数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为（ ）
A．1234 B．4312 C．3421 D．4231
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．tan30°的值为（ ） A．
B．
C．
D．
5．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（A．0
B．﹣1
C．﹣2
D．﹣3
6．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ） A．对顶角相等 B．若a=b，则|a|=|b|
）
C．同位角相等，两直线平行 D．若ac2＜bc2，则a＜b
7．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（ ）
x x﹣4x+2 20 2 0.5 0.25 1 ﹣1 1.5 ﹣1.75 2 ﹣2 2.5 ﹣1.75 3 ﹣1 3.5 0.25 4 2 A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5
B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
8．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ） A．（2m，2n）
B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n） C．（m， n）
D．（m， n）或（﹣m，﹣n）
9．若二次函数y1=ax+bx与一次函数y2=ax+b的图象经过相同的象限，给出下列结论：①a，b同号；②若b＜0，则x＞1时，y1＜y2．则下列判断正确的是（ ） A．①，②都对
B．①，②都错
C．①对，②错
D．①错，②对
2
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4 、
的图象交于B、
11．如图，在△AOB中，∠BOA=90°，∠BOA的两边分别与函数A两点，若 A．
B．2
C．
，则AO的值为（ ）
D．
12．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 ．
14．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是 ．
15．计算：﹣|2﹣|=
16．如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分42分，每小题6分） 17．（6分）x2﹣8x+12=0．
18．（6分）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
19．（7分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
20．（7分）投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m
（1）设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若菜园面积为384m，求x的值； （3）求菜园的最大面积．
2
21．（8分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75m，请求出热气球离地面的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
22．（8分）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE=PA，PE交CD于F． （1）求证：PC=PE； （2）求∠CPE的度数；
（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC=65°，则∠CPE= 度．
23．如图①，已知抛物线y=ax+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
2
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参 一．选择题
1．解：∵共6个数，大于3的有3个， ∴P（大于3）==； 故选：D．
2．解：时间由早到晚的顺序为4312． 故选：B．
3．解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A． 4．解：tan30°=故选：B． 5．解：
∵关于x的一元二次方程ax+3x﹣2=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0， 解得a＞﹣1且a≠0， 故选：B．
6．【解答】解：A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题； B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；
C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行，真命题； D、若ac＜bc，则a＜b的逆命题是若a＜b，则ac＜bc，假命题； 故选：C．
7．解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x﹣4x+2=0.25，x=1.5时，x﹣4x+2=﹣1；x=3时，x2﹣4x+2=﹣1，x=3.5时，x2﹣4x+2=0.25，
判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5， 故选：B．
8．解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
2
2
2
2
2
2
2
，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），即（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）， 故选：B．
9．解：由题意a、b同号，
当a、b都是负数时，x＞1时，y1＜y2
故①正确，②正确． 故选：A．
10．解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧， ∴ab＜0，
∵与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵a＞0，x=﹣∴﹣b＜2a， ∴2a+b＞0， 故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b﹣4ac＞0， 故③正确；
④当x=﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故④正确． 故选：D．
2
＜1，
11．解：∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠CAO=90°， ∠CAO=∠BOD， ∴△ACO∽△BDO， ∴
=（
）2，
∵S△AOC=×2=1，S△BOD=×1=，
∴（
2
）=
2
2
=2，
∴OA=2OB， ∵OA+OB=AB， ∴OA+OA=6， ∴OA=2， 故选：B．
2
2
2
2
2
12．解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴
=
=
=，
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能， 所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率==． 故答案为．
14．解：根据几何体的左视图，可得这个几何体共有3层， 从俯视图可以可以看出最底层的个数是4个，
（1）当第一层有1个小正方体，第二层有1个小正方体时， 组成这个几何体的小正方体的个数是： 1+1+4=6（个）；
（2）当第一层有1个小正方体，第二层有2个小正方体时， 或当第一层有2个小正方体，第二层有1个小正方体时， 组成这个几何体的小正方体的个数是： 1+2+4=7（个）；
（3）当第一层有2个小正方体，第二层有2个小正方体时， 组成这个几何体的小正方体的个数是： 2+2+4=8（个）． 综上，可得
组成这个几何体的小正方体的个数是6或7或8．
所以组成这个几何体的小正方体的个数最少是6 故答案为：6 15．解：原式=2﹣2+故答案为：
=
，
16．解：∵MN∥PQ， ∴∠NAB=∠ABP=60°， 由题意得：AF平分∠NAB， ∴∠1=∠2=30°， ∵∠ABP=∠1+∠3， ∴∠3=30°， ∴∠1=∠3=30°， ∴AB=BF，AG=GF， ∵AB=2， ∴BG=AB=1， ∴AG=
，
， ．
∴AF=2AG=2故答案为：2
三．解答题（共7小题，满分42分，每小题6分） 17．解：x2﹣8x+12=0，
分解因式得（x﹣6）（x﹣2）=0， ∴x﹣6=0，x﹣2=0， 解方程得：x1=6，x2=2， ∴方程的解是x1=6，x2=2．
18．解：不公平， 列表如下：
4 5 6 4 8 9 10 5 9 10 11 6 10 11 12 由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果， 所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为，
由≠知这个游戏不公平；
19．解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3， ∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3， ∴y与x之间的函数关系式为：y=； （2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1； （3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4， ∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b， ∴b=， ∴y2=x+，
令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分， ∴CP=BC=，或BP=BC=，
∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=， ∴P（﹣，0）或（，0）．
20．解：（1）根据题意知，y=
（2）根据题意，得：（﹣x+解得：x=18或x=32， ∵墙的长度为24m， ∴x=18；
（3）设菜园的面积是S， 则S=（﹣x+=﹣x2+
x
）x
=﹣x+；
）x=384，
=﹣（x﹣25）2+∵﹣＜0，
∴当x＜25时，S随x的增大而增大， ∵x≤24，
∴当x=24时，S取得最大值，最大值为416， 答：菜园的最大面积为416m． 21． 解：过A作AD⊥BC， 在Rt△ACD中，tan∠ACD=在Rt△ABD中，tan∠ABD=
，即CD=，即BD=
=AD， =AD，
2
由题意得：AD﹣AD=75， 解得：AD=300m，
则热气球离底面的高度是300m．
22．解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC， ∠ABP=∠CBP=45°， 在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AD=DC，∠ADP=∠CDP，DP=DP， ∴△DPA≌△DPC，
∴∠DAP=∠DCP，PA=PC， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠E=∠PCD， ∵∠DFE=∠CFP， ∴∠CPF=∠EDF， ∵∠ABC=∠ADC=65°，
∴∠CPE=∠EDF=180°﹣∠ADC=115° 故答案为115．
23．解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D， 由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1，
∴抛物线的解析式；y=x﹣4x+3； （2）如图2，设P（m，m﹣4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G， ∴G（m，m），
22
∴PG=m﹣（m﹣4m+3）=﹣m+5m﹣3， ∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE， =×3×3+PG•AE， =+×3×（﹣m+5m﹣3）， =﹣
+
，
，
2
22
=﹣（m﹣）2+∵﹣＜0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN，
∵P（m，m﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3=2﹣m， 解得：m=∴P的坐标为（
或
，，
）或（
，
）；
2
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM，
则﹣m2+4m﹣3=m﹣2， 解得：x=P的坐标为（
或
，
；
）或（
，
，）或（
）；
，
）或（
，
）
综上所述，点P的坐标是：（或（
，
）．
