2021年河南省中考数学全真模拟试卷(七)

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 在0，2，−3，−2这四个数中，最小的数是( )

1

A. 0 B. 2 C. −3

D. −2

1

2. 中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表

演视频在网络上推出，即刻转发量就超过810000这个数用科学记数法表示为( )

A. 8.1×106 B. 8.1×105 C. 81×105 D. 81×104

3. 下列说法正确的是( )

A. 检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查 B. 可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生 C. 数据3，5，4，1，−2的中位数是4

D. “367人中有2人同月同日出生”为必然事件

4. 下列运算正确的是( )

A. 𝑎+2𝑎=3𝑎2 B. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎5 C. (𝑎𝑏)3=𝑎𝑏3 D. (−𝑎3)2=−𝑎6

5. 将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是( )

A. 图①的主视图和图②的主视图相同 B. 图①的主视图与图②的左视图相同 C. 图①的左视图与图②的左视图相同 D. 图①的俯视图与图②的俯视图相同

6. 如图，∠1=120°，要使𝑎//𝑏，则∠2的大小是( )

A. 60° B. 80° C. 100° D. 120°

3𝑥<2𝑥+2

7. 不等式组{𝑥+1−𝑥≤1的解集在数轴上表示正确的

3

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是( )

A.

B.

C.

D.

8. 一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个白球．从布

袋中一次性摸出两个球，则摸出的两个球中至少有一个红球的概率是( )

A. 2

1

B. 3

2

C. 5

2

D. 10

7

C为圆心，∠𝐵=2∠𝐶，9. 如图，在△ABC中，分别以点A、

大于2AC长为半径画弧，两弧在AC两侧分别交于P、Q两点，作直线PQ交BC于点D，交AC于点𝐸.若AB=6，BC=14，则BD的长为( )

1

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

10. ▱ABCD周长为8厘米，点Q是边AB上一点，且𝐴𝑄=

1厘米，动点P从点A出发，沿折线𝐴−𝐷−𝐶运动．设动点P运动的长度为x厘米，线段AP、AQ、PQ所围成图形的面积为y平方厘米，作出y与x之间的

函数图象如图所示．根据图象可以判定点P运动所在的图形是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 化简(√2−1)0+(2)−2−√9+√−27=______

1

3

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12. 如图，在正方形ABCD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，

则∠𝐵𝐴𝐸的度数是________．

13. 已知二次函数的图象经过点𝑃(2,2)，顶点为𝑂(0,0)，将该图象向右平移，当它再次

经过点P时，所得抛物线的函数表达式为______． 14. 如图，在矩形ABCD中，𝐵𝐶=2，𝐶𝐷=√3，以点B为圆

⏜交AD于点E；以点A为圆心，AE心，BC的长为半径作𝐶𝐸

⏜交AB于点F，则图中阴影部分的面积为的长为半径作𝐸𝐹______．

15. 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为射

线AD上一动点，△𝐴′𝐸𝐹与△𝐴𝐸𝐹关于EF所在直线对EF于点M、N，称，连接AC，分别交𝐸𝐴′、𝐴𝐵=2√3，𝐴𝐷=2.若△𝐸𝑀𝑁与△𝐴𝐸𝐹相似，则AF的长为____． 三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 先化简，再求值：𝑥2+4𝑥+4÷𝑥+2−𝑥+2，其中𝑥=2𝑡𝑎𝑛60°−4𝑠𝑖𝑛30°．

17. 如图，AB为⊙𝑂直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与

直径AB垂直的弦CD，连接AD，作𝐵𝐸⊥𝐴𝐵，𝑂𝐸//𝐴𝐷交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点． (1)求证：DE为⊙𝑂切线；

(2)若⊙𝑂的半径为3，sin∠𝐴𝐷𝑃=3，求AD； (3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．

1

3𝑥−6

𝑥−2

1

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18. 某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了

抽样调查，过程如下：

选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩(百分制)如下：

七年级 85 79 83 98 68 79 59 99 87 85 97 86 90 77 八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94 62 99 94 51 88 97 94 98 85 91 分组整理，描述数据

