一、一元二次方程的概念1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2．一般形式
2的整式方程叫做一元二次方程．
ax
2
bxc
0（其中a,b,c为常数，a
0），其中ax,bx,c分别叫做二次项、一次项和常数项，
2
a,b分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意一元二次方程；
（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是二、一元二次方程的解法1．直接开平方法
适合于(x2．配方法
（1）化二次项系数为
1；
2．
a0，因为当a0时，不含有二次项，即不是
a)
2
b(b0)或(axb)
2
(cxd)形式的方程．
2
（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成
(xa)
2
b(b0)的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3．公式法
（1）把方程化为一般形式，即（2）确定a,b,c的值；（3）求出b2
ax
2
bxc0；
4ac的值；
b
b
2
（4）将a,b,c的值代入x
4ac即可．
2a
4．因式分解法
基本思想是把方程化成三、一元二次方程根的判别式1．根的判别式
一元二次方程ax
2
(axb)(cxd)
0的形式，可得axb
0或cxd0．
bxc0(a
2
0)是否有实数根，由b2
4ac的符号来确定，我们把b
4ac叫
做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当b2（2）当b2（3）当b2
4ac4ac4ac
0时，方程ax0时，方程ax0时，方程ax
2
bxbxbx
ccc
0(a0(a0(a
0)有两个不相等的实数根；0)有1个（两个相等的）实数根；0)没有实数根．
2
2
四、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程
(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、
答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系
（1）增长率＝增长量÷基础量．
（2）设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则为平均下降率时，则有2．利润等量关系
（1）利润＝售价－成本．
n
(1)am
b；当m
a(1m)
n
b．
（2）利润率＝3．面积问题
利润成本
×100％．
（1）类型1：如图1所示的矩形分的面积为(a
ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为
x，则阴影部
2x)(b2x)．
（2）类型2：如图2所示的矩形为(a
ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为
x，则空白部分的面积
x)(bx)．
（3）类型3：如图3所示的矩形面积之和可转化为
ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为
x，则4块空白部分的
(ax)(b
x)．
图1 图2 图3
考向一
一元二次方程必须具备三个条件：
一元二次方程的概念
①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
典例1 下列方程中是关于
2
x的一元二次方程的是
B．ax+bx+c=0
2
2
A．x
2
1x
2
0
C．x+x+1=0 【答案】C
D．x(x+1)=x+7
【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的定义注意D选项需要化简后进行观察
.
.根据一元二次方程的定义对每个选项进行判断即可.
1．若方程
m1x
2
mx10是关于x的一元二次方程，则
B．m=-1 D．m≠0
m的取值范围是
A．m≠-1 C．m≥-1
考向二
一元二次方程的常见解法及适用情形：
解一元二次方程
一般形式：ax
直接开平方法因式分解法配方法
形如(x
2
bxc0(a0)
m)
2
n(n0)的方程，可直接开方求解，则n)
x1m
x1
n，x1
m，x1
m
n
n
可化为a(xm)(x0的方程，用因式分解法求解，则
a(x
h)
2
若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为
2
k，再直接开方求解
公式法利用求根公式：
x
bb4ac
2a
(b
2
4ac0)
典例2 （浙江省杭州市上城区【答案】1或-1 【解析】方程
2018年中考数学一模试题）已知
xx1x1,则x=_________.
xx1x1可化为：x1x10，
∴
x10或x10，∴x1或x1.
故答案为：1或-1.
典例3 （浙江省温州市北外附属中学次方程xA．x
2
2018届九年级下学期第一次模拟考试数学）用配方法解一元二
6x5
2
0，变形正确的是
B．x
33
54
33
2
94
C．x
2
D．x
2
【答案】C
【解析】原方程变形为：方程两边都加上故选C.
【名师点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程然后方程两边都加上
2
2
x-6x=-5，
2
2
9，得x-6x+9=4，即（x-3）=4．
ax+bx+c=0（a≠0），先把方程的常数项移到右边，
.配方法的一般步骤：
2
3，这样方程左边就为完全平方式，从而可得答案
（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为
1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是
2的倍数．
2．一元二次方程3．方程3x(x
3x
2
8x30的解是_______________．
1)2(x1)的根是_______________．
考向三
对于方程ax①若②若
2
一元二次方程根的判别式
b
2
bxc0(a0)，
4ac，
，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；
③若，方程没有实数根．
典例4 （浙江省嘉兴市2x+1=0根的情况是A．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根【答案】D
【解析】∵在一元二次方程∴
=b
2
2018年初中毕业生学业考试适应性测试数学卷（二））一元二次方程
3x-
2
B．有两个相等的实数根D．没有实数根
3x
2
2x18
0中，a0，
3，b2，c1，
4ac
3x
2
2
2
431
∴一元二次方程故选D.
