△𝑃𝐸𝐹为等腰三角形时，AP的长度． 本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是准确画出函数图象．

23.【答案】𝑃𝑀=𝑃𝑁 𝑃𝑀⊥𝑃𝑁

【解析】解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点， ∴𝑃𝑁//𝐵𝐷，𝑃𝑁=2𝐵𝐷， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∴𝑃𝑀//𝐶𝐸，𝑃𝑀=2𝐶𝐸， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐸， ∴𝑃𝑀=𝑃𝑁， ∵𝑃𝑁//𝐵𝐷， ∴∠𝐷𝑃𝑁=∠𝐴𝐷𝐶， ∵𝑃𝑀//𝐶𝐸， ∴∠𝐷𝑃𝑀=∠𝐷𝐶𝐴， ∵∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐴𝐶𝐷=90°，

∴∠𝑀𝑃𝑁=∠𝐷𝑃𝑀+∠𝐷𝑃𝑁=∠𝐷𝐶𝐴+∠𝐴𝐷𝐶=90°， ∴𝑃𝑀⊥𝑃𝑁，

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故答案为：𝑃𝑀=𝑃𝑁，𝑃𝑀⊥𝑃𝑁； (2)△𝑃𝑀𝑁是等腰直角三角形． 由旋转知，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸， ∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，𝐵𝐷=𝐶𝐸，

利用三角形的中位线得，𝑃𝑁=2𝐵𝐷，𝑃𝑀=2𝐶𝐸， ∴𝑃𝑀=𝑃𝑁，

∴△𝑃𝑀𝑁是等腰三角形， 同(1)的方法得，𝑃𝑀//𝐶𝐸， ∴∠𝐷𝑃𝑀=∠𝐷𝐶𝐸， 同(1)的方法得，𝑃𝑁//𝐵𝐷， ∴∠𝑃𝑁𝐶=∠𝐷𝐵𝐶，

∵∠𝐷𝑃𝑁=∠𝐷𝐶𝐵+∠𝑃𝑁𝐶=∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐷𝐵𝐶，

∴∠𝑀𝑃𝑁=∠𝐷𝑃𝑀+∠𝐷𝑃𝑁=∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐷𝐵𝐶 =∠𝐵𝐶𝐸+∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐷𝐵𝐶

=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐵𝐶， ∵∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∴∠𝑀𝑃𝑁=90°，

∴△𝑃𝑀𝑁是等腰直角三角形；

(3)由(2)知，△𝑃𝑀𝑁是等腰直角三角形，𝑃𝑀=𝑃𝑁=2𝐵𝐷， ∴𝑃𝑀最大时，△𝑃𝑀𝑁面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴𝐵𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝐷=28， ∴𝑃𝑀=14，

∴𝑆△𝑃𝑀𝑁最大=2𝑃𝑀2=2×142=98．

(1)利用三角形的中位线得出𝑃𝑀=𝐶𝐸，𝑃𝑁=2𝐵𝐷，进而判断出𝐵𝐷=𝐶𝐸，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出𝑃𝑀//𝐶𝐸得出∠𝐷𝑃𝑀=∠𝐷𝐶𝐴，最后用互余即可得出结论；

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𝑃𝑁=2𝐵𝐷，(2)先判断出△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，得出𝐵𝐷=𝐶𝐸，同(1)的方法得出𝑃𝑀=2𝐵𝐷，即可得出𝑃𝑀=𝑃𝑁，同(1)的方法即可得出结论；

(3)先判断出BD最大时，△𝑃𝑀𝑁的面积最大，而BD最大是𝐴𝐵+𝐴𝐷=14，即可得出结论．

本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解(1)的关键是判断出𝑃𝑀=2𝐶𝐸，𝑃𝑁=2𝐵𝐷，解(2)的关键是判断出△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，解(3)的关键是判断出MN最大时，△𝑃𝑀𝑁的面积最大．

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