(1)按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；

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分析数据，计算填空

(2)两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整；

年级 七年级 八年级 平均数 85.3 85.4 中位数 88 ______ 众数 ______ 优秀率 20% ______ 得出结论，说明理由．

(3)估计八年级成绩优秀的学生人数约为______人．

(4)整体成绩较好的年级为______，理由为______(至少从两个不同的角度说明合理性)．

19. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎

帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1𝑚.参考数据：𝑠𝑖𝑛34°≈0.56，𝑐𝑜𝑠34°=0.83，𝑡𝑎𝑛34°≈0.67，√3≈1.73)

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数𝑦=

𝑚𝑥

(𝑥>0)的图象经过点𝐴(4,)，点B在y轴的负半

2

3

轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点． (1)𝑚=______，点C的坐标为______； (2)若点D为线段AB上的一个动点，过点D作𝐷𝐸//𝑦轴，交反比例函数图象于点E，求△𝑂𝐷𝐸面积的最大值．

21. 为了预防新冠肺炎，某药店销售甲、乙两种防护口罩，已知甲口罩每袋的售价比乙

口罩多5元，小明从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元． (1)求该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为多少元？

(2)根据消费者需求，药店决定用不超过8000元购进甲、乙两种口罩共400袋．已知甲口罩每袋的进价为22.2元，乙口罩每袋的进价为17.8元，要使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，并求出最大利润．

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22. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐶𝐴=90°，∠𝐴<∠𝐴𝐵𝐶，D是AC边上一点，且𝐷𝐴=𝐷𝐵，O

是AB的中点，CE是△𝐵𝐶𝐷的中线．

(1)如图a，连接OC，请直接写出∠𝑂𝐶𝐸和∠𝑂𝐴𝐶的数量关系：______； (2)点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠𝑀𝑂𝑁=∠𝐴𝐷𝐵，ON与射线CA交于点N．

①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；

②若∠𝐵𝐴𝐶=30°，𝐵𝐶=𝑚，当∠𝐴𝑂𝑁=15°时，请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示)．

23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎<0)与x轴交于𝐴(−2,0)、

𝐵(4,0)两点，与y轴交于点C，且𝑂𝐶=2𝑂𝐴． (1)试求抛物线的解析式；

(2)直线𝑦=𝑘𝑥+1(𝑘>0)与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记𝑚=𝐷𝑀，试求m的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存

𝑃𝑀

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在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得 −3<−2<0<2， 所以最小的数是−3． 故选：C．

正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

1

2.【答案】B

【解析】解：810000=8.1×105． 故选：B．

科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于810000有6位，所以可以确定𝑛=6−1=5．

此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

3.【答案】D

【解析】 【分析】

本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．

根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【解答】

解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误； B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误； C、数据3，5，4，1，−2的中位数是3，此选项错误；

D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；

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故选：D．

4.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．

利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可． 【解答】解：𝑎+2𝑎=3𝑎，因此选项A不符合题意； 𝑎2⋅𝑎3=𝑎2+3=𝑎5，因此选项B符合题意； (𝑎𝑏)3=𝑎3𝑏3，因此选项C不符合题意； (−𝑎3)2=𝑎6，因此选项D不符合题意； 故选：B．

