第３ ０卷第６期 长 江科学 院 院 报 Ｖ０１．３０ Ｎｏ．６ ２ ０ １ ３年６月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙａｎｇｔｚｅ Ｒｉｖｅｒ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ Ｊｕｎ．２ ０ １ ３ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—５４８５．２０１３．０６．０１９ ２０１３，３０（０６）：８３—８９ 裂纹尖端解析解与周边数值解 联合求解应力强度因子 苏海东，祁勇峰，龚亚琦 （长江科学院材料与结构研究所，武汉４３００１０） 摘要：由于裂纹尖端位移和应力分布的复杂性，采用常规数值方法（如有限元法）的插值方式不易获得快速收敛的 应力强度因子计算值。基于数值流形方法，提出将裂纹尖端Ｗｉｌｌｉａｍｓ解析解与其周边高阶多项式级数的数值解联 合应用以求解应力强度因子的新方法：在裂纹尖端所在网格的结点上采用Ｗｉｌｌｉａｍｓ位移解析级数，并用结点自由 度强制约束方式得到裂纹尖端区域的解析级数；在与之相邻的周边网格内将解析级数与多项式级数用形函数连 接；给出应变矩阵和刚度矩阵的具体表达式及积分方式；利用数值流形方法的网格与材料边界分离的特性以及不 连续覆盖技术，使裂纹可以在网格内穿过，给材料边界（包括裂纹边界）附近的网格划分带来很大的方便；通过典型 算例验证了方法的有效性。考虑到Ｗｉｌｌｉａｍｓ级数是对裂纹尖端位移场的最佳逼近，这种新方法相比扩展有限元等 其他新方法而言将有更快的收敛性。 关键词：应力强度因子；数值流形方法；裂纹尖端Ｗｉｌｌｉａｍｓ解析解；解析解与数值解联合应用 中图分类号：ＴＶ３１３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—５４８５（２０１３）０６—００８３—０７ 线弹性断裂力学（Ｌｉｎｅａｒ Ｅｌａｓｔｉｃ Ｆｒａｃｔｕｒｅ Ｍｅ— ｃｈａｎｉｃｓ，简称ＬＥＦＭ）¨ 是断裂力学中最早、也是发 展最完善的一个分支。它以线弹性力学为基础，将 １ 应力强度因子的数值计算方法及 结构视为带有裂纹的弹性体来研究裂纹的扩展问 其研究现状 题，其中，裂纹按受力和断裂特征分为３类：张开型 （Ｉ型）、滑开型（ＩＩ型）和撕开型（ＩＩＩ型）。根据经典 的弹性理论，在裂纹尖端附近的应力具有奇异性。 Ｉｒｗｉｎ在１９５７年提出了新的物理量——应力强度因 子（Ｓｔｒｅｓｓ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ Ｆａｃｔｏｒ，简称ＳＩＦ）来表征裂纹特 ＝ 性，相应的有３类应力强度因子Ｋｌ， Ⅱ和ＫⅢ。 计算应力强度因子的方法有解析法和数值方 车 ・ 法，前者只适用于简单形状。目前基于网格的数值 ｃ。ｓ詈（ 一ｓｉｎ导ｓｉｎ ） 计算方法主要以有限元法为主，由于奇异性仅存在 ｃ。ｓ。于裂纹尖端附近很小的局部区域，往往存在网格划 导（－＋ｓｉｎ号ｓｉｎ ） （２） 分困难、收敛慢等问题。近年来出现的数值流形方 ．０．３０ ｃ０ 龇ｎ 吼ｎ 法 和扩展有限元法 提出了裂纹在网格内穿过 的技术，从而大大降低了网格划分的难度，后者还引 式中： 入了裂纹尖端位移场的特殊函数以加快收敛性，但 ｒ３—４ｇ平面应变， 这些方法仍需进一步改进。本文基于数值流形方 Ｋ １Ｌ ＋１ 平面应力；一～～’ 法，提出裂纹尖端的解析解与其周边数值解联合应 用以求解应力强度因子的新方法。以下限于平面问 Ｇ为剪切模量，Ｇ＝ ｚｌ ｌ＋ ， ，其中，Ｅ为弹性模量， 题，仅讨论Ｉ型和Ⅱ型裂纹。 为泊松比 收稿日期：２０１２一ｌ１—１３；修回日期：２０１２—１２—２０ 基金项目：级公益性科研院所基本科研业务费项目（ＣＫＳＦ０２１００１２） 作者简介：苏海东（１９６８一），男，湖北武汉人，博士，教授级高级工程师，从事水工结构数值分析及计算方法研究，（电话）Ｏ２７—８２８２９７５４（电子 信箱）ｓｕｈｄ＠ｍａｉｌ．ｃｒｓｒｉ．ｃｎ。 ，ＩＩ●●Ｊ（１＿＿＝ ，●●●● ，●●第６期 苏海东等裂纹尖端解析解与周边数值解联合求解应力强度因子 ８５ ：主 １ ， ［口 （ ）＋６ （ ）］。（３） 以下推导应变矩阵和刚度矩阵。根据式（５）， 式中： ， （ ）＝ｃ ｃ。ｓ Ｔ ｏ＋ｃ ｓ（寺一２）ｏ， ｃ ｌ＝Ｋ＋寺一（一１）ｉ， ｃ ＝寺。 ／参（ ）＝ｃ ｎ ＋ｃ ｎ（寺一２） ， ｃ乏ｔ＝一，ｃ一寺＋（一１） ， ｃ ｚ＝寺。 ／ （ ）：ｃＬ ｓｉｎ ＋ｃ ｎ（寺一２） ， ｃ ・ ，ｃ一寺一（一１） ， ｃ ：＝寺。 （ ）：ｃ￣１ＣＯＳ ＋ｃｒ ｕｓＩ ｉ一２）ｏ， ｙ ，ｃ一寺＋（一１）ｉ， ｃ ：＝寺。 ａ。，ｂ 为待求系数，其中ａ。，ｂ。代表刚体位移项。应 力强度因子与ａ ．ｂ 的关系是 Ｋ Ｔ ２１ＴＧａ１， 显而易见，Ｉ型裂纹表达 式（１）就是式（３）中取ｉ＝ １，ｍ＝１及ｂ ＝０的特殊 情况。 如图３所示，在裂纹 尖端所在的矩形网格６— ７—１１—１０内，每个结点 均采用式（３）的覆盖函数 形式，并用矩形网格的形 图３裂纹尖端附近 函数ｗｊ连接，形成网格内 的矩形网格 的插值函数，写成矩阵形Ｆｉｇ・３ Ｒｅ 恤 ｇＩｌｌａｒ。ｎ劬ｅｓ 式：啪岫ｄ恤 删ｋ卸 ｛Ｍ１２ ）＝ ， ｕ＿｝＝ 砉 （ ｒ ：； ：；】｛ ）。ｃ５， 本文提出了采用结点自由度之间的强制约束方 法，将该网格的结点７，１１，１０约束到结点６，即令 ｛ ） ＝｛ ）。 ＝｛：）。