2x10没有实数根.
【名师点睛】根据一元二次方程“根的判别式”进行计算判断即可.一元二次方程
ax
2
bxc
2
0a
4ac
0的根存在以下三种情况：（1）当b
2
4ac
2
0时，原方程有两个不相等的实数4ac
0时，原方程没有实数根.
若关于x的一元二次方程
根；（2）当b典例
5
0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当b
（浙江省温州市绣山中学2018届九年级一模考试数学试题）
x
2
xk10有两个不相等的实数根，则34
k的取值范围是_________．
【答案】k
【解析】由题意得，=1-4（k+1）＞0，解得：k<
2
2
34
，故答案为：k<
34
.
2
2
【名师点睛】本题考查了一元二次方程-4（k+1）＞0，解不等式即可得实数根；当
.当
ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式
＞0，方程有两个不相等的实数根；当
=b-4ac，由题意可得
=1
=0，方程有两个相等的
＜0，方程没有实数根．
4．一元二次方程
2x
2
5x20的根的情况是
B．有两个不相等的实数根D．没有实数根
A．有两个相等的实数根C．只有一个实数根5．关于x的一元二次方程
A．1C．
x
2
2xk0有两个相等的实数根，则
B．D．
k的值为
1
22
考向四一元二次方程在实际问题中的应用
列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．
典例6 （浙江省杭州市萧山区边三角形，也可以折成面积为A．x（10﹣x）=50 C．x（15﹣x）=50 【答案】C
【解析】由题意可知细铁丝长为设折成的长方形的一边长为
2018年中考数学二模试卷）
2
用一根细铁丝可以折成边长为10 cm的等
50 cm的长方形．设所折成的长方形的一边长为
B．x（30﹣x）=50 D．x（30﹣2x）=50
x cm，可列方程为
3×10=30 cm，
x cm，则另一边长为（15﹣x）cm，
根据题意得：x（15﹣x）=50，故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键成边长为10 cm的等边三角形可知这根细铁丝长为则可知长方形的另一边长为（
.先根据可以折
30 cm，然后根据折成的长方形的一边长为
.
x cm，
15-x）cm，根据长方形的面积公式即可列出方程
典例7 （2018年浙江省绍兴市新昌县中考数学模拟试卷（4月份））校园空地上有一面墙，长度为20
m，用长为32 m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是（2）若篱笆再增加
126 m的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．4 m，围成的矩形花圃面积能达到
170 m吗？请说明理由．
2
2
【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加面积不能达到
170m．
2
4m，围成的矩形花圃
（2）假设能，设
AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，
根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y﹣18y+85=0．∵
=(﹣18)﹣4×1×85=﹣16＜0，
22
∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加【思路点拨】（1）假设能，设列方程求解即可得到答案（2）假设能，设
.
4m，围成的矩形花圃面积不能达到
170m．
2
AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式
AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得
.