5.【答案】B

【解析】 【分析】

本题主要是从比较图①、图②来考查物体的三视图，难度一般．

根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，得出图①、图②的三视图即可． 【解答】

解：找到图①、图②从正面、侧面和上面看所得到的图形，

可知图①的主视图与图②的左视图相同，图①的左视图与图②的主视图相同． 故选：B．

6.【答案】D

【解析】 【分析】

根据同位角相等，两直线平行即可求解．

本题考查的是平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 【解答】

解：由图可以得出∠2，∠1是同位角， 当∠2=∠1=120°时，

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可得𝑎//𝑏．

所以要使𝑎//𝑏，则∠2的大小是120°． 故选：D．

7.【答案】A

【解析】 【分析】

本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】

解：解不等式3𝑥<2𝑥+2，得：𝑥<2， 解不等式

𝑥+13

−𝑥≤1，得：𝑥≥−1，

则不等式组的解集为−1≤𝑥<2， 故选A．

8.【答案】D

【解析】解：画图如下：

一共有20种情况，其中两个球中至少有一个红球的有14种情况， 因此两个球中至少有一个红球的概率是：20=10． 故选：D．

画出树状图得出所有等可能的情况数，找出至少有一个红球的情况数，即可求出所求的概率．

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14

7

9.【答案】C

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【解析】

【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．连接AD，如图，根据线段垂直平分线的性质得到𝐷𝐴=𝐷𝐶，根据等腰三角形的性质得∠𝐶=∠𝐷𝐴𝐶，接着证明∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐵，所以𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐴𝐵=6，然后计算𝐵𝐶−𝐶𝐷即可． 【解答】解：连接AD，如图，

由作法得DE垂直平分AC， ∴𝐷𝐴=𝐷𝐶， ∴∠𝐶=∠𝐷𝐴𝐶，

∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶+∠𝐷𝐴𝐶=2∠𝐶， ∵∠𝐵=2∠𝐶， ∴∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐵， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，

∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐴𝐵=6，

∴𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐶𝐷=14−6=8． 故选：C．

10.【答案】B

【解析】 【分析】

本题主要考查了动点问题的函数图象，考查了学生从图象中读取信息的能力，正确列出表达式，是解答本题的关键．根据题意可知当点P运动2cm时，△𝐴𝑃𝑄的面积为0.5，据此可以排除选项C、D；当2≤𝑥≤4时，△𝐴𝑃𝑄的面积不变，据此可以排除选项A． 【解答】

解：根据图象可知，当𝑥=2𝑐𝑚是，𝑦=0.5𝑐𝑚2，

根据图象可知当𝑥=1𝑐𝑚时，𝑦=0.25𝑐𝑚2，而选项A当𝑥=1𝑐𝑚时，𝑦=0.5(𝑐𝑚2)，故选项A不合题意；

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选项B，当2≤𝑥≤4时，𝑦=2×1×1=0.5(𝑐𝑚2)，故选项B符合题意． 选项C，当𝑥=2时，𝑦=×1×√2=√(𝑐𝑚2)，故选项C不合题意；

2

2

1

21

选项D，当𝑥=2时，𝑦=2×1×2=1(𝑐𝑚2)，故选项D不合题意； 故选B．

1

11.【答案】−1

【解析】 【分析】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根和立方根的性质分别化简得出答案． 【解答】

解：原式=1+4−3−3 =−1． 故答案为−1．

12.【答案】75°

【解析】 【分析】

本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，求出∠𝐷𝐴𝐸的度数是解题的关键．由正方形和等边三角形的性质得出∠𝐴𝐷𝐸=150°，𝐴𝐷=𝐷𝐸，由等腰三角形的性质得出∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐸𝐴=15°，即可得出∠𝐵𝐴𝐸的度数． 【解答】

解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=90°，𝐴𝐷=𝐷𝐶， ∵△𝐶𝐷𝐸是等边三角形，

∴∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐷𝐸𝐶=60°，𝐷𝐸=𝐷𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵𝐶𝐸=90°+60°=150°，𝐴𝐷=𝐷𝐸， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐸𝐴=2×(180°−150°)=15°， ∴∠𝐵𝐴𝐸=90°−15°=75°； 故答案为：75°．