＝｛：｝６，则根据形函数 ＝・ 的关系，从而在该网格内形成的解析解覆盖 ｉ ＝０ Ｔｒ ｆｆ￣ｉ（０ ） ， 正好就是式（３）的矩阵形式 应变子矩阵的第 项为 ｏ ［Ｂ ］＝ 。 ｒ ｘ ０； ／ （（ ） ）１＼Ｊ Ｊ ａ ａ Ｉ Ｏｙ ａ ‘击‘ １ ｒ （ ）） （ ，， （ ）））’ 茜 Ｉ ｒ ）） （ 川ｉ／２Ｊ ｙ （ｏ）））） 茜 １ ｒ ））＋ Ｉ ｒ ））＋ （【 ｒｉ／２，ｘ，ｉｌ（【 ）） ） （【 ， （ ）） Ｉ， ｖ２ｆ（ ）代表， （ ） （ ） （ ） ｙ （ ），将各 项偏导数展开： （ ， （ ））： ６『）， ｏｗｑ＿＿ｒ ｌ（ ＋ ｏ １ ｒ （ ））掀、２； （ ， （ ））＝ （６， ｒｏｙ ＂ ２ ｒ （ ＋ （ （ ））。（客） 其中： ０ １ ｒ （ ））＝ ａ（ ｌ ｒｖ２０））去＋ （争 （ ））・ Ｏ０ｉ ＝ ｒ（ ‘ （ ）言＋丁１ ； Ｏ（ ｌ ｒｖ２ （ ））０‘ １ ＝ ｒ （ ））考 ０ １ ｒ （ ））・ Ｏ０ｉ ＝ ｒ －】 ，（ ）考＋ １ ｒ 。 具体到 （ ），厂 （ ），厂 （ ）和厂 （ ），关于０的 偏导数为： ＝一ｃｉ ｌ。丁ｉ ｓｉｎ手 ＋ｃ ２一÷）ｓｉｎ（手一２ ＝ｃ ÷ｃ。ｓ手 ＋ｃ （手一２）ｅ。ｓ（÷一２ ＝ｃ 。÷ｃ。ｓ÷ ＋ ：（÷一２） 。ｓ（÷一２ ＝一ｃ ÷ｓｉｎ÷ ＋ｃ （２一号）ｓｉｎ（÷一２） 。 另外： 一： ＝～： ： ＝～． ０ ａｘ ｒ ’ ａｖ’ ｒ ’ Ｏ０一一（，，一Ｙｏ） Ｏ０ — 。 — 一； 。 ８６ 长江科学院院报 ２０１３＝白三 （ｚ。，Ｙｏ）为裂纹尖端坐标。 刚度子矩阵 由式（７）至式（１３）可见，冈０度矩阵积分中具有 非多项式的函数，因此基于多形式函数的单纯形积 分公式无法应用。本文采用三角形区域的Ｈａｍｍｅｒ ［ ］＝Ｊ［Ｂ，］ ［Ｄ］［Ｂ ］ｄＡ， Ｊ Ａ 积分＿９ Ｊ，为保障数值积分的精度，考虑一种逐步的 （９） ｒ，５＝０，１，…，ｍ。 积分区域加密方式，如图２中的网格８—９—１４—１３ 中形成的流形元（见图４），取其中心与流形元各边 式中：［Ｄ］为弹性矩阵， 为流形元面积。 相连形成三角形积分区域即可进行Ｈａｍｍｅｒ数值积 ３ 裂纹周边网格内的解析解与数值 分，若积分精度不够，则在各三角形中，将边中点相 解的覆盖联系 除了裂纹尖端所在的网格外，在裂纹周边与该 网格相连的其他网格内，位移统一表示为 ｛ ）： 丢ｒ以 三； 三；】｛： ）＋ 翔 ｙ 一ｙ 。 其中：ｃ ，ｄ 为待求的多项式系数；Ｉ＂ｔ，ｋ为多项式阶 次（ｈ为多项式的最高阶次）；Ｗｊ， 为相应于各结点 的形函数； 和ｚ的个数根据网格而定，但保持 ＋ｚ＝ ４。显然，取Ｚ＝０则退化到解析解覆盖式（６）。 如图３所示裂纹周边网格，比如：网格３—４—８ —７中的结点７为解析解覆盖，其它３个结点为数 值解覆盖；网格７—８—１２—１１中的结点７和结点１１ 为解析解覆盖（强制约束为同一覆盖函数），结点８ 和结点１２为数值解覆盖；网格５—６—１０—９采用不 连续的覆盖，实现裂纹两边的运动。 对于解析解覆盖结点 处的第ｉ项，其应变矩阵 为 立ｏ ａｘ ［Ｂｊｉ］＝ ｏ立 ，１ 以［ｆ ｘｔ（ ）ｆ ｘ （ ）１、 ａ’一 【厂 （ ）厂 （ ）Ｊ）ｏ ａ ａ ａｙ ａｘ （１１） 而对于数值解覆盖结点ｚ处，第ｑ项的应变矩阵为 立ｏ ａ ｎ－ｋ ｋ ［Ｂ ］＝ Ｏ ｙ ０ ａ ａ ａｙ ａｘ 解析覆盖与数值覆盖相关的刚度子矩阵为 ［ ｆｑ］＝Ｊ． ［ ］ ［Ｄ］［Ｂ幻］ 或［ ］＝ ｎＤ］ ］ｃＬ４。（１３） 连分解成４个小三角形，以此类推。一般而言，只需 加密１次、最多２次就可以满足积分精度要求。 图４积分区域加密 Ｆｉｇ．４ Ｓｕｂｄｉｖｉｄｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｄｏｍａｉｎｓ ４ 算 例 以无限长条为例，考虑以下几种典型裂纹。 ４．１ 两端受均布拉力的内部裂纹 如图５（ａ）所示，在宽度为日的无限长条有 一条长度为２０的内部裂纹，长条两端受均布拉力Ｐ 一 的作用。当４ａ＜Ｂ时，应力强度因子理论值 叫为 Ｋ Ｔ＝￣／Ｂｔａｎ（＇ｒｒａ／Ｂ）Ｐ。取ａ＝０．０５ ｍ，Ｂ＝０．８ ｍ， Ｐ＝０．３ ｋＮ／ｃｍ，则 Ｔ理论值为１．２０。 尸 ｆｆ ｆｆ ｆ ｆｆ ｆ Ｆ Ｉｌ“………¨ ¨ｌ¨Ｊ ＩＪ ．Ｐ Ｐ （ａ】两端受均布拉力 （ｂ）两端受均布拉力 （ｃ）受一对集中切向力 的内部裂纹 的边界裂纹 的边界裂纹 图５无限长条内的裂纹 Ｆｉｇ．５ Ｃｒａｃｋｓ ｉｎ ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｔｒｉｐｅ ４．２ 两端受均布拉力的边界裂纹 见图５（ｂ），长条的宽度为Ｗ＝Ｏ．４ ｍ，其他同图５ （ａ），应力强度因子理论值 为 ＝ｐ何（ ／ ）， ８８ 长江科学院院报 ２０１３丘 而收敛较快。但扩展有限元只是使用了裂纹尖端渐 近位移场的部分特征函数，而本文方法采用的Ｗｉｌ． １ｉａｍｓ解析级数是对裂纹尖端位移场的最佳逼近，同 时，周边数值解采用的高阶多项式插值函数相对于 常规有限元和一般扩展有限元的普通插值多项式而 言逼近的精度更高，因此本文方法收敛最快。 常规有限元和扩展有限元计算应力强度因子通 常采用的“直接”法，需要通过裂纹尖端附近的位移 或应力去拟合裂纹尖端的表达式进而推求应力强度 因子；而所谓ｌ，积分的“间接”法，也需要在裂纹上、 下表面定义的一个回线上进行积分，不同的回线得 到的结果也会有差异。这些操作会引入额外误差。 