方程无解，即假设不成立
6．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售
额平均每月的增长率是
A．20% C．50%
7．如图，在一块长为
B．25% D．62.5%
22米、宽为17米的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条
，剩余部分种上草坪，使草坪面积为
300平方米．若设道路宽为
道路各与长方形的一条边平行）米，则根据题意可列出方程为
x
A．
22x17x22x17x
300300
B．
22x172x22x17x
300300
C．D．
1．下列方程为一元二次方程的是
A．x
2
2xyy
2
0
B．x
2
2x1x
3
C．
xx3x
2
1
3xk
0的一个根，则常数
D．x0
2．如果
A．1C．
2是方程x
2
k的值为
B．2
1
2
D．
2
3．用公式法解﹣x+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为
A．﹣1，3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 4．方程x2
A．
B．1，﹣3，﹣1 D．﹣1，3，1
3x0的解是
B．x1
x3
0，x2
3
C．x10，x23
(m2)x
2
D．x11，x23
5．若关于x的一元二次方程
A．1 C．0或2 6．一元二次方程
5xm
2
2m
B．2 D．0
0的常数项为0，则m的值为
x
2
2x10的根的情况为
B．有两个不相等的实数根D．没有实数根
A．只有一个实数根C．有两个相等的实数根7．已知关于x的一元二次方程
A．C．
x
2
2x(m2)
0有实数根，则m的取值范围是
B．mD．m
m1m1
x
2
11
q的取值范围是
8．关于x的一元二次方程
A．qC．q
8xq0有两个不相等的实数根，则
B．qD．q
1
1
bx
c
0根的情况是
9．已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限，则关于
A．有两个相等的实数根C．没有实数根
10．2018年某市投入
x的方程ax2
B．有两个不相等的实数根D．无法判断
1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到
2020年再追加投
资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为A．10% C．1.21% 11．已知一次函数是
B．8% D．12.1%
y=kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x﹣2x+kb+1=0的根的情况
2
A．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根12．用配方法解方程13．若方程x2
2
B．没有实数根D．有一个根是
0
x+6x﹣5=0时，应该变形为_______________．
2xk0有两个不相等的实数根，则
x
2
k的取值范围是_______________．
m的值是_______________．
x人，则可
14．已知关于x的一元二次方程
2xm0有两个相等的实数根，则
15．在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手
28次，设参加聚会有
列方程_______________．16．已知直角三角形两边的长是方程x
2
18x650的两个根，则第三边的长为
17．解下列方程：学
+科网
（1）2(x
3)2
5；
（2）2x
2
3x30；
（3）(x3)
2
x30．
18．关于x的一元二次方程
x
2
(k3)x2k20．
_______________．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于
1，求
k的取值范围．
19．已知关于x的方程x2
（1）求a的取值范围；
8x12a0有两个不相等的实数根．
（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．
20．根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．①方程x②方程x③方程x
2
2x13x4x
23
0的解为________________________；0的解为________________________；0的解为________________________；
2
2
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2
9x80的解为________________________；
1，x2
n．
②关于x的方程________________________的解为x1（3）请用配方法解方程
x
2
9x80，以验证猜想结论的正确性．
21．如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从
东、南、西、北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长
的
15
，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的
325
，求小路的宽．
22．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度
移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于
2
的面积等于6 cm？PBQ
2
8 cm？说明理由．
23．某商店经销一种成本为每千克
20元的水产品，据市场分析，若按每千克
1元，月销售量就减少（或增加）
30元销售，一个月能售
出500kg，销售单价每涨（或跌）（1）当销售单价定为每千克
10kg，解答以下问题：
35元时，计算月销售量和月销售利润；
6000元的情况下，使得月销售利润达到
8000元，销售单价应为
（2）商店想在月销售成本不超过多少？
（3）商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为多少？此时利润为多少？
1．（2018贵州省铜仁）关于
A．x1=﹣1，x2=3 C．x1=1，x2=3
x的一元二次方程
x﹣4x+3=0的解为
B．x1=1，x2=﹣3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
2
2．（2018辽宁省锦州）一元二次方程
A．两个不相等的实数根C．没有实数根3．（2018福建）已知关于
正确的是
A．1一定不是关于B．0一定不是关于
2x-x+1=0的根的情况是
B．两个相等的实数根D．无法判断
2
x的一元二次方程（a+1）x+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断
2
x的方程x+bx+a=0的根x的方程x+bx+a=0的根
22
2
C．1和﹣1都是关于x的方程x+bx+a=0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x+bx+a=0的根
4．（2018黑龙江省龙东地区）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，
计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？A．4
B．5
2
C．6 D．7
2
5．（2018浙江省舟山）欧几里得的《原本》记载，形如xaxb的方程的图解法是：画Rt△ABC，
a2
.则该方程的一个正根是
2
使
ACB90，BC
a2
，
ACb，再在斜边AB上截取BD
A．C．
AC的长BC的长
x的一元二次方程x的一元二次方程
B．AD的长D．CD的长
6．（2018浙江省台州）已知关于7．（2018四川省资阳）已知关于
x+3x+m=0有两个相等的实数根，则
2
2
2
m=_____．
=0有一个根为0，则m=_____．mx+5x+m﹣2m
8．（2018浙江省绍兴、义乌）解方程：
x
2
2x10.