第13页，共26页

1

13.【答案】𝑦=2(𝑥−4)2

【解析】解：设原来的抛物线解析式为：𝑦=𝑎𝑥2(𝑎≠0)． 把𝑃(2,2)代入，得2=4𝑎， 解得𝑎=2，

故原来的抛物线解析式是：𝑦=2𝑥2． 设平移后的抛物线解析式为：𝑦=2(𝑥−𝑏)2， 把𝑃(2,2)代入，得2=2(2−𝑏)2， 解得𝑏=0(舍去)或𝑏=4，

所以平移后抛物线的解析式是：𝑦=2(𝑥−4)2． 故答案是：𝑦=2(𝑥−4)2．

设原来的抛物线解析式为：𝑦=𝑎𝑥2，利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．

考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．

√3

14.【答案】5𝜋 +122

1

1

1

11

1

1

【解析】解：连接BE、EF， 由题意得．𝐵𝐸=𝐵𝐶=2，

由勾股定理得，𝐴𝐸=√𝐵𝐸2−𝐴𝐵2=1， sin∠𝐴𝐵𝐸=

𝐴𝐸

=，

𝐵𝐸2

1

∴∠𝐴𝐵𝐸=30°， ∴∠𝐶𝐵𝐸=60°，

则图中阴影部分的面积=扇形EBC的面积+△𝐴𝐵𝐸的面积−扇形EAF的面积

60𝜋×22190𝜋×12

=+×1×√3−

3602360

=

5𝜋

+

12

√3

， 2

5𝜋

故答案为：

+12

√3

． 2

EF，连接BE、根据勾股定理求出AE，根据正弦的定义求出∠𝐴𝐵𝐸，根据扇形面积公式、

第14页，共26页

三角形的面积公式计算，得到答案．

本题考查的是扇形面积计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式：𝑆=

𝑛𝜋𝑟2360

是解题的关键．

15.【答案】1或3

【解析】解：①当𝐸𝑀⊥𝐴𝐶时，△𝐸𝑀𝑁∽△𝐸𝐴𝐹， ∵四边形ABCD是矩形， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶=2，∠𝐵=90°， ∴tan∠𝐶𝐴𝐵=

𝐵𝐶𝐴𝐵

=

√3， 3

∴∠𝐶𝐴𝐵=30°， ∴∠𝐴𝐸𝑀=60°， ∴∠𝐴𝐸𝐹=30°， ∴𝐴𝐹=𝐴𝐸⋅𝑡𝑎𝑛30°=√3⋅

√33

=1，

②当𝐸𝑁⊥𝐴𝐶时，△𝐸𝑁𝑀∽△𝐸𝐴𝐹， 可得𝐴𝐹=𝐴𝐸⋅𝑡𝑎𝑛60°=3， 故答案为1或3．

分两种情形①当𝐸𝑀⊥𝐴𝐶时，△𝐸𝑀𝑁∽△𝐸𝐴𝐹.②当𝐸𝑁⊥𝐴𝐶时，△𝐸𝑁𝑀∽△𝐸𝐴𝐹，分别求解．

本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

16.【答案】解：𝑥2+4𝑥+4÷𝑥+2−𝑥+2 ==

=

2𝑥+2

3𝑥−6𝑥−21

3(𝑥−2)𝑥+21

⋅−

(𝑥+2)2𝑥−2𝑥+231

−

𝑥+2𝑥+2

，

1

当𝑥=2𝑡𝑎𝑛60°−4𝑠𝑖𝑛30°=2√3−4×2=2√3−2时，原式=

2√=3−2+22√3． 3

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【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．

17.【答案】证明：(1)如图1，连接OD、BD，BD交

OE于M，

∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐷， ∵𝑂𝐸//𝐴𝐷， ∴𝑂𝐸⊥𝐵𝐷， ∴𝐵𝑀=𝐷𝑀， ∵𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴∠𝐵𝑂𝑀=∠𝐷𝑂𝑀， ∵𝑂𝐸=𝑂𝐸，

∴△𝐵𝑂𝐸≌△𝐷𝑂𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝑂𝐷𝐸=∠𝑂𝐵𝐸=90°， ∴𝐷𝐸为⊙𝑂切线；

(2)解法一：如图1， ∵𝑂𝐴⊥𝐶𝐷， ∴𝐴𝐶

⏜=𝐴𝐷⏜， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝑃， ∴sin∠𝐴𝐵𝐷=sin∠𝐴𝐷𝑃=1

