《旋转》全章复习与巩固(提高)教师版

《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质． 2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．

3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用． 4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计． 【知识网络】

【要点梳理】要点一、旋转

1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△ABC).

要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键

沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释：

作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点.

要点二、特殊的旋转—中心对称

1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；

（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .

2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 要点三、平移、轴对称、旋转 平移、轴对称、旋转之间的对比 相同点 定义 平移 轴对称 旋转 都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等． 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换． 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换． 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换． 图形 要不 同 点 连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分． 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角． 性质 对应线段平行（或共线）且相等． 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分． *对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等． 素 平移方向 平移距离 旋转中心、旋转方向、旋转角度 对称轴

【典型例题】

类型一、旋转

1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.

① 请指出其旋转中心与旋转角度；

②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？ 【答案与解析】①旋转中心：点A； 旋转角度：45°（逆时针旋转）

②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2. 【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 举一反三：

【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（ ）

A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的. B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的. C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的. D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的. 【答案】A.

类型二、中心对称

2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)． ⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1； ⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2； ⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；

⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，

△______与△______成轴对称，对称轴是______；

△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．

【答案与解析】 ⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．

△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)．

【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系. 举一反三： 【变式】如图是

正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分

是一个中心对称图形．

【答案】

类型三、平移、轴对称、旋转 【高清课堂:高清ID号： 388636 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2-3】

3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．

求证： BD=ABBC．

D C

A B

222【思路点拨】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形. 【答案与解析】∵AD=CD，∠ADC=60°

∴△ABD绕点D顺时针旋转60°，得到△ECD， ∴∠ADC=∠BDE=60°，△BAD≌△ECD． ∴BD=DE，

∴△BDE为等边三角形． ∴BE=BD．

∵在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°， ∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DCB +∠DCE=270°． ∴∠BCE=90°．

∵在Rt△BCE中，BE2BC2CE2， ∴BD2BC2AB2．

【总结升华】利用旋转构造直角三角形，再用勾股定理是解决此类问题的捷径. 举一反三：

【变式】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=2，AB=23，△ACD是等边三角形． （1）求∠ABC的度数．

（2）以点A为中心，把△ABD顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． （3）求BD的长度．

【答案】

（1）Rt△ABC中，AC=2，AB=23, ∴BC=4， ∴∠ABC=30° （2）如图所示：

（3）连接BE．

由（2）知：△ACE≌△ADB， ∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC， ∴BE=AE=AB=23，∠EBA=60°， ∴∠EBC=90°， 又BC=2AC=4，

22∴Rt△EBC中，EC=（23）+4=27 4. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF，

分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：

①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤；当

∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时，(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的序号有_____. 【思路点拨】可以考虑运用全等三角形的知识证明，也可以考虑运用旋转来证明. 【答案与解析】 ①②③⑤

方法一：这个问题的题目原型，我们在初二学习全等三角形时已经处理过 ∵P为BC中点 ∴易证

于P且

在△AEP与△CFP中，

∴△AEP≌△CFP(ASA)

方法二：现在学习了旋转后，我们可以从一个新的角度去看旧问题.

我们可以看到△AEP可以看作是由△CPF旋转后得到的，因而易知AE=CF ∠APE=∠CPF

又EP=FP，可知△EPF为等腰直角三角形

而由旋转也可知S四边形AEPF=S△AEP+S△AFP=S△CFP+S△AFP=S△APC 而对于④来说，只有在EF∥BC时，

，是特殊情况.

【总结升华】运用旋转思路解题的前提是要有公共顶点的相等的线段. 【高清课堂:高清ID号：388636 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4-5】

5.已知：点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC， （1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.

(2)若PAPC2PB，请说明点P必在对角线AC上.

A【思路点拨】通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平D方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APD． 【答案与解析】 (1)∵AB=BC,∠ABC=90°，P ∴△CBP绕点B逆时针旋转90°，得到△ABE, ∵BC=BA,BP=BE,∠CBP=∠ABE ∴△CBP≌△ABE CB∴AE=PC

∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4 ∴∠BPE=45°，PE=42 又∵∠APB=135° ∴∠APE=90° ∴AE2AP2EP2 即AE=6, 所以PC=6.

(2)由（1）证得：PE=2BP,PC=AE ∵PAPC2PB ∴PA2AE2PE2 ∴∠PAE=90°

222222

即∠PAB+∠BAE=90° 又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP ∴∠PAB+∠BCP=90 又∵∠ABC=90° ∴点A,P,C三点共线， 即P必在对角线AC上.

【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用. 举一反三：

【变式】如图，在四边形ABCD中，AB=BC，上一点，N为BC上一点.若

的周长等于AB的2倍，求

，K为AB的度数.