9．（2018甘肃省兰州）解方程：
3x
2
2x20．
10．（2018重庆）在美丽乡村建设中，某县投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．
县计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计垃圾集中处理点个数的
4倍．
50个，且沼气池的个数不低于
该
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金
78万元，且修建的沼气池个
数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比
7个月，在前5个月花费资金的
6月起，修建每个
为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，计划加大投入，今年后基础上增加投入
10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年
2018年前5个月的基础上分别增加
沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在垃圾集中处理点的个数将会在
a%，5a%，新建沼气池与
2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义可得：故选A．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，（1）必须是整式方程；（的定义求解即可．
解题的关键是掌握一元二次方程必须满足三个条件：
2；（3）二次项系数不为
0．根据一元二次方程
m+1≠0，解得：m≠-1.
2）未知数的最高次数是
3．【答案】x1
1，x2
1)
23
2(x1)，即3x(x1)1，x2
23
2(x1)
0，即(3x2)(x1)
0，即3x
【解析】3x(x
20或
x10，解得x1
4．【答案】B
【解析】由2x2个不相等的实数根故选B．5．【答案】A
【解析】由题可得故选A．6．【答案】C
．
5x
.
20可得
(5)
2
42(2)41
0，所以方程2x
2
5x20有两
=44k0k1.
【解析】设该店销售额平均每月的增长率为
x，则二月份销售额为4.5，解得x1
0.5
2(1
x)万元，三月份销售额为2.5（舍去），故该店销
2(1x)万元，由题意可得
售额平均每月的增长率为故选C．7．【答案】D
【解析】设道路的宽应为
2
2(1x)
50%.
2
50%，x2
x米，
由题意得（22-x）（17-x）=300，
故选D．
【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
考点冲关
1．【答案】B
【解析】A、是二元二次方程，故不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、原方程化简整理后是一元一次方程，故此选项错误；D、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误；故选B．学*科网
【名师点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为次方程，判断即可．2．【答案】B
【解析】因为故选B．3．【答案】A
【解析】方程﹣x+3x=1整理得：﹣x+3x﹣1=0，则a，b，c依次为﹣1，3，﹣1．故选A．
【名师点睛】将一元二次方程整理成一般形式后即可判断出4．【答案】B
【解析】由x2故选B．
2
2
2次，这样的整式方程称为一元二
2是方程x23x
k0的一个根，所以2
2
32k
0，解得k2．
a，b，c的值.
3x
0，可得x(x3)
0，则x10，x2
3.
5．【答案】D
【解析】由题意可得
m
2
2m
0
0
m2
，解得
m0.
故选D．
【名师点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，一元二次方程的解和解方程的应用，关键是得出
m
2
2m0且m20．
8．【答案】A
【解析】由题可得故选A．9．【答案】B
【解析】因为点所以方程ax2故选B．10．【答案】A
【解析】设该市这两年该项投入的平均增长率为依题意可得1000
4q0，解得q16．
P(a,c)在第二象限，所以bx
c
a0，c0，所以ac0，所以
b
2
4ac0，
0有两个不相等的实数根．
x，
(1x)
2
2101000，解得x1
10%．
0.110%，x22.1(舍去)．
即该市这两年该项投入的平均增长率为故选A．11．【答案】A
【解析】∵一次函数
y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0，
∴△=(-2)-4（kb+1）=-4kb>0，
∴方程x﹣2x+kb+1=0有两个不等的实数根故选A．
【名师点睛】判断根的情况，只要看根的判别式△12．【答案】（x+3）=14
【解析】方程移项得：
2
2
2
.
=b-4ac的值的符号就可以了．
2
x+6x=5，配方得：x+6x+9=14，即（x+3）=14.