=

𝐴𝐷3𝐴𝐵

，

∵𝐴𝐵=6， ∴𝐴𝐷=1

3𝐴𝐵=2；

解法二：设𝐴𝑃=𝑎， ∵sin∠𝐴𝐷𝑃=𝐴𝑃

1

𝐴𝐷=3， ∴𝐴𝐷=3𝑎，

∴𝑃𝐷=√𝐴𝐷2−𝐴𝑃2=√(3𝑎)2−𝑎2=2√2𝑎， ∵𝑂𝑃=3−𝑎， ∴𝑂𝐷2=𝑂𝑃2+𝑃𝐷2，

第16页，共26页

∴32=(3−𝑎)2+(2√2𝑎)2， 9=9−6𝑎+𝑎2+8𝑎2， 𝑎1=3，𝑎2=0(舍)， 当𝑎=3时，𝐴𝐷=3𝑎=2， ∴𝐴𝐷=2；

(3)𝑃𝐹=𝐹𝐷，

理由是：∵∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐴𝐵𝐸=90°，∠𝑃𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐸， ∴△𝐴𝑃𝐹∽△𝐴𝐵𝐸， ∴

𝑃𝐹𝐵𝐸

22

=

𝐴𝑃𝐴𝐵

， ，

∴𝑃𝐹=

𝐴𝑃⋅𝐵𝐸𝐴𝐵

∵𝑂𝐸//𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝑂𝐸=∠𝑃𝐴𝐷， ∵∠𝑂𝐵𝐸=∠𝐴𝑃𝐷=90°， ∴△𝐴𝐷𝑃∽△𝑂𝐸𝐵， ∴

𝑃𝐷𝐵𝐸

=

𝐴𝑃𝑂𝐵

， ，

∴𝑃𝐷=

𝐴𝑃⋅𝐵𝐸𝑂𝐵

∵𝐴𝐵=2𝑂𝐵， ∴𝑃𝐷=2𝑃𝐹， ∴𝑃𝐹=𝐹𝐷．

【解析】(1)如图1，连接OD、BD，根据圆周角定理得：∠𝐴𝐷𝐵=90°，则𝐴𝐷⊥𝐵𝐷，𝑂𝐸⊥𝐵𝐷，由垂径定理得：𝐵𝑀=𝐷𝑀，证明△𝐵𝑂𝐸≌△𝐷𝑂𝐸，则∠𝑂𝐷𝐸=∠𝑂𝐵𝐸=90°，可得结论；

(2)解法一：连接BD，因为OP垂直于CD，由垂径定理可证得弧AC等于弧AD，∠𝐴𝐵𝐷等于∠𝐴𝐷𝑃，由直角三角形ADB中sin∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝑃=3可得，𝐴𝐷=3𝐴𝐵，可得AD的长；

解法二：设𝐴𝑃=𝑎，根据三角函数得：𝐴𝐷=3𝑎，由勾股定理得：𝑃𝐷=2√2𝑎，在直角△𝑂𝑃𝐷中，根据勾股定理列方程可得：32=(3−𝑎)2+(2√2𝑎)2，解出a的值可得AD的值；

第17页，共26页

1

1

(3)先证明△𝐴𝑃𝐹∽△𝐴𝐵𝐸，得𝐵𝐸=𝐴𝐵，由△𝐴𝐷𝑃∽△𝑂𝐸𝐵，得𝐵𝐸=𝑂𝐵，可得𝑃𝐷=2𝑃𝐹，可得结论．

本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接BD构造直角三角形是解题的关键．

𝑃𝐹𝐴𝑃𝑃𝐷𝐴𝑃

18.【答案】解：(1)补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图如图所示，

(2)91.5，94，55%； (3)220；

(4)八年级 八年级的中位数和优秀率都高于七年级 ．

【解析】解：(1)见答案

(2)八年级20名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为：51 55 62 71 78 85 86 87 88 91 92 94 94 94 94 94 97 98 98 99 ∴中位数=