本文方法将应力强度因子作为方程组的未知数，不 需要其他操作，是最“直接”最便利的方法，不会引 入额外误差。 对于杂交裂缝单元（ＨＣＥ）方法，虽然也是利用 裂纹尖端附近的Ｗｉｌｌｉａｍｓ解析解级数直接求应力强 度因子，但这种单元与周边以位移为自由度的常规 单元的连接过渡是比较困难的。在这一点上，本文 方法具有较大的优势，流形法的不连续覆盖技术可 以使裂纹在网格内穿过，这是常规有限元法以及在 其框架下的ＨＣＥ方法很难做到的。 综上所述，本文方法相比现有方法具有更快速 的收敛性和更大的方便性。另外，对于流形法的研 究而言，本文方法的意义在于： （１）虽然流形法自诞生之时就以不连续覆盖的 非连续变形分析方法而闻名于世，但如何处理裂纹 尖端停留在网格内部的情况一直是其难以解决的问 题，甚至落后于较晚出现的扩展有限元法，而本文方 法成功解决了此问题。 （２）本文方法是继文献［８］之后的数值解和解 析解联合运用的又一典型实例，再一次验证了梁国 平教授在文献［２］的序中所述的“采用数值流形方 法很容易就解决了人们多年来研究的至今尚未有好 的解决办法的局部区域解析法以及有限元与解析法 相结合的方法”，充分体现出流形法的优势。 本文方法虽然有更快的收敛性，但对裂纹尖端 附近的网格密度仍有一定的要求，必要时需要加密 网格。采用常规的网格加密方法，从普通大小的网 格过渡到裂纹尖端处小一至两个数量级尺寸的网格 是比较困难的。我们最近研究的部分重叠覆盖的流 形法，可以方便地做到大小网格之间的协调过渡，非 常适合于裂纹尖端的网格加密，将在另文介绍。 致谢：感谢数值流形方法的发明者石根华博士的指导。 参考文献： ［１］ 范天佑．断裂理论基础［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３． （ＦＡＮ Ｔｉａｎ－ｙｏｕ．Ｂａｓｉｃ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ Ｆｒａｃｔｕｒｅ［Ｍ］．Ｂｅｉ－ ｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ，２００３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ［２］ 石根华．数值流形方法与非连续变形分析［Ｍ］．裴觉 民译．北京：清华大学出版社，１９９７．（ＳＨＩ Ｇｅｎ．ｈｕａ． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍａｎｉｆｏｌｄ Ｍｅｔｈｏｄ（ＮＭＭ）ａｎｄ Ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ（ＤＤＡ）［Ｍ］．Ｔｒａｎｓｌａｔｅｄ ｂｙ ＰＥＩ Ｊｕｅ－ｍｉｎ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９７．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ［３］贤，王铁军．扩展有限元法（ＸＦＥＭ）及其应用 ［Ｊ］．力学进展，２００５，３５（１）：５—２０．（ＬＩ Ｌｕ—ｘｉａｎ， ＷＡＮＧ Ｔｉｅ－ｊｕｎ．Ｔｈｅ Ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ａ Ｒｅｖｉｅｗ『Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｍｅ． ｃｈａｎｉｃｓ，２ｏｏ５，３５（１）：５—２０．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ［４］李树忱，程玉民．考虑裂纹尖端场的数值流形方法 ［Ｊ］．土木工程学报，２００５，３８（７）：９６—１０１．（ＬＩ Ｓｈｕ— ｃｈｅｎ．ＣＨＥＮＧ Ｙｕ－ｍｉｎ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍａｎｉｆｏｌｄ Ｍｅｔｌ１ｏｄ ｆｏｒ Ｃｒａｃｋ Ｔｉｐ Ｆｉｅｌｄｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎａ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｊｏｕｒｎａｌ，‘ ２００５，３８（７）：９６—１０１．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ［５］ ＷＩＬＬＩＡＭＳ Ｍ Ｌ．Ｏｎ ｔｈｅ Ｓｔｒｅｓｓ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ Ｂａｓｅ ｏｆ ａ Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｃｒａｃｋ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， １９５７，２４：１０９—１１４． ［６］ ＫＡＲＩＨＡＬＯＯ Ｂ Ｌ，ＸＩＡＯ Ｑ Ｚ．Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ＨＣＥ ｏｎ ａ Ｇｅｎｅｒｌａ ＦＥ Ｍｅｓｈ ｆｏｒ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｃｒａｃｋｓ［ｃ］∥ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｈｔｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＥＣＣＯ－ ＭＡＳ，Ｊｙｖａｓｋｙｌａ：Ｊｕｌｙ ２４－２８，２００４． ［７］ 彭 俚．