【答案】显然，

绕点D顺时针方向旋转至

6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.

⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；

⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；

⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.

【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即）

⑵

⑶证明：

在△AHE与△DHB1中

∴△AHE≌△DHB1（AAS） ∴AH=DH.

【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.

《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）

【巩固练习】 一、选择题

1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).

2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( A.此时分针指向的数字为3 B.此时分针指向的数字为6 C.此时分针指向的数字为4 D.分针转动3，但时针却未改变

).

3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）. A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C

4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）. A．（3，） B．（3，） C．（，） D．（，）

第3题 第4题 第5题

5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）.

A．30，2 B．60，2 C．60，

D．60，

6.如图所示，在图甲中，Rt△OAB绕其直角顶点O每次旋转90转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形OABC绕O点每次旋转120旋转二次得到右边的图形．

下列图形中，不能通过上述方式得到的是 ( ).

7． 下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）.

A．30° B．45° C．60° D．90°

8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ). A.(-2，1) B.(1，1) C.(-1，1) D.(5，1) 二. 填空题

9. 如图所示，过正方形的中心C和边上一点A随意连一条曲线，将所画的曲线绕C点，按同一方向连续旋转三次，每次的旋转角度都是90°，这样就将四边形分成四部分，这四部分之间的关系是_______．

10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为 _________ cm．

11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.

12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点

cm的H

为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的

2

面积是＿＿＿cm．

13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，

连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．

14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．

15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，„，则：

（1）点P5的坐标为__________；

（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是_________，其中n满足的条件是________．

16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________. 三 综合题

17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3． 求证：∠APB＝135°．

18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．

求证： BE + CF＞EF

19.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD. (1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.

⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；

③请证明你的上述两猜想.

⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.

【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C. 2．【答案】C.

【解析】分针每5分钟转动30.

3．【答案】A.

【解析】 因为以M或O或N为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D.

【解析】因为是菱形，所以可得5．【答案】C.

为等腰直角三角形.

【解析】△BDC为正三角形，所以△FDC为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=6．【答案】D.

【解析】图形应该首先是旋转图形，选项D不是旋转图形. 7．【答案】D. 8.【答案】C.

,即求得.

（【解析】A22,1),A3(2,4),即旋转90°后A3坐标为（-1,1）. 二、填空题

9.【答案】全等形. 10.【答案】32；

【解析】当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，CF=AC﹣AF，当点F不在正方形的对角线上时

由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，

∴当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，

∴CF=AC﹣AF=4

﹣

=32cm．

故答案为：32.

11．【答案】60°或120°.

【解析】正六边形的中心角是60°. 12．【答案】1.

【解析】证明△FHC和△FHG是等腰直角三角形，且腰长为13．【答案】5.

【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD的延长线于点G ,则AD=BF,

可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为 即BC=BF+FC=AD+EG=5. 14．【答案】32. 【解析】由旋转可知△APP′是等腰直角三角形，所以PP′=32. 15．【答案】(1)

,

，其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2，„）

，即得.

s△ADE3，所以EG=3，

（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是

16．【答案】(-1，

).

【解析】首先求得P1,P2的坐标，即可求得P3坐标.

三.解答题

17.【解析】证明：将△APB绕点B沿顺时针方向旋转90°至△CP′B 位置(如图)，

则有△APB≌△CP′B．

∴BP′= BP，CP′＝AP， ∠PBP′＝ 90°，∠APB=∠CP′B． 设CP′= AP= k，则BP′= BP=2k，CP= 3k，在Rt△BP′P中，

BP′= BP= 2k，∴∠BP′P=45°．

=(3k)2= CP2， ∴∠CP′P=90°，

∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°， 即∠APB=135°.

18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG． ∴BE=CG，ED=DG．

∵DE⊥DF，即 DF⊥EG．

∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG， 即BE+CF＞EF．

19.【解析】(1)猜想：AF=BD且AF⊥BD. 证明：设AF与DC交点为G.

∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD， ∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°， ∴∠BCD=∠ACF. ∴△ACF≌△BCD. ∴AF=BD.

∴∠AFC=∠BDC.

∵∠AFC+∠FGC=90°， ∠FGC=DGA， ∴∠BDC+∠DGA=90°. ∴AF⊥BD.

∴AF=BD且AF⊥BD. (2)结论：AF=BD且AF⊥BD.

图形不唯一，只要符合要求即可.如：

①CD边在△ABC的内部时； ②CF边在△ABC的内部时.

20.【解析】 ⑴ ①DE=EF； ②NE=BF. ③证明：

∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点， ∴DN=EB

∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135° ∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF ∴△DNE≌△EBF ∴ DE=EF，NE=BF

⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）

此时， DE=EF.