91+922

=91.5分；

∵94分出现的次数最多，故众数为94分； 优秀率为：20×100%=55%， 故答案为：91.5，94，55%； (3)400×55%=220(人)，

答：八年级成绩优秀的学生人数约为220人； 故答案为：220；

(4)整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级． 故答案为：八年级，八年级的中位数和优秀率都高于七年级． (1)由收集的数据即可得；根据题意补全频数分布直方图即可； (2)根据众数和中位数和优秀率的定义求解可得； (3)根据题意列式计算即可；

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11

(4)八年级的中位数和优秀率都高于七年级即可得结论．

本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数的定义，正确的理解题意是解题的关键．

19.【答案】解：∵∠𝐴𝐶𝐸=90°，∠𝐶𝐴𝐸=34°，𝐶𝐸=55𝑚，

∴tan∠𝐶𝐴𝐸=

𝐶𝐸

𝐶𝐸𝐴𝐶

，

55

∴𝐴𝐶=𝑡𝑎𝑛34∘≈0.67≈82.1𝑚， ∵𝐴𝐵=21𝑚，

∴𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=61.1𝑚， 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐶𝐵𝐷=60°， 则tan∠𝐶𝐵𝐷=𝑡𝑎𝑛60°=𝐵𝐶=√3， ∴𝐶𝐷=√3𝐵𝐶≈1.73×61.1≈105.7𝑚， ∴𝐷𝐸=𝐶𝐷−𝐸𝐶=105.7−55≈51𝑚， 答：炎帝塑像DE的高度约为51m．

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．由三角函数求出𝐴𝐶=𝑡𝑎𝑛34∘≈82.1𝑚，得出𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=61.1𝑚，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，由三角函数得出𝐶𝐷=√3𝐵𝐶，即可得出答案．

𝐶𝐸

𝐶𝐷

20.【答案】6 (2,0)

【解析】解：(1)∵反比例函数𝑦=∴𝑚=4×=6，

23

𝑚𝑥

(𝑥>0)的图象经过点𝐴(4,)，

2

3

∵𝐴𝐵交x轴于点C，C为线段AB的中点． ∴𝐶(2,0)；

故答案为6，(2,0)；

(2)设直线AB的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，

𝑘=434𝑘+𝑏=2

𝐴(4,)把，𝐶(2,0)代入得{，解得{3， 2

𝑏=−22𝑘+𝑏=0

3

3

∴直线AB的解析式为𝑦=4𝑥−2； ∵点D为线段AB上的一个动点，

33

第19页，共26页

∴设𝐷(𝑥,4𝑥−2)(0<𝑥≤4)， ∵𝐷𝐸//𝑦轴， ∴𝐸(𝑥,)，

𝑥

∴𝑆△𝑂𝐷𝐸=2𝑥⋅(𝑥−4𝑥+2)=−8𝑥2+4𝑥+3=−8(𝑥−1)2+∴当𝑥=1时，△𝑂𝐷𝐸的面积的最大值为8．

(1)根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；

(2)根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到𝑆△𝑂𝐷𝐸=−8(𝑥−1)2+

3

278

27

1

6

3

3

3

3

3

278

6

33

，

，由二次函数的性质即可求得结论．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，二次函数的性质，根据三角形面积得到二次函数的解析式是解题的关键．

(1)设该药店甲种口罩每袋的售价为x元，【答案】解：乙种口罩每袋的售价为y元， 21.

𝑥−𝑦=5𝑥=25

根据题意得：{，解得{，

𝑦=203𝑥+2𝑦=115答：甲、乙两种口罩每袋的售价分别为25元、20元；

(2)设药店购进甲种口罩m袋，获利w元，根据题意得： 22.2𝑚+17.8(400−𝑚)≤8000， 解得𝑚≤200，

𝑤=(25−22.2)𝑚+(20−17.8)(400−𝑚)=0.6𝑚+880， ∵0.6>0，

∴𝑤随m的增大而增大，

∴当𝑚=200时，药店获利最大，最大利润为：0.6×200+880=1000(元)． 答：购进甲、乙两种口罩各200袋时，药店获利最大，最大利润为1000元．

【解析】(1)分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小明从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元，列方程组解答即可；