结构断裂分析的Ｗｉｌｌｉａｍｓ广义参数单元 ［Ｄ］．南宁：广西大学，２００８．（ＰＥＮＧ Ｌｉ．Ｗｉｌｌｉａｍｓ Ｅｌｅ－ ｍｅｎｔ ｗｉｔｈ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ＤＯＦ ｆｏｒ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｆｒａｃｔｕｒｅ Ａｎａｌｙ－ ｓｉｓ［Ｄ］．Ｎａｎｎｉｎｇ：Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００８．（ｉｎ Ｃｈｉ－ ｎｅｓｅ）） ［８］ 苏海东，黄玉盈．数值流形方法在流固耦合谐振分析 中的应用［Ｊ］．计算力学学报，２００７，２４（６）：８２３—８２８． （ＳＵ Ｈａｉ—ｄｏｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｙｕ－ｙｉｎｇ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｕｍｅｒｉ— ｃａｌ Ｍａｎｉｆｏｌｄ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ Ｆｌｕｉｄ—Ｓｏｌｉｄ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ１ Ｊ Ｉ．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎ— ｉｃｓ，２００７，２４（６）：８２３—８２８．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ［９］ 王勖成，邵敏．有限单元法的基本概念和数值方法 ［Ｍ］．北京：清华大学出版社，１９８８．（ＷＡＮＧ Ｘｕ—ｃｈｅｎｇ， ＳＨＡＯ Ｍｉｎ．Ｂａｓｉｃ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ＦＥＭ ａｎｄ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄ［Ｍ］．Ｂｅｒｉｎｇ：ＴｓｉｎｇｈＨａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９８８． （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ［１０］中国航空研究院．应力强度因子手册［Ｍ］．北京：科学 出版社，１９９３．（Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ａｖｉａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ． Ｍａｎｕａｌ ｏｆ Ｓｔｒｅｓｓ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ Ｆａｃｔｏｒｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ，１９９３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） （编辑：王慰） 第６期 苏海东等 裂纹尖端解析解与周边数值解联合求解应力强度因子 Ｃｏｍｐｕｔｅ Ｓｔｒｅｓｓ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ Ｆａｃｔｏｒｓ ｖｉａ Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｏｕｎｄ Ｃｒａｃｋ Ｔｉｐｓ ｗｉｔｈ Ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｓｕ Ｈａｉ－ｄｏｎｇ，ＱＩ Ｙｏｎｇ－ｆｅｎｇ，ＧＯＮＧ Ｙａ—ｑｉ （Ｍａｔｅｒｉａｌ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｙａｎｇｔｚｅ Ｒｉｖｅｒ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ， Ｗｕｈａｎ ４３００１０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ａｎｄ ｓｔｒｅｓｓｅｓ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｃｒａｃｋ ｔｉｐ，ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｅａｓｙ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ Ｓｔｒｅｓｓ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ Ｆａｃｔｏｒ（ＳＩＦ）ｗｉｔｈ ａ ｒａｐｉｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｅｎ ｕｓｉｎｇ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｓｕｃｈ ａｓ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ（ＦＥＭ）．Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍａｎｉｆｏｌｄ Ｍｅｔｈｏｄ （ＮＭＭ），ａ ｎｏｖｅｌ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ＳＩＦｓ ｖｉａ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕ— ｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ Ｗｉｌｌｉａｍｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ ａｓ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｆｏｒｍｅｄ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｏｆ ｎｏｄ— ａｌ ｆｒｅｅｄｏｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｍｅｓｈ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｃｒａｃｋ ｔｉｐ．Ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｎｏｍｉｌａ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕ． ｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｅａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｖｉａ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｒｒｏｕｎｄｉｎｇ ｍｅｓｈｅｓ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ， ｔｈｅ ｍｅｓｈｅｓ ｉｎ ＮＭＭ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｃｏｎｆｏｒｍ ｔｏ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｅ ｃｒａｃｋ ｅｄｇｅｓ，ａｎｄ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ＣＯＶ— ｅｒｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｌｌｏｗ ｔｈｅ ｃｒａｃｋｓ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ａｌｉｇｎ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｍｅｓｈｅｓ，ｐｒｏｖｉｄｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ ｏｆ ｍｅｓｈ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ．Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｗｉｌｌｉａｍｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ａｐｐｒｏｘｉ． ｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｆｉｅｌｄ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｃｒａｃｋ ｔｉｐ，ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ａ ｍｏｒｅ ｒａｐｉｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈａｎ ｏｔｈｅｒ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｅｘｔｅｎｄｅｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ（ＸＦＥＭ）． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔｒｅｓｓ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｆａｃｔｏｒ（ＳＩＦ）；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍａｎｉｆｏｌｄ ｍｅｔｈｏｄ（ＮＭＭ）；Ｗｉｌｌｉａｍｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｆｏｒ ｃｒａｃｋ ｔｉｐ； ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ 客套客 （上接第８２页） Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｂａｎｋ Ｓｌｏｐｅ Ｌａｎｄｓｌｉｄｅ ｂｙ Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｏｉｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ ＷＵ Ｒｕｉ，ＳＵ Ａｉ－ｊｕｎ，ＺＨＡＮＧ Ｓｈｅｎ，ＷＡＮ Ｆｅｉ （Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｗｕｈａｎ ４３００７４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｅｎｔｒａｌ ｐｏｉｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｂｒｉｅｆｌｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｃｅｎｔｒａｌ ｌｉｍｉｔ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａ— ｂｌｅｓ ｗｅｒｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ ｆｏｌｌｏｗ ｒｌｏｒｌＴｌａｌ ｄｉｓｔｉｂｕｔｉｒｏｎ ｏｒ ｌｏｇｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｉｂｕｔｉｒｏｎ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ．Ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘｐａｎｄｅｄ ｂｙ Ｔａｙｌｏｒ’ｓ ｓｅｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｌｉｎｅａｒｉｚｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ａｄｊａｃｅｎｔ ｏｆ ｃｅｎｔｒｌａ ｐｏｉｎｔ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ａｎａ— ｌｙｒｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｉｎｄｅｘ，ｄａｍａｇｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙａｎｄ ｍｅｄｉａｎ ｓｔａｂｉｌｉ． ，ｔｙ ｓａｆｅｔｙ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔ ｗｅｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ａｓ ａｎ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｈｅｔａｏｓｈｕ ｌａｎｄｓｌｉｄｅ ｗａｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ａｎｄ ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ｉｎ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌ ａｎｄ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｒｏｃｋｍａｓｓ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ，ｉｔ’ｓ ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｆｔｓ ｔｈｅ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｐｒａｃｔｉｃｅ ａｎｄ ｉｓ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｖａｌｕａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，ｉｔ ｉｓ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｓｌｏｐｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｆ（Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘ ）＝Ｒ—Ｓ．Ｉｔ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｊｏｒ ｆｒｏｎｔｉｅｒｓ ｏｆ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｓｌｏｐｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕ— ｔｌｌｒｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂａｎｋ ｓｌｏｐｅ；ｌａｎｄｓｌｉｄｅ；ｃｅｎｔｒａｌ ｐｏｉｎｔ ｍｅｔｈｏｄ；ｓｔａｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ
