维普资讯 http://www.cqvip.com
第２９卷第１期 吉首大学学报（自然科学版） Ｖ０Ｊ．２９ Ｎｏ．１ ２００８年１月 Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｊａｎ．２ｏ０８ 文章编号：１００７—２９８５（２００８）０１—０００１—０２ 关于单位分数的一个猜想 乐茂华 （湛江师范学院数学系，广东湛江５２４０４８） 摘要：证实了一个有关单位分数的十进制小数的猜想， 关键词：单位分数；十进制小数；同余性质 中图分类号：Ｏ１５６ 文献标识码：Ａ 长期以来，分数的十进制小数的算术性质一直是初等数学中的一个引人关注的课题．设ｂ是大于１的 正整数．根据文献［１］的定理３．４．２可知，当ｇｃｄ（１０，ｂ）＝１时，单位分数１／ｂ可表成十进制无限纯循环小数 Ｉｔ＝０．口１口２…口 ， （１） 其中口 Ⅱ … 称为该小数的循环节．对此，文献［２］提出以下猜想： 猜想 当ｂ：Ｐ，其中Ｐ是除了２和５以外的素数时，若ｂ 是ｂ的个位数，则（１）式中的循环节 口 口 …口 的末位数字 是与ｂ 之积为９的数字，其他各位（自后往前）依次是后一位数字与（ａｒｂ＋１）／１０ 乘积的个位（有进位时要将进位数加进去）． 最近，文献［３］将上述猜想的范围扩大到ｂ＝Ｐ 的情况，这里Ｐ是除了２个５以外的素数，ｎ是任意正 整数． 笔者证实了上述猜想对于任何适合ｇｃｄ（１０，ｂ）＝１的ｂ都是成立的，即证明了以下一般性结果： 定理１ 当ｇｃｄ（１０，ｂ）＝１时，若ｂ 是ｂ的个位数，则（１）式中的循环节口 口 …口 的末位数字口，是与 ｂ 之积为９的数字，其他各位（自后往前）依次是后一位数字与（ａｒｂ＋１）／１０乘积的个位（有进位时要将进 位数加进去）． 证明 从（１）式可知 吉＝ （口ｒ＋１０ 一－＋．． ＋１０ ）－ （２） 从（２）式可得 （口，＋１０．口，一ｌ＋…＋１０ 一 ．口１）ｂ＝１０ 一１． （３） 在（３）式中取模１０，即得 ａｒｂ 一１；９（ｍｏｄ １０）． （４） 因为ｂ 是ｂ的个位数，所以 ｂ；ｂ１（ｍｏｄ １０）． （５） 将（５）式代人（４）式即得 收稿日期：２００７—０６—１３ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０２７１１０４）；广东省自然科学基金资助项目（０４０１１４２５） 作者简介：乐茂华（１９５２一），男，上海人，湛江师范学院数学系教授，主要从事数论研究 维普资讯 http://www.cqvip.com ２ 吉首大学学报（自然科学版） 第２９卷 ０，ｂｌ一９（ｍｏｄ ｌ０）． （６） 从（６）式可知，（１）式中的循环节０ ０ … 的末位数字 是与ｂ 的乘积为９的数字． 从（３）式可得 ：１０ 一（。，一 ＋１０．。 ＋…＋１０ｒ－１￣ａ ａ）６． （７） 在（７）式的两边乘以ｎ，后，从（４），（７）式可知 －０， ）＝南（ ＋（ 一＋１０ｋ－２￣￣ｒ－ｋ＋１）６）（ｍ０ｄ １０）Ｊｊ｝＝１ ・’ｒ－１． （８） 从（８）式可知，对于给定的ｔ（１≤ｔ≤ｒ一１），都有 ０卜 三 石 了Ｌ——； （ ＋（＋Ｌ ０卜１ ＋…＋＋．．．＋１ ０ ．０，・０，一 ）ｂ）（一“。１ ｍｏｄ １０），， （Ｌ ９） ￣ｒ（旦 ＋（－ｔ＋ｌ ＋Ｌ ０ ｒ－】＋…＋ ＋．．．＋１０ －０ ＋． ｍ２ ６ ）６） （，ｍｏｄ，１０）．－ （１ｏ）Ｌ ｕ 将（１０）式代人（９）式即得 ０ （Ｌ ）￣ｒ－ｔ＋ｌ（ｍ。ｄ １Ｌ啪ｄ０）．・ （１１）Ｌ儿 从（１１）式可知，（１）式中的循环节０ ０ … 中的其他各位（自后往前）依次是后一位数字与（ａ，ｂ＋１）／１０乘 积的个位ｆ有讲位时要将讲倚数加讲去）．证毕． 参考文献： ［１］ 闵嗣鹤，严士健．初等数论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８２． ［２］ 肖乐农．循环小数的一个猜想［Ｊ］．中学生数学，２０００，（８）：１６． ［３］刘元宗，赵武超．关于素循环小数的特征值［Ｊ］．数学的实践与认识，２００６，３６（４）－＂２４０—２４５ Ａ Ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ Ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ Ｕｎｉｔ Ｆｒａｃｔｉｏｎｓ ＬＥ Ｍｎｏ．ｈｕａ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＺｈａｎｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ｚｈａｎｊｉａｎ ５２４０４８，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａ ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ ｃｏｎｃｅｒｎｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｃｉｍａｌｓ ｏｆ ｕｎｉｔ ｆｒａｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｖｅｒｉｉｆｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｕｎｉｔ ｆｒａｃｔｉｏｎ；ｄｅｃｉｍａｌ；ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ （责任编辑向阳洁）
