一元二次方程重点题型(全)

一．选择题（共7小题） 定义 1．（2016凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（ ）个 ①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③A．1 B．2 一般形式

C．3

D．4

+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．

2．（2016春荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（ ）

A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1

3．（2016春宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．6；2； 9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6； 9 D．﹣2； 6；9 一元二次方程的解

4．（2016山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 5．（2016诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ） A．1

B．﹣1 C．1或﹣1 D．

6．（2016济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（ ） A．﹣2 B． C．﹣4 D．2

7．（2015诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（ ） A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．

二．填空题（共12小题）

， D．

，

8．（2016春长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为 ． 9．（2016罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为74米2，则道路的宽应为多少米设道路的宽为x米，则可列方程为 ．

（9题）（10题）

10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 ． 11．（2016丹东模拟）某药店响应国家，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是 ． 11．（2016松江区二模）某商品原价2元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是 ． 12．（2016萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元

15．（2015东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2100元．

13．在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有 名． 16．（2015东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为 ． 17．（2015春乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为 cm．

18．（2015秋洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有 人． 19．（2015秋临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为 m与 m．

三．解答题（共11小题） 20．（2015春沂源县期末）解下列方程：

（1）x2﹣2x=2x+1（配方） （2）2x2﹣2x﹣5=0（公式） ①x2﹣2x﹣8=0（因式分解）

②（x﹣4）2=9（直接开） ③2x2﹣4x﹣1=0（公式） ④x2+8x﹣9=0（配方） 22．（2015春阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：

（1）x2﹣6x=7 （2）2x2﹣6x﹣1=0 （3）3x（x+2）=5（x+2） 23．（2016唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围；

（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根． 24．（2016洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0 （1）当m取什么值时，原方程没有实数根；

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 25．（2016信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0． （1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长． 26．（2016西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0． （1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．

27．（2016平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0． （1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．

（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

28．（2016宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0 （1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

29．（2015秋余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）2． 30．（2016洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈）．

﹣

2016年06月03日59的初中数学组卷

参与试题解析

一．选择题（共7小题） 1．（2016凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（ ）个 ①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③

+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；

②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义； ③

+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；

④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；

⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义． 一元二次方程共有2个． 故选：B．

2．（2016春荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x

﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1

【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m﹣3≠0， 解得m=±1． 故选：B． 3．（2016春宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．6；2； 9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6； 9 D．﹣2； 6；9 【解答】解：∵方程一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，

∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9． 故选B． 4．（2016山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．2

【解答】解：依题意，得c=﹣a﹣b， 原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0， 即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=0， ∴（x﹣1）（ax+a+b）=0， ∴x=1为原方程的一个根， 故选B． 5．（2016诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ） A．1

B．﹣1 C．1或﹣1 D．

【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0， 解得：a=﹣1． 故选B．

6．（2016济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（ ）

）

A．﹣2 B． C．﹣4 D．2

【解答】解：将x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c， ∵4a﹣2b+c=0，

∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根． 故选A． 7．（2015诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（ ） A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．【解答】解：x﹣1=± ∴x=1±． 故选C．

二．填空题（共12小题）

， D．

，

8．（2016春长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为 （x﹣3）2=2 ． 【解答】解：移项，得

x2﹣6x=﹣7，

在方程两边加上一次项系数一半的平方得， x2﹣6x+9=﹣7+9， （x﹣3）2=2． 故答案为：（x﹣3）2=2． 9．（2016罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为74米2，则道路的宽应为多少米设道路的宽为x米，则可列方程为 （100﹣x）（80﹣x）=74 ．

【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有 （100﹣x）（80﹣x）=74， 故答案为：（100﹣x）（80﹣x）=74． 10．（2016丹东模拟）某药店响应国家，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是 16（1﹣x）2=14 ．

【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1﹣x）（1﹣x）=14， 整理得：16（1﹣x）2=14． 故答案为：16（1﹣x）2=14． 11．（2016松江区二模）某商品原价2元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是 2（1﹣x）2=256 ．

【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为2（1﹣x）2， 即方程为2（1﹣x）2=256． 故答案为：2（1﹣x）2=256． 12．（2016萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元

【解答】解：设每件降价为x元， 则（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，

得x2﹣5x+4=0， 解得x=4或x=1，

要使顾客实惠，则x=4， 定价为60﹣4=56元．

答：应将销售单价定位56元． 13．（2016南岗区模拟）在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有 10 名．

【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x﹣1）次手，由题意得： x（x﹣1）=45，

即：x2﹣x﹣90=0，

解得：x1=10，x2=﹣9（不符合题意舍去） 故参加这次聚会的同学共有10人． 故答案是：10． 14．（2015平定县一模）学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 （35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0） ．

【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米， ∴可列方程为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）， 故答案为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）． 15．（2015东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价 20 元时，商场日盈利可达到2100元．

【解答】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x， 由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100， 化简得：x2﹣35x+300=0， 解得：x1=15，x2=20，

∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴选x=20， 故答案为：20． 16．（2015东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为 9 ． 【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：x2+x+1=91，

解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）； ∴x=9；

故答案为：9 17．（2015春乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为 11 cm．

【解答】解：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得 3（2x﹣6）（x﹣6）=240

解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去） 答：这块铁片的宽为11cm． 18．（2015秋洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有 1000 人． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，

第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染， 那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，

整理得，x2+2x﹣99=0， 解得x=9或﹣11，

x=﹣11不符合题意，舍去．

那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．

第三轮传染后，患流感人数共有：100+9×100=1000． 故答案为1000． 19．（2015秋临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为 10 m与 13 m．

【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x， 依题意得（32﹣2x+1）x=130， 2x2﹣33x+130=0， （x﹣10）（2x﹣13）=0， ∴x1=10或x2=，

当x1=10时，32﹣2x+1=13＜16；

当x2=时，32﹣2x+1=20＞16，不合题意舍去． 答：仓库的长和宽分别为13m，10m． 故答案为：10，13．

三．解答题（共11小题） 20．（2015春沂源县期末）解下列方程： （1）x2﹣2x=2x+1（配方法） （2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法） 【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1， 配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5， 开方得：x﹣2=±，

解得：x1=2+，x2=2﹣；

（2）这里a=2，b=﹣2，c=﹣5， ∵△=8+40=48，

∴x==．

21．（2015金堂县一模）用规定的方法解下列方程 ①x2﹣2x﹣8=0（因式分解法） ②（x﹣4）2=9（直接开平方法） ③2x2﹣4x﹣1=0（公式法） ④x2+8x﹣9=0（配方法）

【解答】解：①∵x2﹣2x﹣8=0， ∴（x+2）（x﹣4）=0， ∴x+2=0或x﹣4=0， ∴x1=﹣2，x2=4； ②∵（x﹣4）2=9， ∴x﹣4=±3，

∴x1=1，x2=7；

③∵2x2﹣4x﹣1=0，

∴a=2，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=16+8=24， ∴x=

=

=1±，

∴x1=1﹣，x2=1+； ④∵x2+8x﹣9=0，

∴x2+8x+16﹣16﹣9=0， ∴（x+4）2=25， ∴x+4=±5，

∴x1=1，x2=﹣9． 22．（2015春阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣6x=7

（2）2x2﹣6x﹣1=0 （3）3x（x+2）=5（x+2） 【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣6x﹣7=0， 分解因式得：（x﹣7）（x+1）=0， 解得：x1=7，x2=﹣1；

（2）这里a=2，b=﹣6，c=﹣1， ∵△=36+8=44， ∴x=

=

；

（3）方程变形得：（3x﹣5）（x+2）=0， 解得：x1=，x2=﹣2．

23．（2016唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围；

（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根． 【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0， 解得m＜6且m≠2；

（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0， ∴（3x+4）（x+2）=0，

∴x1=﹣，x2=﹣2．

24．（2016洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0 （1）当m取什么值时，原方程没有实数根；

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 【解答】解：（1）∵方程没有实数根，

∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4＜0， ∴m＜﹣，

∴当m＜﹣时，原方程没有实数根；

（2）由（1）可知，当m≥﹣时，方程有实数根，

当m=1时，原方程变为x2﹣4x+1=0， 设此时方程的两根分别为x1，x2， 解得x1=2+，x2=2﹣． 25．（2016信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0． （1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0， 故不论k取何实数，该方程总有实数根；

（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根， 则（k﹣3）2=0， 解得k=3，

方程为x2﹣6x+9=0， 解得x1=x2=3，

故△ABC的周长为：2+3+3=8；

当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2， 方程为x2﹣5x+6=0， 解得，x1=2，x2=3，

故△ABC的周长为：2+2+3=7． 26．（2016西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0． （1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根． 【解答】解：（1）由题意知，m﹣1≠0，所以m≠1． ∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=22﹣4（m﹣1）×（﹣3）=12m﹣8＞0， 解得：m＞，

综上所述，m的取值范围是m＞且m≠1；

（2）把x=1代入原方程，得：m﹣1+2﹣3=0． 解得：m=2．

把m=2代入原方程，得：x2+2x﹣3=0， 解得：x1=1，x2=﹣3．

∴此时m的值为2，方程的另外一个根为是﹣3． 27．（2016平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0． （1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．

（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当k=0时，方程变形为x+2=0，解得x=﹣2； 当k≠0时，△=（2k+1）2﹣4k2=（2k﹣1）2， ∵（2k﹣1）2≥0， ∴△≥0，

∴当k≠0时，方程有实数根，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根； （2）存在，

设方程两根为x1、x2， 则x1+x2=﹣，x1x2=， ∵

+

=2，即

=2，

∴=2，即﹣=2，

解得：k=﹣，

故存在实数k使方程两根的倒数和为2．

28．（2016宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0 （1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 【解答】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1； 当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解， 所以不论m为何值，方程总有实数根； （2）设方程的另一个根为t， 根据题意得2+t=，2t=，

则2+t=1+2t，解得t=1， 所以m=1，

即m的值位1，方程的另一个根为1．

29．（2015秋余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）2． 【解答】解：∵x2+y2+6x﹣4y+13=0， ∴（x+3）2+（y﹣2）2=0， ∴x+3=0，y﹣2=0， ∴x=﹣3，y=2，

∴（xy）2=（﹣3×2）2=． 30．（2016洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正是一个与整个封面长宽比例相

﹣

﹣

﹣

同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈）．

【解答】解一：设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm， 则（40﹣8x）（30﹣6x）=×40×30．

整理，得x2﹣10x+5=0，解之得x=5±2， ∴x1≈，x2≈（舍去），

答：上、下边衬宽均为，左、右边衬宽均为． 解二：设矩形的长为4xcm，宽为3xcm， 则4x×3x=×40×30，

解得x1=4，x2=﹣4（舍去），

∴上、下边衬宽为20﹣8≈，左、右边衬宽均为15﹣6≈， 答：上、下边衬宽均为，左、右边衬宽均为．