(2)设药店购进甲种口罩m袋，获利w元，根据题意得出w与m的关系式以及m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．

本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．

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22.【答案】∠𝑂𝐶𝐸=∠𝑂𝐴𝐶

【解析】解：(1)结论：∠𝐸𝐶𝑂=∠𝑂𝐴𝐶． 理由：如图1中，连接OE．

∵∠𝐵𝐶𝐷=90°，𝐵𝐸=𝐸𝐷，𝐵𝑂=𝑂𝐴， ∵𝐶𝐸=𝐸𝐷=𝐸𝐵=𝐵𝐷，𝐶𝑂=𝑂𝐴=𝑂𝐵，

21

∴∠𝑂𝐶𝐴=∠𝐴， ∵𝐵𝐸=𝐸𝐷，𝐵𝑂=𝑂𝐴， ∴𝑂𝐸//𝐴𝐷，𝑂𝐸=2𝐴𝐷， ∴𝐶𝐸=𝐸𝑂．

∴∠𝐸𝑂𝐶=∠𝑂𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝑂， ∴∠𝐸𝐶𝑂=∠𝑂𝐴𝐶．

故答案为：∠𝑂𝐶𝐸=∠𝑂𝐴𝐶．

(2)如图2中，

1

∵𝑂𝐶=𝑂𝐴，𝐷𝐴=𝐷𝐵， ∴∠𝐴=∠𝑂𝐶𝐴=∠𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝐶𝑂𝐴=∠𝐴𝐷𝐵， ∵∠𝑀𝑂𝑁=∠𝐴𝐷𝐵，

第21页，共26页

∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝑀𝑂𝑁， ∴∠𝐶𝑂𝑀=∠𝐴𝑂𝑁， ∵∠𝐸𝐶𝑂=∠𝑂𝐴𝐶， ∴∠𝑀𝐶𝑂=∠𝑁𝐴𝑂， ∵𝑂𝐶=𝑂𝐴，

∴△𝐶𝑂𝑀≌△𝐴𝑂𝑁(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝑂𝑀=𝑂𝑁．

②如图3−1中，当点N在CA的延长线上时，

∵∠𝐶𝐴𝐵=30°=∠𝑂𝐴𝑁+∠𝐴𝑁𝑂，∠𝐴𝑂𝑁=15°， ∴∠𝐴𝑂𝑁=∠𝐴𝑁𝑂=15°， ∴𝑂𝐴=𝐴𝑁=𝑚， ∵△𝑂𝐶𝑀≌△𝑂𝐴𝑁， ∴𝐶𝑀=𝐴𝑁=𝑚，

在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，∵𝐵𝐶=𝑚，∠𝐶𝐷𝐵=60°， ∴𝐵𝐷=

2√3𝑚， 3

∵𝐵𝐸=𝐸𝐷， ∴𝐶𝐸=2𝐵𝐷=

1

√3𝑚， 3

∴𝐸𝑀=𝐶𝑀+𝐶𝐸=𝑚+

√3𝑚. 3如图3−2中，当点N在线段AC上时，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐶于H．

第22页，共26页

∵∠𝐴𝑂𝑁=15°，∠𝐶𝐴𝐵=30°， ∴∠𝑂𝑁𝐻=15°+30°=45°， ∴𝑂𝐻=𝐻𝑁=𝑚，

21

∵𝐴𝐻=

√3𝑚， 2

√3𝑚2

∴𝐶𝑀=𝐴𝑁=∵𝐸𝐶=

−𝑚，

2

1

√3𝑚， 3

√3𝑚3

∴𝐸𝑀=𝐸𝐶−𝐶𝑀=−(

√3𝑚2

−𝑚)=𝑚−

2

231

11

√3𝑚， 6

3综上所述，满足条件的EM的值为𝑚+√𝑚或𝑚−√𝑚.

326

(1)结论：∠𝐸𝐶𝑂=∠𝑂𝐴𝐶.理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理解决问题即可．

(2)①只要证明△𝐶𝑂𝑀≌△𝐴𝑂𝑁(𝐴𝑆𝐴)，即可解决问题．

②分两种情形：如图3−1中，当点N在CA的延长线上时，如图3−2中，当点N在线段AC上时，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻.分别求解即可解决问题．

本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

23.【答案】解：(1)因为抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐴(−2,0)、𝐵(4,0)两点，

所以可以假设𝑦=𝑎(𝑥+2)(𝑥−4)， ∵𝑂𝐶=2𝑂𝐴，𝑂𝐴=2，

∴𝐶(0,4)，代入抛物线的解析式得到𝑎=−2，

∴𝑦=−2(𝑥+2)(𝑥−4)或𝑦=−2𝑥2+𝑥+4或𝑦=−2(𝑥−1)2+4．

(2)如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作𝑃𝐸⊥𝑥轴于E，交BC于F．

1

1

1

9

1

第23页，共26页

∵𝐶𝐷//𝑃𝐸， ∴△𝐶𝑀𝐷∽△𝐹𝑀𝑃， ∴𝑚=

𝑃𝑀𝐷𝑀

=

𝑃𝐹𝐷𝐶

，

∵直线𝑦=𝑘𝑥+1(𝑘>0)与y轴交于点D，则𝐷(0,1)， ∵𝐵𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+4，

设𝑃(𝑛,−2𝑛2+𝑛+4)，则𝐹(𝑛,−𝑛+4)，

∴𝑃𝐹=−2𝑛2+𝑛+4−(−𝑛+4)=−2(𝑛−2)2+2， ∴𝑚=

1

1

1

1

=−(𝑛−2)2+， 𝐶𝐷63

𝑃𝐹12

∵−6<0，

∴当𝑛=2时，m有最大值，最大值为3，此时𝑃(2,4)．

(3)存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． ①当DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2−1中，四边形DQNP是矩形时，

2

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有(2)可知𝑃(2,4)，代入𝑦=𝑘𝑥+1中，得到𝑘=2， ∴直线DP的解析式为𝑦=2𝑥+1，可得𝐷(0,1)，𝐸(−3,0)， 由△𝐷𝑂𝐸∽△𝑄𝑂𝐷可得𝑂𝑄=𝑂𝐷， ∴𝑂𝐷2=𝑂𝐸⋅𝑂𝑄， ∴1=3⋅𝑂𝑄， ∴𝑂𝑄=，

2∴𝑄(2,0)．

根据矩形的性质，将点P向右平移2个单位，向下平移1个单位得到点N， ∴𝑁(2+2,4−1)，即𝑁(2,3)

b、如图2−2中，四边形PDNQ是矩形时，

3

7

3

3

32

𝑂𝐷

𝑂𝐸3

2

3

∵直线PD的解析式为𝑦=2𝑥+1，𝑃𝑄⊥𝑃𝐷， ∴直线PQ的解析式为𝑦=−3𝑥+∴𝑄(8,0)，

根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ∴𝑁(0+6,1−4)，即𝑁(6,−3)．

②当DP是对角线时，设𝑄(𝑥,0)，则𝑄𝐷2=𝑥2+1，𝑄𝑃2=(𝑥−2)2+42，𝑃𝐷2=13，∵𝑄是直角顶点， ∴𝑄𝐷2+𝑄𝑃2=𝑃𝐷2，

∴𝑥2+1+(𝑥−2)2+16=13，

整理得𝑥2−2𝑥+4=0，方程无解，此种情形不存在，

2

163

3

，

第25页，共26页

综上所述，满足条件的点N坐标为(2,3)或(6,−3)．

【解析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

(1)因为抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐴(−2,0)、𝐵(4,0)两点，所以可以假设𝑦=𝑎(𝑥+2)(𝑥−4)，求出点C坐标代入求出a即可；

(2)由△𝐶𝑀𝐷∽△𝐹𝑀𝑃，可得𝑚=𝐷𝑀=𝐷𝐶，根据关于m关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

(3)存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时．

𝑃𝑀

𝑃𝐹

7

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