222
【名师点睛】此题考查了解一元二次方程的方法：配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程中常数项移到右边，两边加上13．【答案】
9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
k1
x
2
【解析】因为方程得
2xk0有两个不相等的实数根，所以，即2
2
41k0，解
k1，故填k
1
1．
14．【答案】
【解析】因为关于x的一元二次方程解得
x
2
2xm0有两个相等的实数根，所以2
2
4m0，
m
12
1．
x(x1)
28
12
15．【答案】
【解析】参加聚会的有
x人，每个人都要握手
(x1)次，可列方程：
x(x1)
28．
16．【答案】12或
【解析】解方程
194x
2
18x65
0，可得x1
13，x25．
根据题意，当13为斜边时，直角三角形第三边的长为当13不为斜边时，直角三角形第三边的长为综上，第三边的长为
2
2
135
2
5
2
14412；
13
194．
12或194．102
3433
17．【答案】（1）x
3；（2）x
；（3）x13，x2
4．
【解析】（1）2(x
3)
2
5，开平方可得
x3
102
，即x3
102
，
所以方程2(x
3)
2
5的解为x0，可得a
3
1022,b
．
（2）由2x2
3x3
3,c3，
b
2
4ac330，
所以
x
(3)3322
2
34
33，
所以方程2x3x3
0的解为x
343)
2
33
．
（3）(x即(x
3)
2
x4)3)
2
30，即(x(x3)
0，即(x
3)[(x3)1]
0，
3)(x
0，解得x1x3
3，x24，3，x2
4．
（2）配方法，
所以方程(x0的解为x1
【名师点睛】一元二次方程的解法：（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用；
所有方程适用；（3）公式法，所有方程适用；（4）因式分解法，可因式分解的方程适用．18．【答案】（1）证明见解析；（2）k
【解析】（1）因为
0．
2
[(k3)]4(2k2)k
2
2k1(k1)
2
0，
所以方程总有两个实数根．（2）因为x所以x1
2
(k3)x2k2(x2)(xk1)0，
2，x2k1，
1，
因为方程总有一根小于所以故
k11，即k0．0．
判别式
k的取值范围为k
【思路分析】（1）由方程根的
0即可求证；（2）由因式分解法可将方程
化为
(x2)(x
k1)的形式，解出两根即可．
19．【答案】（1）
a（2）x14；3，x28
2
5．
0，解得a
【解析】（1）根据题意可得
4(12a)
4．
（2）因为
a4，
3，
(3)
0，即x
2
所以最小的整数为所以x
2
8x12
8x15
0，解得x1
3，x25．
【思路分析】（1）方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，由此可求参数的取值范围；（2）利
用（1）的结论求出a的值，代入原方程解方程即可．
20．【答案】（1）①x1
1，x21，②x1
1，x2
2，③x11，x23；
（2）①x1，x2
1
28，②x(1n)x
n
0；（3）x1
1，x28，猜想结论正确．【解析】（1）①x11，x2
1；②x1
1，x2
2；③x11，x2
3．
（2）①x1，x2
1
28；②x(1n)x
n
0．
（3）x
2
9x
80，即x
2
9x
8，即x
2
9x
819494
8
814
，即(x
2
)
2
4
，
所以x
972
2
，
所以x11，x28．
故猜想结论正确．21．【答案】小路的宽为
2米．
【解析】设小路的宽为
x米，
由题意得，（5x）2
+（40+50）x﹣2×x×5x=
325
×40×50，
解得x=2或x=﹣8（不合题意，舍去）答：小路的宽为
2米．
【名师点睛】考查一元二次方程的应用，
读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键
根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的
325
”，建立方程求解即可得出结论．
22．【答案】（1）2或3秒；（2）不能.
【解析】（1）设经过x秒以后△PBQ的面积为6 cm2
，
.
则
12
×（5﹣x）×2x=6，
2
整理得：x﹣5x+6=0，解得：x=2或x=3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6 cm．（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8 cm，则
22
12
×（5﹣x）×2x=8，
整理得：x﹣5x+8=0，因为△=25﹣32=﹣7＜0，所以此方程无解，故△PQB的面积不能等于
8 cm．
2
2
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△得出等量关系是解决问题的关键．
PBQ的面积等于6 cm”，
2
（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6 cm，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到
8 cm．
2
2
（3）设应涨价x元，
∵月销售利润
y
2
30x2050010x
9000，
9000，
10x
2
400x5000
10(x
∴当
20)
x
20时，y最大值
答：商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为
50元，此时利润为9000元．
【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程．注意熟记等量关系：销售利润数量.
（1）销售单价每涨价
1元，月销售量就减少
10千克．那么涨价
5元，月销售量就减少
50千克．根=每件利润×
据月销售利润=每件利润×数量即可求出题目的结果；（2）等量关系为：销售利润解，再结合销售成本不超过
=每件利润×数量，设单价应定为
x元，根据这个等式即可列出方程求
6000元进行取舍即可；
.
（3）根据（2）中的相等关系列出函数解析式，化为顶点式即可求出答案
直通中考
1．【答案】C
【解析】x-4x+3=0，分解因式得：（x-1）（x-3）=0，解得：x1=1，x2=3. 故选C．
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：先把方程的右边化为因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为
0，再把左边通过0，这就能得到两个一
2
元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．【答案】C
【解析】∵故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程先计算
2
=b
2
-4ac=1-8=-7＜0，∴一元二次方程2x
2
-x+1=0没有实数根．
ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式
2
=b-4ac，
2
=b-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．当
>0，方程有两个不相等的实
数根；当3．【答案】D
=0，方程有两个相等的实数根；当<0，方程没有实数根．
【解析】∵关于x的一元二次方程（a+1）x+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，
2
∴
a10
2
＝2b4a1＝0
2
，∴b=a+1或b=-（a+1）．
当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x+bx+a=0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠-（a+1），
∴1和-1不都是关于x的方程x+bx+a=0的根．故选D．
【名师点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当的实数根”是解题的关键．根据方程有两个相等的实数根可得出
2
2
2
2
2
=0时，方程有两个相等
b=a+1或b=-（a+1），当b=a+1时，
a+1≠-（a+1），可
-1是方程x+bx+a=0的根；当b=-（a+1）时，1是方程x+bx+a=0的根．再结合得出1和-1不都是关于x的方程x+bx+a=0的根．4．【答案】C
【解析】设共有
2
x个班级参赛，
根据题意得：
xx12
=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛，故选C．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．设共有个球队和其他球队打（
x个班级参赛，根据第一
x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打
（1+2+3+···+x﹣1）场球，然后根据计划安排5．【答案】B
15场比赛即可列出方程求解．
【解析】用求根公式求得：
x1
4b
2
a2
2
a
;x2
4b
2
a2
2
a
，
∵
C
90,BC
a2
，AC
.
b，∴ABb
2
a
，∴AD4
2
b
2
a4
2
a2
4b
2
a2
2
a
.
∴AD的长就是方程的正根故选B.
【名师点睛】本题考查解一元二次方程以及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出结论.
AB的长，进而求得AD的长，即可发现
6．【答案】
94
=3-4m=0，解得m=
2
【解析】根据题意得
94
．
故答案为
94
．
2
【名师点睛】本题考查了根的判别式，利用判别式的意义得到可.一元二次方程等的实数根；当7．【答案】2
【解析】∵关于
2
=3-4m=0，然后解关于m的方程即
ax+bx+c=0（a≠0）的根与
2
=b-4ac有如下关系：当
2
＞0时，方程有两个不相
=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根．
x的一元二次方程mx+5x+m﹣2m=0有一个根为0，
22
∴m﹣2m=0且m≠0，解得m=2，故答案是：2．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程
ax+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项
m的方程，
2
系数a≠0这一条件．根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于通过解关于m的方程求得m的值即可．8．【答案】
x11
1,b
2，x2
2,c2
2
1
1,
2.
【解析】a
b
2
4ac41180,
∴x
2222
，
∴
x112，x212.
【名师点睛】本题主要考查了解一元二次方程，是各地中考题中常见的计算题型．用公式法直接解方程即可.
9．【答案】x1
13
7
，x2
13
7
.
【解析】∵a=3，b=-2，c=-2，
∴b-4ac=（-2）-4×3×（-2）=28>0，
2
2
∴x=
bb
2
4ac
223137
281
=
73
2a137
，
x1，x2
.
【名师点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法、因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键
.先找出a，b，c，再求出
b-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．
10．【答案】（1）按计划，2018年前5个月至少要修建
40个沼气池；（2）10.
2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾
2
【解析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则集中处理点，
根据题意得：x≥4（50﹣x），解得：x≥40．
答：按计划，2018年前5个月至少要修建
40个沼气池．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的确列出一元二次方程．
（1）设2018年前5个月要修建
4倍，列出关于
x的一元一次不等式；找准等量关系，正
x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50-x）个垃圾集中处理
4倍，即可得出关于
点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的之取其最小值即可得出结论；
x的一元一次不等式，解
（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于出a的值．
y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得
世界上一成不变的东西，只有理。——斯里兰卡
“任何事物都是在不断变化的”这条真
过放荡不羁的生活，容易得像顺水推舟，但是要结识良朋益友，却难如登天。——巴尔扎克
这世界要是没有爱情，它在我们心中还会有什么意义！这就如一盏没有亮光的走马灯。
——歌德
生活有度，人生添寿。——书摘
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